2021年全国普通高等学校统一招生名师原创模拟试卷 数学（文）试题（解析版）.doc

1、2021 年全国普通高等学校统一招生年全国普通高等学校统一招生模拟模拟考试考试名师原创金卷名师原创金卷 数数 学学（文）（文） 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 12 小题小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z的共轭复数为 10 2 3 i i （其中i为虚数单位） ，则z （ ） A. 3 3 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 2 【答案】B 【分析】由复数的运算法则化复数z为一般形式，然后由模的定义计算模 【详解】根据题意 10 310 310 22233 33

2、310 ii ziiii iii ， 则3 3zi ，于是 22 333 2z .故选：B 【点睛】本题以复数的简单运算为素材，目的是考查考生对复数运算法则的掌握情况和复数模的计算，本 题计算量小，属于基础题 2. 设集合 10Ax xxa，1Bx xa，若ABR，则实数a的取值范围是（ ） A. ,1 B. ,2 C. ( ) 1,+? D. 2, 【答案】B 【分析】根据题意先简化A，而A含参数a，故对参数a进行分类讨论，进一步得到答案. 【详解】集合10Ax xxa, 当1a 时，Ax xa或1x ， ABR，结合数轴作图知1 1a ， 即得12a； 当1a 时，显然ABR； 当1a 时

3、，1Ax x或xa，结合数轴作图知1aa ， 此时ABR恒成立， 由知2a. 故选：B. 【点睛】本题考查的是集合相关概念和分类讨论思想，命题体现了直观想象、数学基本运算的核心素养， 属于比较简单的题型. 3. 已知函数 2 1 ln1 931,.lg2lg 2 f xxxff 则 A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 试题分析：设lg2a，则 1 lgln2 2 a ， 2 ln1 931f afaaa 2 22 ln1 931ln 1 992ln1 22aaaa ，所以 1 lg2lg2 2 ff ，所以答案 为 D. 考点：1.对数函数的运算律；2.换元法. 4. 已知在正

4、四棱锥的底面边长为2a，其左视图如图所示，当主视图的面积最大时，该四棱锥的体积和表面 积分别为（ ） A. 2 2 3 ，8 B. 4 3 3 ，8 2 C. 8 2 3 ，8 8 2 D. 5 3 3 ，9 6 2 【答案】C 【分析】根据左视图准确还原几何体，求出 a 和 h的关系，再确定出主视图的形状，表示出主视图的面积， 由基本不等式求出最大值以及对应的 a和 h 的值，代入棱锥的体积公式和表面积公式求解 【详解】由题意画出正四棱锥如下图，其左视图与主视图应完全相同，其平面图形为等腰三角形，其腰长 均为 2，底边长为2ABa， 设四棱锥的高为POh，则四棱锥的斜高2PE ，所以 222

5、 24ah， 于是主视图的面积为： 22 1 22 22 ah Sa hah ， 当且仅当 2ah 时，S最大， 此时该四棱锥体积为 218 2 2 33 Vah， 其表面积为 21 242288 2 2 Saa 表面积 .故选：C. 【点睛】本题以正四棱锥为背景考查对三视图的基础知识和基本技能的掌握与运用，考查空间想象和运算 求解能力，考查通过对三视图的观察分析，挖掘数量关系及不等式模型，体现了数学转化、数学应用意识、 数学思维的严密性和谐美学思想.，符合新课标的改革目标方向.，属于常考题. 5. 已知函数 1 3 10f xm x（m为常数） ， 若数列 * n af nnN， 且 1 2

6、a ， 则数列 n a 前 100 项和为（ ） A. 78800 B. 78800 C. 39400 D. 39400 【答案】D 【分析】首先要将条件转换熟知的等差数列，由 1 a代入求得m的值，从而求得等差数列的通项公式，然后 利用求和公式求得 n S，代入 100 即可求得结果. 【 详 解 】 1 11 31 102afm ， 解 得3m， 所 以81 0 n an ， 进 而 12 46 2 n n n aa Snn .于是 100 39400S ，故选：D. 【点睛】本题以一次函数为载体，考查的是等差数列前n项和公式的应用，解决此题这考查了考生的逻辑 思维能力和运算求解能力. 6

