（数学）定义域问题中的参数问题.pdf

1、函数定义域研究中的参数问题 函数是高中数学中一个很重要的内容，学生学起来，普遍感到比较吃力，究其原因，是 不能对函数的概念有一个清晰的认识。函数具有三要素：定义域、值域、对应法则。在函数 的定义域研究中，含参数问题值得重视，下面作简要归纳，以抛砖引玉。 一、含有字母参数的函数的定义域 例 1、设 y=, 1log)2(log 2 2 2 txtx若 t 在2 , 2上变化时，y 恒取正值，求 x 的取 值范围。 剖析：本题是求有限制条件的函数定义域问题，但是换一个角度来考虑，由于 t 在2 , 2上 变化，可以把 y 看作是 t 的含字母 x 的一次函数，则问题易解。 令 f（t）=1log2

2、log) 1(log 2 2 22 xxtx，则由当2 , 2t时， f （t） 0 恒成立有 0)2( 0)2( f f ， 解得 0 x 2 1 或 x8， 故 x 的范围是), 8() 2 1 , 0(。 评注： 解答有限制条件的函数定义域问题， 通过换一个角度， 巧变主元， 使问题简单易操作。 二、定义域中的参数问题 例 2、已知 f（x）=ax2+bx+3a+b 是偶函数，定义域为aa2 , 1，则 2a+5b=。 剖析：由题意，a1+2a=0，b=0，故 a= 3 1 ，2a+5b= 3 2 。 评注： 本题虽然定义域中含有参数， 但根据函数的定义域关于原点对称是函数是奇偶函数的

3、必要不充分条件，故很容易求得。 例 3、 若函数 y=x23x4 的定义域为 （0， m） ， 值域为 4, 4 25 ， 则 m 的取值范围是 （） A、4 , 0B、4 , 2 3 C、3 , 2 3 D、 , 2 3 剖析：y= x23x4= 4 25 2 3 2 x，y 4, 4 25 ，x= 2 3 时，y= 4 25 ， x=0 或 3 时，y=4，m3 , 2 3 。 评注：本题是逆向使用函数的定义域，必须充分借助于函数的图象，利用对称性进行分析。 三、已知函数的定义域，求函数中的参数范围 例 4、若 y=loga（2ax）在1 , 0上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（）

4、 A、 （0，1）B、 （1，2）C、 （0，2）D、, 2 剖析：由对数概念，知 a0 且 a1，故内函数 u=2ax 在1 , 0上是 x 的减函数，y= logau 应为增函数，得 a1。又u 在0，1上要满足 u0， 002 012 a a ，得 a2，综上知，1a2。 评注：研究复合函数的单调性，必须在函数的定义域内进行讨论。 例 5、设2,nNnRa，如果 n ann xf xxx ) 1(21 lg)( 的定义域是 1 ,，求 a 的取值范围。 剖 析 ： 依 题 意 ， 可 将 参 数 a 分 离 出 来 。 因 为 定 义 域 是1 ,， 故 不 等 式 0) 1(21 xx

5、x ann即)() 1 () 2 () 1 (xg n n nn a xxx 对一 切1 ,x恒成立，而 g（x）在1 ,上的最大值是 g（1）= 2 1n ，故 a 的取值 范围是（ , 2 1n ） 。 例 6、已知 f（x）是定义在（2，2）上的偶函数，且在2 , 0上单调递减，若 f（1a）f（a） ，求实数 a 的取值范围。 剖析：由题意， aa a a 1 02 212 ，易解得a（ 2 1 , 1） 评注：此题容易遗漏求复合函数的定义域，从而得错解，同时利用偶函数的一个简单性质， 避免了讨论。 四、必须注意的问题 例 7、 （1）函数 f（x）=2x2+mx+1，当 x, 2时是

6、减函数，则 m 的取值范围 是； （2）函数 f（x）=2x2+mx+1 的单调减区间是 , 2，则 m 的取值范围是。 剖析： （1）依题意，f/（x）=4x+m，x, 2时是减函数， f/（2）0，m8。 （2）f/（2）=0，故 m=8。 评注：两小题貌似神异，必须加以区别，函数在 x, 2时是减函数，不等价于单调减 区间是 , 2，仅仅是一种包含于的关系。 例 8、 （1）函数 f（x）=x2+2x，若 f（x）a 在3 , 1上有解，求实数 a 的取值范围； （2）函数 f（x）=x2+2x，若 f（x）a 在3 , 1上恒成立，求实数 a 的取值范围。 剖析： （1）f（x）a 在3 , 1上有解，只要 amax)(xf即可。 （2）若 f（x）a 在3 , 1上 恒成立，必须 amin)(xf。 解： （1）由题意，f（x）a 在3 , 1上有解，只要 amax)(xf即可。 又因 f（x）= x2+2x，当 x=3 时，max)(xf=15，故 a15； （2）由题意，f（x）a 在3 , 1上恒成立，必须 amin)(xf。 又因 f（x）= x2+2x，当 x=1 时，min)(xf=3，故 a3。 总之，函数定义域研究中的参数问题，是一类不可忽视的问题，我们必须认真区别对 待，同时，做好归纳总结，在此基础上提高我们分析、解决问题的能力。