清华微积分高等数学第四讲连续函数的性质-课件.ppt

1、9/17/20231连续函数的性质连续函数的性质第四讲第四讲一、连续函数的基本性质一、连续函数的基本性质二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的三、闭区间上连续函数的 性质性质9/17/20232一、函数连续性的基本性质一、函数连续性的基本性质（一）连续性定义的等价形式：（一）连续性定义的等价形式：下下列列命命题题等等价价则则的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在设设,)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx)()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其其中中9/17/20233)()()(,0)(lim)4(00000 xfxfxfxxxxf

2、x 既既左左连连续续又又右右连连续续在在点点）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）连续函数的有界性：（二）连续函数的有界性：)(,000有有界界在在点点简简称称某某邻邻域域上上有有界界的的在在则则连连续续在在点点若若函函数数xfxfxf9/17/20234.)()(),(,0.,0)(,000000同同号号与与上上使使在在即即的的某某邻邻域域上上保保号号在在点点则则且且连连续续在在点点若若函函数数xfxfxxxfxfxf （三）连续函数的保号性：（三）连续函数的保号性：9/17/20235连连续续也也在在0 )2(xgf 则则连连续续都都在在点点若若,0 xg

3、f连连续续也也在在函函数数对对任任意意常常数数0 ,)1(xgf 连连续续也也在在则则若若00,0)()3(xgfxg（四）连续函数的运算性质：（四）连续函数的运算性质：.)(),(,)(,)()4(00000连连续续在在则则复复合合函函数数且且连连续续在在连连续续在在若若ttgftgxxxfttgx 9/17/20236（六）初等函数的连续性（六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。初等函数在其定义区间上是连续的。（五）（五）关于反函数的连续性关于反函数的连续性.)(),()(),()(,)(1严严格格单单调调且且连连续续上上也也或或区区间间在在闭闭则则其其反反函函数数单单调调

4、且且连连续续上上严严格格在在闭闭区区间间若若函函数数afbfbfafyfxbaxfy 结论：结论：9/17/202371.基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性（1 1）由连续定义可验证基本初等函数：）由连续定义可验证基本初等函数：的的连连续续性性常常量量函函数数xexCxln,sin,00limxxxxee 证证明明0)1(lim00 xxxxe0)1(lim0 xxe 例例9/17/20238（3 3）用连续函数四则运算性质证明基本）用连续函数四则运算性质证明基本 初等函数初等函数:的的连连续续性性xxxxcsc,sec,cot,tan（2 2）用复合函数及反函数的连续性证明）用复合函数

5、及反函数的连续性证明 基本初等函数基本初等函数:的的连连续续性性xxxxxexxarctan,arccos,arcsin),2sin(cos,ln 9/17/202392.初等函数的连续性初等函数的连续性 由基本初等函数的连续性由基本初等函数的连续性,运用连续运用连续函数的四则运算、复合运算就推出所有函数的四则运算、复合运算就推出所有初等函数在其定义初等函数在其定义区间区间上处处连续上处处连续.,21cos)(Znnxxxf 定定义义域域为为离离散散点点是是初初等等函函数数。例例：9/17/202310的的连连续续性性。研研究究函函数数例例nnnnnxxxxxf 2lim)(解解 的的表表达达

6、式式先先求求)(xf 1,1,0,10,111lim)(2222xxxxxxxfnnn.,)(,),1(),1,0(),0,1(),1,(所所以以连连续续是是初初等等函函数数上上在在xf 非初等函数连续性问题举例非初等函数连续性问题举例9/17/2023111)(lim,1)(lim11 xfxfxx1)(lim,1)(lim11 xfxfxx1)(lim0 xfx可可去去型型间间断断点点0 x间间断断点点1,0 xx第第一一类类间间断断点点1 x9/17/202312 时时当当时时当当时时当当讨讨论论下下列列函函数数的的连连续续性性例例0,0,21,0,11)(1xexxxxxfx.,11)

7、(,0在在定定义义区区间间上上连连续续初初等等函函数数时时当当xxxfx 解解9/17/202313.,)(,01在在定定义义区区间间上上连连续续也也是是初初等等函函数数时时当当xexfx )0(2111lim)(lim00fxxxfxx xexfxx100lim)(lim).)(:()(0.0,0)(,0处处右右连连续续在在注注意意第第二二类类间间断断点点的的是是点点处处不不连连续续在在点点处处都都是是连连续续的的在在综综上上所所述述xxfxfxxxxf 9/17/2023141.1.有界性定理：有界性定理：.,)(,有有界界上上在在则则设设函函数数baxfbaCf 使使得得则则存存在在两两

8、点点设设函函数数,21baxxbaCf )(max)(),(min)(21xfxfxfxfbxabxa 2.最大最小值定理：最大最小值定理：三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质9/17/2023153.3.零点定理：零点定理：.0)(),(,0)()(,fbabfafbaCf使得使得则存在则存在且且设函数设函数 obyxa9/17/2023164.4.介值定理：介值定理：)(),(,)()(),()(,fbabfafbfafbaCf使使得得存存在在一一点点实实数数之之间间的的任任何何一一个个与与对对于于介介于于则则设设函函数数推论：推论：,baCf 设设)(min ),(max