7、. 已知变量x、y相对应的一组数据为(10，1.5)，(11，3.2)，(11，8.3)，(12.5，14)，(13，5)，变量 x 、 y 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，用 1 r表示变量x与y之间的线性相 关系数，用 2 r表示变量 x 之 y 间的线性相关系数，则有（ ） A. 21 0rr B. 21 0rr C. 21 0rr D. 12 0rr 【答案】C 【分析】 在回归线性方程应用中易知回归系数 2 2 x y s rb s （ b为回归方程的斜率， 2 x s、 2 y s分别为变量x、y的方差） ， 从二

8、组数据中看出数 1 0b ， 2 0b ，故 1 0r ， 2 0r ，最终得到答案. 【详解】从第一组数据中看出数 1 0b ，故 1 0r ； 从第二组数据中看出数 2 0b ，故 2 0r ； 于是有 21 0rr， 21 0rr.故选：C. 【点睛】命题人通过给出的两组数据为依托，考查考生对数据的观察和分析能力，然而作出变量相关关系 判断，这体现了考生对数学的应用，数学推理的核心素养，难度中等. 7. 已知 1 tan 42 ，则 2 sin2cos 1 cos2 （ ） A. 5 6 B. 7 5 C. 2 D. 2 【答案】A 【分析】 利用两角差的正切公式求出tantan 44

9、，再利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系 即可求解. 【详解】 1 tan 42 ， 1 tantan 1 144 2 tantan 1 443 111tantan 244 ， 则 22 2 sin2cos2sincoscos2tan1 1 cos22cos2 1115 tan 2326 .故选：A 【点睛】本题以三角正切函数值为依托，考查了正切的两角差公式和倍角公式的运用，此题以考生最熟悉 的知识呈现，面向考生，试题注重基础，针对性强，同时考查了考生的运算求解能力及逻辑推理能力，属 于基础题. 8. 设x，y R ，对双元函数,f x y定义为：,f x xx；,f kx kykf x

10、y； 12121122 ,f xx yyf x yf x y； 2 , 33 y xy f x yf .则1,3f的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 4 D. 7 3 【答案】C 【分析】由得1,11f，3,33f.当1x 且 3y 时，先根据，再根据得 1 1,36,4 3 ff， 进而先由再由及求得 101 6,41,3 33 ff，代入可得选项. 【详解】由,f x xx；可得1,11f，3,33f. 当1x 且 3y 时， 6 41 1,3,6,4 3 33 fff ， 又6,43 3,1 33,13,33,13fffff 2 1 3 12 41 ,3,32,43 333 33

11、 fff 11 1 1,1 331,11,33 33 fff 111 11,331,33 333 ff . 即 101 6,41,3 33 ff 将代入得 1 101 1,31,3 333 ff 整理得， 810 1,3 99 f，解得 5 1,3 4 f.故选：C. 【点睛】本题是以新定义形式给出的创新背景题，其构思新颖巧妙，设制本题的目的是要求学生在阅读理 解的基础上根据题中提供的信息，建立合理的数学模型，联系所学的知识方法实现信息的迁移转化，给学 生以生考熟的展示机会，借引入新的概念进行抽象与概括，对所学知识的更深度的理解，揭示对新知识的 本质认识.本题是理性思维的具体体现，应引起各位学

12、生的足够重视.属于中档题. 9. 已知点F是双曲线 22 22 1 xy ab ， 0,0ab的左焦点， 点E是该双曲线的右顶点， 过F且垂直于x轴 的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A. 1,2 B. 2, 3 C. 3,3 D. 2, 5 【答案】A 【 分 析 】 求 出 通 径 长 2 2b AB a ， 由 题 意 可 得 4 AEFBEF ， 直 角 三 角 形AFE中 ， 2 t an1 b a AEF ac ，解不等式即可. 【详解】直线AB过焦点,0Fc且垂直于x轴， 即通径长 2 2b AB a ，显然 2 b FA

