（数学）等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法.pdf

1、等差等差、等比的公式性质以及数列的求和方法等比的公式性质以及数列的求和方法 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一 项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：daa nn 1 （d 为公差） （2n， * nN）注：下面所有涉及n， * nN省略，你懂的。 2、等差数列通项公式： 1 (1) n aand， 1 a为首项，d为公差 推广公式：() nm aanm d 变形推广： mn aa d mn 3、等差中项 （1） 如果a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项 即： 2 ba A 或baA2 （2）等差中项：数列 n a是

2、等差数列 )2(2 11 - naaa nnn21 2 nnn aaa 4、等差数列的前 n 项和公式： 1 () 2 n n n aa S 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n 2 AnBn （其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数 项为0） 特别地， 当项数为奇数21n时， 1n a 是项数为 2n+1 的等差数列的 中间项 121 211 21 21 2 n nn naa Sna （项数为奇数的等差数列的各项 和等于项数乘以中间项） 5、等差数列的判定方法 （1）定义法： 若daa nn 1 或daa nn 1 (常数 Nn) n a

3、是 等差数列 （2）等差中项：数列 n a是等差数列 )2(2 11 - naaa nnn21 2 nnn aaa （3）数列 n a是等差数列bknan（其中bk,是常数）。 （4）数列 n a是等差数列 2 n SAnBn,（其中A、B是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法：若daa nn 1 或daa nn 1 (常数 Nn) n a是等差 数列 7、等差数列相关技巧： （1） 等差数列的通项公式及前n和公式中， 涉及到 5 个元素： 1 a、 d、n、 n a及 n S，其中 1 a、d称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中 的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2

4、。 （2）设项技巧： 一般可设通项 1 (1) n aand 奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差 为d） ； 偶数个数成等差，可设为，3 ,3ad ad ad ad,（注意； 公差为 2d） 8、等差数列的性质： （1） 当公差0d 时， 等差数列的通项公式 11 (1) n aanddnad 是 关 于n的 一 次 函 数 ， 且 斜 率 为 公 差d； 前n和 2 11 (1) () 222 n n ndd Snadnan 是关于n的二次函数且常数项为 0。 （2）若公差0d ，则为递增等差数列，若公差0d ，则为递减 等差数列，若公差0d ，则为常数列。

5、 （3）当mnpq时,则有 qpnm aaaa，特别地，当2mnp 时，则有2 mnp aaa。 （注： 12132nnn aaaaaa ， ）当然扩充 到 3 项、4 项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系 数之和相等。 （4） n a、 n b为等差数列，则 12nnn abab，都为等差数列 (5) 若 n a是等差数列，则 232 , nnnnn SSSSS，也成等差数 列 (6) 数 列 n a为 等 差 数 列 , 每 隔 k(k * N) 项 取 出 一 项 ( 23 , mm kmkmk aaaa )仍为等差数列 （7） n a、 n b的前n和分别为 n A、 n B

6、，则 21 21 nn nn aA bB （8） 等差数列 n a的前 n 项和 m Sn， 前 m 项和 n Sm， 则前 m+n 项和 m n Smn ，当然也有, nm am an，则0 m n a (9)求 n S的最值 法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求 二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 * nN。 法二： （1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有 非负项之和 即当，00 1 da由 0 0 1n n a a 可得 n S达到最大值时的n值 （2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有 非正项之和。 即 当，00 1 da由 0

7、0 1n n a a 可得 n S达到最小值时的n值 或求 n a中正负分界项 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像 是过原点的二次函数， 故n取离二次函数对称轴最近的整数时， n S取 最大值（或最小值） 。若S p =S q则其对称轴为 2 pq n 注意： 1 (2) nnn SSa n ，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论 当1n 的情况。 解决等差数列问题时，通常考虑两类方法： 基本量法：即运用条件转化为关于 1 a和d的方程； 巧妙运用等差数列的性质， 一般地运用性质可以化繁为简， 减少运算量。 （以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是 很难，并能够