9、,xfmxfMbaxbax 使使得得则则对对任任意意),(),(baMm )(f9/17/202317 obyxa Mmf(x)g(x)9/17/202318证证构造辅助函数构造辅助函数 )()(xfxg令令0)()(,)(bgagbaCxg则则使使满满足足知知存存在在运运用用零零点点定定理理),(,ba 0)(g )(f 介值定理的证明介值定理的证明9/17/202319).)()()1,0(1)(0,1,0)(的的不不动动点点点点称称为为，使使得得试试证证：存存在在，且且满满足足设设例例xffxfCxf ,)()(xxfxg 构构造造函函数数证证明明,1,0)(Cxg 则有则有,01)1(

10、)1(,0)0()0(fgfg且且结结论论。即即得得上上应应用用零零点点定定理理，在在对对,10)(xg9/17/202320的实根的实根研究方程研究方程例例019:3 xx解解19)(3 xxxf令令试算试算01)3(f09)2(f1)2,3(x内有一个根内有一个根方程在方程在 07)1(f01)0(f2)0,1(x有一个根有一个根方程在方程在 01)3(f027)4(f3)4,3(x有有一一个个根根方方程程在在根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根是是方方程程的的全全部部实实根根321,xxx9/17/202321.)(1221120至至少少存存在

11、在一一个个实实根根证证明明奇奇次次多多项项式式例例 nnnaxaxaxP 证证),()(CxP)()(12121012 nnnxaxaaxxP00 a不不妨妨设设 )(lim,)(limxPxPxx0)(,0)(,0 rPrPr使使0)(),(,cPrrc使使根根据据零零点点定定理理9/17/202322.03162715:至至少少有有两两个个实实根根证证明明方方程程例例 xxx3162715)(xxxxf设设 证证 内内都都连连续续和和在在开开区区间间则则)3,2()2,1()(xf )3162715(lim)(lim11xxxxfxx )3162715(lim)(lim22xxxxfxx9

12、/17/2023230)(,0)(bfaf使使闭闭区区间间存存在在以以证证明明利利用用无无穷穷大大量量的的定定义义可可),2,1(,ba.)2,1(,03162715:,内内至至少少有有一一个个实实根根从从而而在在在在方方程程即即baxxx 0)(,11 xfbax使使根根据据零零点点定定理理.)3,2(03162715:,内内至至少少有有一一个个实实根根在在方方程程同同法法可可证证 xxx9/17/202324.),)(lim,),能能取取到到最最小小值值在在则则且且若若函函数数例例bafxfbaCfbx 证证 )(limxfbxMxfbcxbcac )(),(,:有有 01),(max a

13、fM对对于于,()()(,)(00caxxfxfcaxcaCxf 使使根根据据最最大大最最小小值值定定理理因因为为.),能能取取到到最最小小值值在在综综上上所所述述baf9/17/202325)31()(,1,0:),1()0(1,0000 xfxfxffCf使使证证明明且且设设函函数数例例 证证)31()()(xfxfxg令令32,0)(Cxg.,0)(,32,000命命题题得得证证使使若若 xgx0)(,32,0 xgx有有不不妨妨设设0)(0)(,32,0,xgxg或或必必有有上上在在否否则则9/17/2023260)31()0()0(ffg0)32()31()31(ffg0)1()32

14、()32(ffg)1()0(ff 矛盾！矛盾！.0)(,32,000 xgx使使故故)31()(,1,0000 xfxfx使使即即9/17/202327导数与微分导数与微分9/17/202328一、引言一、引言两个典型背景示例两个典型背景示例 例例1 1 运动物体的瞬时速度运动物体的瞬时速度设汽车沿设汽车沿t轴作直线运动轴作直线运动,若己知其运动若己知其运动规律规律(路程与时间的函数关系路程与时间的函数关系)为为求在时刻求在时刻 的瞬时速度的瞬时速度.)(txx 0t0tttt 0t9/17/202329解解的平均速度的平均速度到到求时段求时段ttt 00)1(ttxttxttv )()(),

15、(000 速度速度平均速度的极限是瞬时平均速度的极限是瞬时)2(ttxttxtvt )()(lim)(0000 如果极限存在如果极限存在,这个极限值就是汽车这个极限值就是汽车的的瞬时速度瞬时速度.9/17/202330 例例2 2 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 ).(,(),(),(.,)()()(,000000 xfyyxMLbaxbaCxfbxaxfyL 其其中中的的切切线线在在点点求求曲曲线线其其方方程程为为设设曲曲线线什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？9/17/202331xyo0MN0 xxx0T)(:xfyL 的的极极限限位位置置就就是是切切线线割割线线时时当当,0MN 割割线线切切线线9/17/202332xxfxxfxkx )()(lim)(0000 xxfxxfxxk )()(),(000 的的割割线线斜斜率率到到求求区区间间xxx 00)1(斜斜率率割割线线斜斜率率的的极极限限是是切切线线)2()()(000 xxxkxfy 的的切切线线方方程程在在点点曲曲线线),()3(000yxML