13、 a ， 即 2 , b Ac a ， 2 , b Bc a ，易知右顶点,0E a， 而ABE是锐角三角形，故 2 AEB . 根据对称性即 4 AEFBEF ， 在直角三角形AFE中， 2 tan1 b a AEF ac 2 b ac a ， 222 2020cacaee ，解得12e .故选：A. 【点睛】本题主要目的考查的是考生应用双曲线相关知识解决问题的能力及解题过程中的逻辑推理能力和 运算求解能力和综合应用知识的能力，试题以通性通法为基础，为不同能力水平的考生提供了研究空间， 突出了选拔功能，属于基础题. 10. 已知关于x的一元二次函数 2 41f xaxbx，其中实数a，b满足

14、 80 0 0 ab a b ，则函数 yf x在区间1,上是增函数的概率是（ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】B 【分析】根据 2 2 2 24 411 bb f xaxbxa x aa ，得到区间1,上是增函数的充要条件为 2 1 b a ，再根据实数a，b满足 80 0 0 ab a b ，画出平面区域，分别求出其面积，然后代入几何概型的概 率公式求解. 【详解】 2 2 2 24 411 bb f xaxbxa x aa ， 在区间1,上是增函数的充要条件为 2 1 b a ，即0 2 a ba， 又实数a，b满足 80 0 0 ab a b 的平面

15、区域如图所示（直角三角形OAB） ， 问题等价于向区域直角三角形OAB中任意投掷点，点落在区域OAC（其中点C的坐标是 16 8 , 33 中的概 率， 即所求概率为 18 8 1 23 1 3 8 8 2 ，故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法以及二次函数及二元一次不等式，还考查了数形结合的思想方 法，属于基础题. 11. 定义 ,d a bab 为两个向量a，b间的“距离”， 若向量a，b满足下列条件： ()1b ； ()a b ； ()对于任意的tR，恒有 ,d a tbd a b ，现给出下面结论的编号， .ab.bab.aab.1a .abab 则以上正确的编号为（ ）

16、 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意可得 22 atbab，转化为 2 2210tta ba b 对于任意的tR恒成立， 即0，整理得 2 10a b ，再利用向量的数量积逐一判断即可. 【详解】由于 ,d a bab ，又对于tR，恒有 ,d a tbd a b ， 显然有atbab，即 22 atbab， 则 2 2210tta ba b 对于任意的tR恒成立， 显然有 2 24 210a ba b 成立， 即 2 10a b ，则 1a b ，故序号错误， 进而cos1a ba b， 1b ，于是 1 cos1 a ，得1a ，即序号正确. 再由 10a b 得 2 0

17、a bb ，得0b ab， bab，显然序号正确.从而序号错误， 再由a b ，故序号错误 综上知本题正确的序号为.故选：B. 【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式 恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次 的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题. 12. 已知定义在R上的函数 f x满足： 2f x f yf xyf xy，某同学由此前提条件出发， 然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：.若 00f时，

18、f x是 奇函数且一定是单调增函数；.若 01f， f x是偶函数且有最大值为 1；.若 1 32 f ，则 2 42 f ；.若 1 1 2 f，则 1 100 2 f .请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 00f，令0 x，可以得到 fyf y，即 f x是奇函数，进一步判断正确与否； 01f，令0 x，可以得到 fyf y，即 f x是偶函数，设一个特殊函数 cosf xx， 进一步化简得到答案; 根据，答案显然成立； 1 1 2 f，特取1y ，化简得到 11f xf xf x，进一步化简得到 f x是最小正周期为 6 的周期