8、学会运用） 第二节第二节：等比数列的相关公式和性质：等比数列的相关公式和性质 1、等比数列的定义： 1 2 n n a q qn a 0，q为公比 2、通项公式： 1 1 n n aa q ， 1 a为首项，q为公比 推广公式： n m nm aa q ， 从而得 n m n m a q a 3、等比中项 （1）如果, ,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项即： 2 Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列 n a是等比数列 2 11nnn aaa 4、等比数列的前 n 项和 n S公式： (1) 当1q 时，

9、 1n Sna (2) 当1q 时， 1 1 1 11 n n n aq aa q S qq 11 11 nnn aa qAA BA BA qq （, ,A B A B为常数） 5、等比数列的判定方法 （1） 用定义： 对任意的 n,都有 1 1 (0) n nnn n a aqaq qa a 或为常数， n a 为等比数列 （2） 等比中项： 2 11nnn aaa （ 11nn aa 0） n a为等比数列 （3） 通项公式：0 n n aA BA B n a为等比数列 （4） 前 n 项和公式： , , nn nn SAA BSA BAA B A B或为常数 n a为等比数列 6、 等比

10、数列的证明方法 依据定义：若 * 1 2, n n a q qnnN a 0且或 1nn aqa n a为等比数列 7、等比数列相关技巧： （1） 等比数列的通项公式及前n和公式中， 涉及到 5 个元素： 1 a、 q、n、 n a及 n S，其中 1 a、q称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中 的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项： 1 1 n n aa q 如奇数个数成等比，可设为， 2 2 , , aa a aq aq qq （公比为q，中间项 用a表示） ；注意隐含条件公比q的正负 8、等比数列的性质： (1

11、) 当1q 时 等比数列通项公式 1 1 1 0 nnn n a aa qqA BA B q 是关于n的带有系 数的类指数函数，底数为公比q 前n项和 1 1111 1 1111 n n nnn n aq aa qaa SqAA BA BA qqqq ，系 数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q (2) 对任何 m,n * N,在等比数列 n a中,有 n m nm aa q ,特别的,当 m=1 时, 便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更 具有一般性。 (3) 若mnst(, , ,m n s t * N),则 nmst aaaa。特别的,当2mnk时, 得

12、 2 nmk aaa 注： 12132nnn a aaaa a (4) 列 n a, n b为等比数列,则数列 n k a , n k a, k n a, nn k ab n n a b (k 为 非零常数) 均为等比数列。 (5) 数列 n a为等比数列,每隔 k(k * N)项取出一项( 23 , mm kmkmk aaaa ) 仍为等比数列 (6) 如果 n a是各项均为正数的等比数列,则数列log an a是等差数列 (7) 若 n a为等比数列,则数列 n S， 2nn SS， 32 , nn SS，成等比数列 (8)若 n a为 等 比 数 列 , 则 数 列 12n a aa,

13、122nnn aaa , 21223nnn aaa 成等比数列 (9) 当1q 时，当1q 0时， 1 1 0 0 n n aa aa ，则为递增数列 ，则为递减数列, 1 1 0 0 n n aa aa ，则为递减数列 ，则为递增数列 当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时,该数列为摆动数列。 (10)在等比数列 n a中, 当项数为 2n (n * N)时, 1S Sq 奇 偶 ,。 (11)若 n a是公比为 q 的等比数列,则 n n mnm SSqS 注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比1q 的特殊情况。 解决等比数列问题时，通常考

14、虑两类方法： 基本量法：即运用条件转化为关于 1 a和q的方程； 巧妙运用等比数列的性质， 一般地运用性质可以化繁为简， 减少运算量。 关于等差、等比两个引申：关于等差、等比两个引申： 1nn akab 模式（其中模式（其中, k b为常数为常数， 2n ） ； 1 n nn apap 模式（其中模式（其中p为常数，为常数，2n ） 在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解： 例 1已知数列 n a，有 1 34 nn aa （2n ） ，则求该数列的通项公式 解题大致思路： 先设 1 3() nn abab ， 则对于 1 34 nn aa 1 23(2) nn aa ， 那么我们就可以构

