安徽省马鞍山市中加学校2018届高三数学上学期期中模拟考试题 [理科]（word版,含答案解析）.doc

1、 - 1 - 安徽省马鞍山市中加学校 2018 届高三数学上学期期中模拟考试题 理（含解析） （时间： 120 分钟 总分： 150 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】因为 ，所以 ，故选 B. 点睛：本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域值域问题，属于容易题 .解决集合问题，首先要化简集合，一般要进行不等式求解，函数定义域、值域等相关问题的 处理，化简完成后，进行集合的交并补相关运算，注意利用数轴，数形结合，特别是端

2、点处值的处理，一定要细心谨慎 . 2. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】根据双曲线的渐近线方程知， ，故选 A. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】根据复数的运算法则， ，故选 D. 4. 曲线 在点 处的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为 ，所以切线斜率 ，切线方程为 ，即 ，- 2 - 故选 C. 5. 现有 2 个正方体， 3 个三棱柱， 4 个球和 1 个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意知共有 10 个

3、几何体，其中旋转体为球和圆台，共 5 个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率 . 6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则函数的图象的一条 对称轴方程可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数,所以 ， 当 时，所以 是其一条对称轴，故选 B. 点睛：本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最值单调性问题，综合性较强，属于难题首先要根据求导公式及法则对复合函数求导，其次要研究导数的正负需要综合正弦余弦在不同区间的符号去对参数分类讨论，最后讨论过程需要条理清晰，思维严谨，

4、运算能力较强 7. 已知公比不为 1 的等比数列 的前 项 和为 ，且 成等差数列， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】设等比数列的公比为 ，则由 得， ，即 ，解得或 （舍去），又由 得 ，所以 ， ，故选 D. 8. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 （ ） - 3 - A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. “ 直线 与平面 内的无数条直线垂直 ” 上 “ 直线 与平面 垂直 ” 的充分不必要条件 D. 若 ，则 【答案】 D 【解析】对 A，符合条件的直线可能 ，故不正确；对 B,两个垂直平面内的两条直 线不一定垂直，故不正确；对 C, 直线 与平面

5、内的无数条直线垂直 ,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对 D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确 . 9. 已知抛物线 的焦点为 ，准线 ，点 在抛物线 上，点 在左准线上，若 ，且直线 的斜率 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设准线 与 轴交于 N，所以 ,直线 的斜率 ，所以 ,在直角三角形 中， ， ，根据抛物线定义知， ,又 , ,所以 ,因此 是等边三角 形，故 ，所以 的面积为，故选 C. 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【

6、答案】 A 【解析】根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为 2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为 ，高为 2，所以三棱锥的体积，故组合体的体积 ,故选 A. - 4 - 11. 运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则判断框中可以填 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】执行一次， ，执行第 2 次， ，执行第 3 次， ，执行第 4 次， ，执行第 5次， ，执行第 6 次， ，执行第 7 次，跳出循环，因此判断框应填 ，故选 B. 12. 已知函数 有唯一的零点，则实数 的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】 A 【解析】函数

7、 为偶函数，在 处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为 ，则 ，解得 或 ，当 时不合题意，故选A. - 5 - 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量 ， ，若 ，则 _ 【答案】 1 【解析】由 ,得 .即 . 解得 . 14. 已知函数 ，若曲线 在点 处的切线经过圆 ： 的圆心，则实数 的值为 _ 【答案】 【解析】结合函数的解析式可得： ， 对函数求导可得： ，故切线的斜率为 ， 则切线方程为： ，即 ， 圆 ： 的圆心为 ，则： . 15. 已知实数 ， 满足约束条件 则 的取值范围为 _（用区间表示） 【答案】 【解析】作出约束条件表示的

8、平面区域 (如图阴影部分表示 ) 设 ， 作出直线 ，当直线 过点 时， 取得最小值 ； 当直线 过点 时， 取得最大值 . 即 ,所以 . 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想 .需要注意的是：一、准确无- 6 - 误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得 . 16. 在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 .若四棱锥 为阳马，侧棱 底面 ，且 ，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 _ 【答案】 【解析】设该阳马的外接球与

9、内切球的半径分别 与 ，则 .即. 由 .得. 所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在递增的等比数列 中， ， ，其中 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析： （ 1） 由 及 得 ， ，进而的 ，可得通项公式； （ 2） 利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列 . 试题解析： （ 1）设数 列 的公比为 ， 则 ， 又 ， ， 或 ， （舍） . ，即 . 故 （ ） . - 7 - （ 2

10、）由（ 1）得， . . 18. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 为的中点 . （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求三棱锥 的体积 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析： （ I） 连接 交 于点 ，连接 ，通过证明 ，利用直线与平面平行的判定定理证明 AC1 平面 CDB1 （ II）要求三棱锥 的体积，转化为 即可求解 试题解析： （ 1）连接 交 于点 ，连接 . 在三棱柱 中，四边形 是平行四边形 . 点 是 的中点 . - 8 - 点 为 的中点， . 又 平面 ， 平面 ， 平面 . （ 2） ， ， . 在三棱柱 中， 由 平面 ，得平面 平面 .

11、 又平面 平面 . 平面 . 点 到平面 的距离为 ，且 . . 19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车 “ 忽如一夜春风来 ” ，遍布了一二线城市的大街小巷 .为了解共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到表格：（单位：人） 经常使用 偶尔或不用 合计 30 岁及以下 70 30 100 30 岁以上 60 40 100 合计 130 70 200 （ 1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关？ （ 2）现从所抽取的 30 岁以上的网友中利用分层抽样的方

12、法再抽取 5 人 . （ i）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数； （ ii）从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 . - 9 - 参考公式： ，其中 参考数据： 【答案】（ 1）见解析；（ 2） （ i） 2 人，（ ii） . 【解析】试题分析： (1)由列联表可得 ，所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关 . (2)（ i）依题意可知，经常使用共享单车的有 （人），偶尔或不用共享单车的有（人） . （ ii）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式

13、可得选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 . 试题解析： （ 1）由列联表可知， . 因为 ， 所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关 . （ 2）（ i）依题意可知，所抽 取的 5 名 30 岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有 （人） . （ ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 ， ， ；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 ， . 则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种 . 其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为 共 1 种，

14、故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 . - 10 - 20. 已知椭圆 ： （ ）过点 ，离心率为 ，直线 ：与椭圆 交于 ， 两点 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）是否存在实数 ，使得 （其中 为坐标原点）成立？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由 . 【答案】（ 1） ；（ 2）存在实数 ，使得 成立 . 【解析】试题分析： （ 1）根据题意得 ，从而可得方程； （ 2）直线和椭圆联立得 ， 设 ， ，由，得 ，即 ，由韦达定理代入即得 . 试题解析： （ 1）依题意，得 解得 ， ， ， 故椭圆 的标准方程为 . （ 2）假设存在符合条件的实数 . 依题意，联立方程 消去 并整理，得 . 则 ， 即 或 . 设 ， ， 则 ， . 由 ， 得 . .