19、函数，进一步化简得到答案. 【详解】由已知关系式 2,f x f yf xyf xyx yR， 对于序号， 00f，故令0 x，得 20ff yf yfy，则 fyf y， f x是奇函数，设 12 xx 时， 由 2,f x f yf xyf xyx yR不能保证推出 12 f xf x， 故序号不能肯定成立； 对于序号， 01f时，令0 x，则 20ff yf yfy，进而有 fyf y， f x是偶函数，此时不妨特取 cosf xx，显然有coscos2cos cosxyxyxy，即满足 2,f x f yf xyf xyx yR，且 cosf xx有最大值 1. 故序号成立. 对于序号

20、来说，序号正确，显然 1 32 f ，有 2 42 f ，故序号C正确. 对于序号， 1 1 2 f，特取1y ， 则 2111,f x ff xf xx yR， 进而有 11f xf xf x，整理得 11f xf xf x. 且有 21f xf xf x 由得21f xf x，推得 3f xf x，又得 6f xf x， f x是最小正周期为 6 的周期函数，根据 1 1 2 f，特取1,0 xy，则 21011ffff 得 01f. 再取0,1xy，即 20111ffff， 解得 1 11 2 ff，令1x，1y . 于是 21102ffff， 解得 111 222 222 f . 1

21、1006 1722 2 fff .故序号正确. 综上所述，本题正确的序号为. 故选：D. 【点睛】本题以抽象函数模型为载体，综合考查函数的奇偶性，单调性、周期性及函数本质特征，同时还 考查了考生的观察、归纳、合情推理的思想方法及逻辑推理能力和运算求解能力.解决本题必须具备具有一 定的基础知识和基本功. 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题（分单空和多空） ：本题共二、填空题（分单空和多空） ：本题共 4小题小题. 13. 已知数列 n a满足41 n an， n S为数列 n a的前n项和，则数列 n S n 的第 10 项为_. 【答案】23. 【分析】首先由数列 n a的通项公式求

22、出其前n项和，进而求出数列 n S n 的通项公式，然后求出其第 10 项. 【详解】解：数列 n a通项公式为41 n an（一次函数yknb型） ，即知 n a为等差数列，即 其前n项为 2 1 4123 2 n n n Snnn （二次函数型 2 yAnBn，其中 2 d A ， 1 BaA） ， 于是数列 n S n 的通项公式为23 n n S bn n ，于是 10 23b . 故答案为：23. 【点睛】本题命制是以等差数列通项公式为载体，考查的是数列前n项和与通项公式的转化与化归的应用， 考查运算求解能力，属于基础题型. 14. 已知单位向量, a b满足| |abab，则a与b

23、a的夹角是_ 【答案】 3 4 【详解】非零单位向量, a b满足 22 ,=0ababababa b，则 a 2 =-1baa ba， 2 =1+1 2 02,2abab ， 设a与b a 的夹角是的夹角是， 12 cos,0, 212 3 4 ，故答案为 3 4 . 【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两 种形式，一是cosa ba b，二是 1 212 a bx xy y ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b （此时a b往往用坐标形式求解） ； （2）求投影，a 在b 上的投影是 a b b ；（

24、3）, a b向量 垂直则 0a b ;(4)求向量ma nb 的模（平方后需求a b ）. 15. 已知曲线1xy 与圆 22 :4430M xyxy相交于A、B两点，则圆M的半径r _，弦 AB的中垂线方程为_. 【答案】 (1). 5 (2). yx . 【分析】由配方法得圆的标准方程后可得圆心坐标和半径，根据圆与已知曲线1xy 都关于直线y x 对 称得它们的交点也关于直线y x ，易得弦中垂线方程 【详解】曲线1xy 的图象关于直线y x 轴对称，又圆M的标准方程为 22 225xy，显然 圆M的半径5r ，圆心坐标为2,2在直线y x 上，圆M的图象必关于直线y x 对称，因此交点