15、造数列2 n a 为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造新 数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当1n 的这种情况了吗？ 例 2已知数列 n b，有 1 22n nn bb （2n ） ，求该数列的通项公式 解题的大致思路： 1 22n nn bb （2n ） 1 2 1 22 nn nn bb 1 1 1 22 nn nn bb ，相信你已 经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个 模式能让你意识到求数列中的构造构造思想。 第三节第三节：数列的求和方法（引用别人的，稍加改进）：数列的求和方法（引用别人的，稍加改进） 一、一、教学目标：教学

16、目标：1、熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运 算； 3、熟记一些常用的数列的和的公式 二、教学重点：二、教学重点：特殊数列求和的方法 三、教学过程：三、教学过程： （一）主要知识： 1、直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 （2）等比数列的求和公式 ) 1( 1 )1 ( ) 1( 1 1 q q qa qna S n n （切记：公比含参数时一定要讨论） 2、公式法： 22222 1 (1)(21) 123 6 n k

17、n nn kn （证明利用立方差公式， 332 (1)331nnnn，将1,2,3nn用替换，错位相消即可整体得出） 2 33333 1 (1) 123 2 n k n n kn （证明利用 4 方差，原理同上） 3、错位相减法：比如 ., 2211 的和求等比等差 nnnn babababa 4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 ： 1 11 ) 1( 1 nnnn ； 11 11 () (2)22n nnn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn !)!1(!nnnn 5、分组求和法：把数列的每一项分成若干

18、项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6、合并求和法：如求 222222 12979899100的和。 7、倒序相加法：如求 2222 sin 1sin 2sin 3sin 89 的和。 8、其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等等 （二）主要方法： 1、求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2、求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3、转化思想的运用； （三）例题分析： 例 1求和： 个n n S111111111 22 2 22 ) 1 () 1 () 1 ( n n n x x x x x xS 求数列 1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前 n 项和 n S 思路分析：

19、通过分组，直接用公式求和。 解：) 110( 9 1 1010101111 2 kk k k a 个 )101010( 9 1 )110() 110() 110( 9 1 22 nS nn n 81 10910 9 ) 110(10 9 1 1 n n nn )2 1 ()2 1 ()2 1 ( 2 2 4 4 2 2 n n n x x x x x xS n xxx xxx n n 2) 111 ()( 242 242 （1）当1x时，n xx xx n x xx x xx S n nnnn n 2 ) 1( ) 1)(1( 2 1 ) 1( 1 ) 1( 22 222 2 22 2 22

20、（2）当nSx n 4,1时 kk kkk kkkkkak 2 3 2 5 2 )23() 12( )1() 12() 12(2) 12( 2 2 ) 1( 2 3 6 ) 12)(1( 2 5 )21 ( 2 3 )21 ( 2 5 222 21 nnnnn nnaaaS nn )25)(1( 6 1 nnn 总结：运用等比数列前 n 项和公式时，要注意公比11qq或讨论。 2、错位相减法求和、错位相减法求和 例例 2已知数列)0() 12( ,5 ,3 , 1 12 aanaa n ，求前 n 项和。 思路分析：已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1 与等比数列 120 , n aa

21、aa对应项 积，可用错位相减法求和。 解： 1) 12(531 12 n n anaaS 2) 12(53 32n n anaaaaS nn n anaaaaSa) 12(22221)1 ( :21 132 当 n n n n a aa Saa) 12( )1 ( )1 (2 1)1 ( ,1 2 1 时 2 1 )1 ( ) 12() 12(1 a anana S nn n 当 2 ,1nSa n 时 3、裂项相消法求和、裂项相消法求和 例例 3.求和 ) 12)(12( )2( 53 4 31 2 222 nn n Sn 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解: ) 12 1 12 1

22、 ( 2 1 1 ) 12)(12( 1 1 ) 12)(12( 11)2( ) 12)(12( )2( 22 kkkkkk k kk k ak 12 ) 1(2 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 21 n nn n n nn naaaS nn 练习:求 n n a n aaa S 32 321 答案: ) 1( ) 1( ) 1() 1( ) 1( 2 ) 1( 2 a aa anaa a nn S n n n 4、倒序相加法求和、倒序相加法求和 例 4 求证： nn nnnn nCnCCC2) 1() 12(53 210

