（数学）超几何分布与二项分布的区别与联系.pdf

1、二项分布与超几何分布是两个非常重要的、 应用 广泛的概率模型， 实际中的许多问题都可以利用这两 个概率模型来解决。 在实际应用中， 如何理解它们的 关联性同时又能区分两个概率模型呢？ 本文笔者就此 问题予以阐述。 一、 超几何分布与二项分布的定义 1.一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其 中恰有X件次品数,则事件X=k发生的概率为 P (X=k) = CM k Cnm nk CN n ，k=0，1，2， ，m 其中m=min M,n， 且nN，MN，n，M，N N*。 其分布列为超几何分布列。 如果随机变量X的分布 列为超几何分布列， 则称随机变量X服从超几何分布。 2.一般地，

2、在相同条件下重复做的n次试验称为n次 独立重复试验。 在n次独立重复试验中， 设事件A发生 的次数X， 在每次试验事件A发生的概率为p,那么在n次 独立重复试验中， 事件A恰好发生k次的概率为 P (X=k) =Cn kPk （1-p） n-k， k=0，1，2， ，n。 此时 称随机变量X服从二项分布， 记作XB (n，p)， 并称p 为成功概率。 二、 超几何分布与二项分布的区别 从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后 的结果 （不研究试验中先后取的顺序）， 并且是无放回 的抽取； 二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序 又有试验结果， 并且是有放回的抽取。 超几何分布是 无放回的抽

3、取， 即每做一次试验， 下一次再发生同一 事件A的概率已经发生了变化， 即每次发生的概率都不 相等。 实质上， 超几何分布是古典概型的一种特例。 二项分布是有放回的抽取， 每做一次试验， 发生同一 事件A的概率都相同。 这就是二者之间的区别。 本文笔 者举例说明： 例1： 在装有4个黑球6个白球的袋子中， 任取2个， 试求：(1)不放回地抽取， 取到黑球数X的分布列； (2)有放回地抽取， 取到黑球数的分布列。 解：（1） 是不放回地抽取，X服从超几何分布。 从10个球中任取2球的结果数为C10 2 ， 从10个球中任取2 个， 其中恰有k个黑球的结果数为C4 kC 6 2-k， 那么从10个

4、球 中任取2个， 其中恰有k个黑球的概率为 P（X=k）= C4 kC 6 2k C10 2 ，k=0，1，2。 所以随机变量X的分布列是 （2） 是有放回地抽取， 每次抽到黑球的概率相同， XB (2,0.4)。 那么从10个球中任取2个， 其中恰有k个黑 球的概率为 P（X=k）=C2 K 04K062K，k=0，1，2。 所以随机变量X的分布列是 三、 超几何分布与二项分布的联系 例2某批n件产品的次品率为2%， 现从中任意地抽 出3件进行检验。 问： 当n=500，5000，50000时， 分别 以放回和不放回的方式抽取， 恰好抽到1件次品的概率 各是多少？ 解：（1） 当有放回地抽取

5、时， 次品数XB (3,0.02) P（X=1）=C3 1 002 （1002） 20057624 （2） 无放回地抽取时，X服从超几何分布 n=500时，P（X=1）= C10 1 C490 2 C500 3 0057853 n=5000时，P（X=1）= C100 1 C4900 2 C5000 3 0057647 n=50000时，P（X=1）= C1000 1 C49000 2 C50000 3 0057626 说明： 当产品总数很大而抽出的产品较少时， 每 次抽出产品后， 次品率近似不变， 这样就可以近似看 成每次抽样的结果是相互独立的， 抽出产品中的次品 件数近似服从二项分布。 总之， 在教学过程中， 教师要让学生深刻体会超 几何分布与二项分布的区别与联系， 引导学生发掘题 中所给的隐含条件， 抓住实质， 从而能够正确解题， 并能利用所学知识解决一些实际问题。 超几何分布与二项分布的区别与联系 X01m p CM 0 CN-M n0 CN n CM 1 CN-M n1 CN n CM n CN-M nm CN n X012 P 1 3 8 15 2 15 X012 P036048016