25、 ,A B关于直线y x 对称，弦AB的中垂线方程为y x . 故答案为：5；y x . 【点睛】本题以两条曲线相交为背景，考查曲线的对称性，考查学生分析问题解决问题的能力，考查考生 以生考熟、化繁为简，化难为易的解题的基本方法. 16. 关于下列两个命题：设 f x是定义在R上的偶函数，且当0 x时， f x单调，则方程 3 4 x f xf x 的所有根之和为_；对于,0Mx yf x y有性质p：“对 ,0,1x yM k时，必有,kx kyM.现给定 22 ,20Ax y xyxy； 22 ,21Bx yxy；现与M对比，中A、中B同样也有性质p的序号为_. 【答案】 (1). 8 (

26、2). 【分析】 (1)对于 3 4 x fxf x ，利用函数为偶函数可知关于 y 轴对称且()( )fxf x，有 3 4 x x x 或 3 4 x x x 即可求所有根之和；(2)由命题“对,0,1x yM k时，必有,kx kyM”知对于集合 M 上点( , ) x y，将点坐标都缩小到原来1()0,k 仍在 M上，即几何上这样 M集合是平面中一个闭合的被填 满的面，A 代表一个圆上的点集，B 代表椭圆面的点集，即可知答案 【详解】(1) f x是定义在R上的偶函数 当满足 3 4 x f xf x 时，有两种可能 当x与 3 4 x x 在y轴同侧时， 则 3 4 x x x ，

27、得 2 33 0 xx， 设方程的两个根为 1 x， 2 x， 显然 12 3xx 当x与 3 4 x x 在y轴两侧时， 则 3 4 x x x ， 得 2 53 0 xx， 设方程的两个根为 3 x， 4 x， 此时 34 5xx 显然满足方程 3 4 x f xf x 的所有根之和为 1234 8xxxx (2)现结合M的性质 p来研究A、B 对于 22 ,20Ax y xyxy，即简化为： 2 215 :1 24 Axy ，易知点 11 , 22 在此 圆上，取 1 0,1 2 k ，但 11 , 44 不在A上.于是错误. 对于 22 ,21Bx yxy，即, x y是椭圆 22 1

28、 1 1 2 xy 上及内部的一切点，显然当0,1k时， 点,kx ky必在椭圆 22 1 1 1 2 xy 内，则具备性质p故答案为：-8； 【点睛】本题以两个独立命题形式给出，发散思维的能力，同时考查了考生解题思维的跳跃性和连续性及 逻辑推理能力，运算求解能力，综合应用能力，属于偏难. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题小题.解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在下面题目中，补充一个条件，使得ABC有两个不同解，并解答下列问题. 设60B ， 3AB ， 则补充的条件为_； 这个三角形的面积是否存在最值？如

29、果有， 请求出其最值， 如果没有请说明理由. 【答案】补充的条件是： 3 3 2 AC，或者是 3 0 2 BC， 3 3 2 BC，不存在；答案见解析. 【分析】当sinABBACAB时，三角形有两解，根据题意写出两解条件，由三角形的边AC与BC的 长度为开区间，故ABC面积不存在最值. 【详解】先做草图，由B出发，作BC边上的高AH（H为垂足） ， 已知sin60hAHAB即 3 1.5 2 hAH， 结合图形观察知，当AHACAB时，即 3 3 2 AC时， 此时有两解，即为ABC（C为钝角）或ABC（C C 为锐角，此时AB AC ）. 由此可确定：为使ABC在60B ，3AB 时有两

30、个解所补充的条件是： 3 3 2 AC，或者是 3 0 2 BC， 3 3 2 BC， 三角形的边AC与BC的长度为开区间，故ABC面积不存在最值. 【点睛】本题主要考查三角形的解的个数，同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力. 18. 如图所示，在三棱锥PAQ中，PB 平面ABQ，BA BQBP ，,D C E F分别是 ,AQ BQ AP BP的中点，2AQBD ，PD与EQ交于G，PC与FQ交于点H，连接GH （）求证：ABGH； （）求二面角D GHE的余弦值 【答案】 （）见解析 （） 4 5 【详解】解法一 （）在PAQ中，,D E分别是,AP AQ的中点，则G是PAQ的重心，