23、 思路分析：由 mn n m n CC 可用倒序相加法求和。 证：令) 1 () 12(53 210n nnnnn CnCCCS 则)2(35) 12() 12( 0121 nnn n n n nn CCCCnCnS mn n m n CC n nnnnn CnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2() 1 ( 210 有 nn nnnnn nCCCCnS2) 1()1( 210 等式成立 5、其它求和方法、其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例例 5已知数列 n n nn Snaa求,) 1( 2,。 思路分析： n n na) 1(22，通过分组，对 n 分

24、奇偶讨论求和。 解： n n na) 1(22，若 m k k mn mSSmn 2 1 2 ) 1(2)2321 (2,2则 ) 1(2) 12()2321 (2nnmmmSn 若 ) 12(22) 12() 1(2 22) 12(, 12 2 2212 mmmmmmaSSSmn m mmmn 则 22) 1() 1(224 222 nnnnmm )(2 )() 1( 2 为正奇数 为正偶数 nnn nnn Sn 预备预备：已知 n n n aaaaxaxaxaxf,)( 321 2 21 且成等差数列，n 为正偶数， 又nfnf) 1(,) 1 ( 2 ，试比较) 2 1 (f与 3 的大

25、小。 解： naaaaaf naaaaf nn n 1321 2 321 ) 1( ) 1 ( 2 2 2 2 )( 1 21 d naa nd n n naa n n 121 2 2) 1( 1 11 naa d ndnaa n nn nfxnxxxxf) 2 1 )(12() 2 1 (5) 2 1 (3 2 1 ) 2 1 () 12(53)( 3232 可求得 nn nf) 2 1 )(12() 2 1 (3) 2 1 ( 2 ，n 为正偶数，3) 2 1 ( f （四）巩固练习： 1求下列数列的前n项和 n S： （1）5，55，555，5555， 5 (101) 9 n ，； （2

26、） 1111 , 1 3 2 4 3 5(2)n n ； （3） 1 1 n a nn ；（4） 23 ,2,3, n aaana； （ 5 ）1 3,2 4,3 5, (2),n n；（ 6 ） 2222 sin 1sin 2sin 3sin 89 解： （1）555555555 n n S 个 5 (999999999) 9 n 个 23 5 (10 1)(101)(101)(101) 9 n 23 5505 10 101010(101) 9819 nn nn （2） 11 11 () (2)22n nnn ， 11111111 (1)()()() 2324352 n S nn 1111

27、(1) 2212nn （3） 11 1 1(1)(1) n nn ann nnnnnn 111 21321 n S nn ( 21)( 32)(1)nn 1 1n （4） 23 23 n n Saaana， 当1a 时，123 n S (1) 2 n n n ， 当1a 时， 23 23 n Saaa n na， 234 23 n aSaaa 1n na ， 两式相减得 23 (1) n a Saaa 11 (1) 1 n nnn aa anana a ， 21 2 (1) (1) nn n nanaa S a （5） 2 (2)2n nnn， 原式 222 (123 2) 2 (123n )

28、n (1)(27) 6 n nn （6）设 2222 sin 1sin 2sin 3sin 89S ， 又 2222 sin 89sin 88sin 87sin 1S ， 289S ， 89 2 S 2已知数列 n a的通项 65() 2() n n nn a n 为奇数 为偶数 ，求其前n项和 n S 解：奇数项组成以 1 1a 为首项，公差为 12 的等差数列， 偶数项组成以 2 4a 为首项，公比为 4 的等比数列； 当n为奇数时，奇数项有 1 2 n 项，偶数项有 1 2 n 项， 1 1 2 1(1 6 5) 4(1 4)(1)(32)4(21) 2 21 423 n n n n n nn S ， 当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有 2 n 项， 2 (1 65) 4(1 4 )(32)4(21) 2 21 423 n n n n n nn S ， 所以， 1 (1)(32)4(21) () 23 (32)4(21) () 23 n n n nn n S nn n 为奇数 为偶数 四、小结：四、小结： 1、掌握各种求和基本方法； 2、利用等比数列求和公式时注意分11qq或讨论。 其实学习数列并不难，只要能熟练掌握以上基本性质和公式灵活运用，多加练习，基本上能 解决高中所有数列问题了。