专题02 定点、定值问题(精讲篇)含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题.docx
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1、1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 (共 11 页) 专题专题 02 定点、定值问题(精讲篇)定点、定值问题(精讲篇) 解析几何中的定点、定值问题一直是高考中值得关注的问题.它的基本形式是在若干个 相关个几何量转化,某些量却是恒定不变的.解答途径是用部分量去表示要求的量,即建立 适当的函数(或方程)关系,最后证明函数值是定值或某个定点坐标适合方程. 动中不动是为定动中不动是为定 变化之中理辩清变化之中理辩清 直接计算求定值直接计算求定值 含参系数令其零含参系数令其零 思路点拨思路点拨 如图,因为 y 与ACF共底边 CF,所以 BCF ACF BCS SAC = B A
2、 x x . 因为抛物线 2 4yx,故可知2p ,准线方程为1x . 过点A作准线的垂线交于点 1 A,交y轴于点 2 A,同样过点B作 准线的垂线交于点 1 B,交y轴于点 2 B. 根据抛物线的定义,得 12 | | 1 B xBBBBBF, 12 | | 1 A xAAAAAF. 例例 1 如图,设抛物线的焦点为,不经过焦点的直线上有三个不同 的点,其中点,在抛物线上,点在轴上,则与 的面积之比是 (A)(B) (C)(D) 定点、定值问题 曲线过定点 某个量为定值 用参数表示曲线方程 用参数表示该量 令参数系数为0或某值, 解出相应的 x、y 的值 令参数系数为 0 或某值 化简使该
3、量为定值 选参、用参、消参,求出定点或定 2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 (共 11 页) 所以 BCF ACF BCS SAC | 1 =. | 1 B A xBF xAF 选(A). 思路点拨思路点拨 第(1)题根据椭圆的对称性可以排除 P1(1,1).第(2)题联立方程即可,此时有两种 方法联立,第一种,假设直线 AB 的方程,第二种假设直线 P2A 和 P2B. 满分解答满分解答 (1) 根据椭圆对称性可得, P1(1,1) , P4(1,) 不可能同时在椭圆上, P3(1,) , P4(1,) 一定同时在椭圆上, 因此可得椭圆经过 P2(0,1) , P3
4、(1,) , P4(1,) . 把 P2,P3坐标代入椭圆方程得 2 22 1 =1 3 1 4 1 b ab , , 解得 22 4,1ab, 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y; (2)解解 1 当直线l的斜率不存在时,设: l xm,( ,), ( ,) AA A m yB my,此时 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm ,解得2m,此时直线l过椭圆右顶点,不 存在两个交点,故不满足. 当直线l的斜率存在时,设:(1)l ykxt t, 1122 ( ,), (,)A x yB xy,则 2 2 1 4 ykxt x y , , 消去 y 得 222 (1 4
5、)8440kxtkxt, 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 例例 2 2 已知椭圆,四点 ,中恰有三点在椭圆 上 (1)求 的方程; (2)设直线 不经过 点且与相交于 两点 若直线与直线 的 斜率的和为 -1,证明: 过定点 3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 (共 11 页) 22 16(41)kt , 2 1212 22 841 , 1 41 4 tkt xxx x kk ,此时 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 ()()x kxtxx kxtx x x 21 2 12 (1)()(1)( 8 ) 22 4(1) t
6、xxtkt kk x xt . 由于1t , 所以 22 22 21 11 P AP B ktk kkk tt , 即21tk, 此时32(1) t , 存在1t ,使得0 成立, 所以直线l的方程为(2) 1yk x,直线l必过定点(2, 1). 解解 2 由题意可得直线 2 P A与直线 2 PB的斜率一定存在,不妨设直线 2 P A为1ykx, 则直线 2 PB为11yk x . 由 2 2 1 1 4 ykx x y , , 得 22 4180kxkx, 设 11 ,A x y, 22 ,B x y此时可得: 2 22 81 4 , 41 41 kk A kk , 同理可得 2 22
7、8 11 4 1 , 4 11 4 11 kk B kk . 此时可求得直线l的斜率为: 2 2 22 21 21 22 14 114 41 4 11 8 18 41 4 11 AB kk k kyy k kxxk k k ,化简可得 2 1 12 AB k k ,此时满足 1 2 k . 当 1 2 k 时,,A B两点重合,不合题意. 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 (共 11 页) 当 1 2 k 时,直线方程为: 2 222 1814 4141 12 kk yx kk k , 即 2 2 441 12 kkx y k ,当2x 时,1y ,因此直线恒过定点2
8、, 1. 思路点拨思路点拨 第(1)题只需证明0AC BC.第(2)题要先求圆的方程,令 y=0 即可求出在 y 轴 上弦长.求圆方程可以用标准式方程,也可以用一般式方程.当然,本题还可以利用相交弦定 理来解. 满分解答满分解答 (1) 设 12 ,0 ,0A xB x, 则 12 ,x x是 方 程 2 20 xmx的 根 , 所 以 1212 ,2xxm x x ,则 1212 ,1,112 110AC BCxxx x . 所以不会能否出现 ACBC 的情况. (2) 解解1 由于过A, B, C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上, 设圆心 00 ,E x y, 则 12 0 22 x
9、xm x . 由EAEC得 22 2 2 1212 100 + 1 22 xxxx xyy ,化简得 12 0 11 22 x x y ,所以圆 E 的方程为 2222 11 1 2222 mm xy . 令0 x得 12 1,2yy , 所以过A, B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为123 . 所以,过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解解 2 由于BC的中点坐标为 2 1 (. ) 2 2 x ,可得BC的中垂线方程为 2 2 1 () 22 x yxx. 由(1)可得 12 xxm ,所以AB的中垂线方程为 2 m x . 例例 3 3 在直角坐标系中,曲线与轴交于两
10、点,点 的坐标为.当变化时,解答下列问题: (1)能否出现的情况?说明理由; (2)证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值. 5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 (共 11 页) 联立 2 2 2 1 () 22 m x x yx x , , 又 2 22 20 xmx, 可得 2 1 2 m x y , , 所以过, ,A B C三点的圆的圆心坐标为 1 (,) 22 m ,半径 2+9 2 m r , 故圆在y轴上截得的弦长为 22 2()3 2 m r ,即过A BC, ,三点的圆在y轴上的截 得的弦长为定值. 解解 3 设圆的方程为 22 0 xyDxEyF, 令
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