31、2. QG GE 同理，2. QH HF 所以 QGQH GEHF ，因此.GHEF 又因为EF是 PAB 的中位线，所以,ABEFABGH. （）解法 1 因为2AQBD，所以ABBQ,又PBAB， 所以AB 平面PBQ，GH 平面PBQ， FHC为二面角D GHE的平面角， 不妨设2,BA 由三角形知识可得 5 2,. 3 FCFHHC 由余弦定理得 22 2 55 2 33 4 cos. 555 2 33 FHC 解法 2 分别以,BA BQ BP所在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 如图 不妨设2,BA 则0,2,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,0,2 ,1,1,0

32、 ,0,1,0 .QFEPDC 设平面QFE的法向量为, ,mx y z，则 0 0 m QF m QE ，所以 , ,0, 2,10 , ,1, 2,10 x y z x y z ，令1y 得0,1,2m 同理求得平面PDC的一个法向量为0,2,1n ， 因此 4 cos, 5 m n m n m n 由图形可知二面角D GHE的余弦值为 4 . 5 解法二（）证明：因为,D C E F分别是,AQ BQ AP BP的中点， 所以EFAB,DCAB，所以EFDC， 又EF 平面PCD，DC 平面PCD， 所以EF平面PCD， 又EF 平面EFQ,平面EFQ平面PCDGH， 所以EFGH， 又

33、EFAB， 所以ABGH. （）解法一：在ABQ中,2AQBD,ADDQ, 所以=90ABQ，即ABBQ,因为PB 平面ABQ,所以ABPB， 又BPBQB，所以AB 平面PBQ，由（）知ABGH, 所以GH 平面PBQ，又FH 平面PBQ，所以GHFH，同理可得GHHC， 所以FHC为二面角D GHE的平面角，设2BABQBP,连接PC， 在tRFBC中，由勾股定理得， 2FC ， 在tRPBC中，由勾股定理得， 5PC ， 又H为PBQ的重心，所以 15 33 HCPC 同理 5 3 FH , 在FHC中，由余弦定理得 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 FHC ， 即二面角D G

34、HE的余弦值为 4 5 . 解法二：在ABQ中，2AQBD,ADDQ, 所以90ABQ，又PB 平面ABQ,所以,BA BQ BP两两垂直， 以B为坐标原点，分别以,BA BQ BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 2BABQBP ，则(1,0,1)E,(0,0,1)F,(0,2,0)Q,(1,1,0)D，(0,1,0)C(0,0,2)P,所以 ( 1,2, 1)EQ ,(0,2, 1)FQ ,( 1, 1,2)DP ,(0, 1,2)CP , 设平面EFQ的一个法向量为 111 ( ,)mx y z， 由0m EQ，0m FQ, 得 111 11 20 20 xy

35、z yz 取 1 1y ，得(0,1,2)m . 设平面PDC的一个法向量为 222 (,)nxy z 由 0n DP ， 0n CP , 得 222 22 20 20 xyz yz 取 2 1z ，得(0,2,1)n r .所以 4 cos, 5 m n m n m n 因为二面角D GHE为钝角，所以二面角D GHE的余弦值为 4 5 . 【考点定位】本题考查了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法，考查了空间想象能力、推理论证能 力和运算能力第一问主要涉及平面几何的图形性质，中点形成的平行线是常考点之一，论证较为简单第 二问有两种方法可以解决，因图形结构的简洁性，推理论证较为简单，而利用

36、空间向量运算求解二面角就 相对复杂了. 19. 某医学科研单位有甲，乙两个专门从事病毒治愈的研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取了 这两个小组在过去一年里其中经过 15次各自研发的新药结果如下：, x y，, x y，, x y，, x y，, x y， , x y，, x y，, x y，, x y，, x y，, x y，, x y，, x y，, x y，, x y.其中x，x分别表 示甲组研发新药成功和失败；y，y分别表示乙组研发新药成功与失败. （1）若某组成功研发一种新药，则该组可直接为本单位创造经济价值为 5万余元，并且单位奖励给该组 1 千元，否则就亏损 1万余元，奖励

37、 0元，试计算甲，乙两组研发新药的经济效益的平均数和奖金的方差，并 且比较甲乙两组的研发水平； （2）若该医学科研单位安排甲，乙两组各自独立的研发一种新药. 试估算恰有一组研发新药成功的概率； 给定法则：设A，B是两个事件，事件A是否发生对事件B无影响，若事件A，B所发生的概率分别记 为 P A， P B，则事件A，B同时发生的概率为 P A P B.试求甲，乙两组同时都研发新药成功的概 率. 【答案】 （1）甲，乙两组研发新药的经济效益的平均数分别为：3（万元） ，2.6（万元） ；奖金的方差分别为： 2 9 ， 6 25 ；甲组的研发水平应高于乙组研发水平； （2） 7 15 ； 2 5

38、. 【分析】 （1）先计算甲，乙两组为单位贡献的经济效益的平均数，然后求甲乙两组奖金的方差数，并且进 行数据比较分析. （2）利用古典概型的计算公式可以求解. 【详解】 （1）甲组研发新药的贡献效益依次为 5，5，5，1，1，5，5，5，1，5，1，5，5，1， 5. 则甲组贡献经济效益金的平均值 1 50545 3 1515 X （万元）. 甲组获得奖金额依次为 1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1（千元） ， 甲组获得资金的平均值 102 153 X 2 （千元） ，甲组获得资金的方差 22 2 1222 =110+ 05 = 15339 X S 2 . 乙组研发新药

39、的贡献效益依次为 5，1，5，5，1，5，5，1，5，1，1，5，1，5，5. 则乙组贡献经济效益金的平均值 4563913 2.6 15155 X 3 （万元）. 乙组获得奖金额依次为 1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1（千元） 乙组获得奖金的平均值 93 155 X 4 （千元） ，乙组获得奖金的方差 22 2 1336 1906 155525 X S 4 . 从而可以确定XX 13 ；但 4 22 XX SS 2 ， 综上所述，从所得数据看，甲组的研发水平应高于乙组研发水平. （2）记事件:A恰有一组研发新药成功，在抽得的 15 个结果中， 恰有一组研发新药成功的

40、结果为, x y，, x y，, x y，, x y，, x y，, x y，, x y共 7个. 故事件A发生的概率为 7 15 P A .将频率视为概率，即得所求概率为 7 15 P A . 根据已知研发结果得甲单独研发新药成功的概率为 1 102 153 p ，乙单独研发新药成功的概率为 2 93 155 p ， 根据给定法则知：甲，乙两组同时都研发新药成功的概率为 12 232 355 ppp. 【点睛】本题以生活科研实践为素材，提出和研发问题，综合考查考生灵活运用所学的统计与概率知识分 析，处理数据并且解决实际问题的能力，体现了理性思维和数学应用，数学探究的学科素养，落实了应用 性的

41、考查要求.属于中档题. 20. 已知直线l与曲线 32 32f xxxax在点0,2处相切，且l与x轴交点的横坐标为2. （1）求函数 f x的单调减区间； （2）在1k 前提下，试确定曲线 yf x与直线2ykx交点个数. 【答案】 （1） 66 1,1 33 ； （2）函数 yf x与直线2ykx只有唯一交点. 【分析】 （1）由导数几何意义得出切线方程，求出切线与x轴交点坐标后可求得a，然后利用导数的正负得单调区 间； （2）构造新函数( )( )(2)g xf xkx，证明( )g x在0 x时有唯一零点，在0 x时无零点，从而证得 题中结论 【详解】 （1）根据题意应先对函数 32

42、32f xxxax求导，即 2 36fxxxa， 0,2是切点，则l的斜率为 0kfa ，则切线l方程为2yax，l与x轴相交，令0y ，进 而得 2 2x a ，即1a . 于是 2 361fxxx，又 f x单调递减，令 2 3610 xx ，解得， 66 11 33 x ，即函数 f x的单调减区间为 66 1,1 33 . （2）由（1）知 32 32f xxxx ，设 32 2314g xf xkxxxk x. 2 361g xxxk . 在10k，即1k 前提下： 当0 x，显然 0gx ，即 g x在,0上递增，且110gk ， 040g，即存在 0 1,0 x ，使得 0 0g

43、 x，故 20f xkx只有唯一根.此时曲线 yf x与直线2ykx只 有唯一交点. 当0 x时，设 32 34xxx， 2 ( )363 (2)xxxx x，02x时，( )0 x，( ) x递 减2x 时，( )0 x，( )x递增， 0 x时， min ( )(2)0 x，即( )0 x，此时 10g xxk xx.显然 2f xkx在0,恒成立，故 yf x与直线 2ykx 不存在交点. 综上所述，xR时，函数 yf x与直线2ykx只有唯一交点. 【点睛】本题以三次函数为载体，目的是利用导数作为工具研究函数的单调性、导函数的几何意义，同时 还考查了函数的零点概念、分类讨论思想及推理论

44、证能力.试题解法灵活多样，另外对此题的求解策略以及 推理论证能力都提出了较高要求，有利于不同学习程度的考生作答，这凸显了选拔功能.本题属于难题. 21. 从抛物线 2 1: 2Cxpy和椭圆 22 2 22 :1 xy C ab 上各取两点，将其坐标记录于下表中： x 3 0 1 5 y 9 4 2 1 1 4 3 2 （1）求抛物线 1 C和椭圆 2 C的方程； （2）抛物线 1 C和椭圆 2 C的交点记为A、B，点M为椭圆上任意一点，求MA MB 的取值范围. 【答案】 （1） 2 4xy； 22 1 82 xy ； （2） 16 12 2, 3 【分析】 （1）判断哪两点在抛物线上，剩下

45、两个点在椭圆上，代入方程可求得参数，得结论； （2）求出两曲线中坐标，设 00 ,M x y是 22 2: 1 82 xy C上动点，得 0 22y.计算MA MB 化为 0 y的函数后可得取值范围 【详解】 （1） 2 1: 20Cxpy p， 当0y 时， 2 2 x p y ， 根据表格的数据验证， 可知 9 3, 4 ， 1 1, 4 满足方程 2 2xpy，解得 2p ，得抛物线 1 C方程为 2 4xy. 将0,2， 3 5, 2 代入椭圆 22 2 22 :10 xy Cab ab 可得 2 8a ， 2 2b ， 即椭圆 22 2: 1 82 xy C. （2）由 2 22 4

46、 480 xy xy ，解得 1 1 2 1 x y 或 2 1 2 1 x y 即得2,1A ，2,1B. 设 00 ,M x y是 22 2: 1 82 xy C上动点，则 22 00 840 xy. 即得 0 22y. 于是有： 22 0000000 2,12,123MA MBxyxyxyy 2 2 000 116 3253 33 yyy . 0 22y. 即 2 0 11616 1 2 23 333 y .于是 16 1 2 2 3 MA MB . 故MA MB 的取值范围是 16 12 2, 3 . 【点睛】本题以图表为载体，考查考生观察能力、判断问题和数据处理能力，方程思想、函数思想及数形 结合思想.本试题全面充分地考查了考生的逻辑思维能力以及应用解析几何思想解决问题的能力和运算能力. 试题具有较好的区分度，也具有很好的选拔功能. 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚 题号题号. 选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