青海省西宁市三校2017届高三数学4月联考试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、青海省西宁市三校 2017届高三数学 4 月联考试题 理 第 I卷 一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1.集合? ?1,0,1,3A?， 集 合? ?2 2 0 ,B x x x x N? ? ? ? ?， 全 集? ?1 4 ,U x x x Z? ? ? ?，则?BCU?( ) A.?3B.? ?3,1?C.? ?3,0,1?D.? 1,2 已知纯虚数 z 满足 ? ?1 2 1i z ai? ? ? ，则实数 a 等于 ( ) A. 12 B. 12? C. -2 D. 2 3 如图是一个多面体的三视

2、图 ,则其全面积为 ( ) A. 3 B. 23 +6 C. 3 +4 D. 3 +6 4 函数 ? ? 22s in s in44f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是 ( ) A. 周期为 ? 的偶函数 B. 周期为 2? 的偶函数 C.周期为 ? 的奇函数 D. 周期为 2? 奇函数 5执行如图所示的程序框图，若输出的 S 88，则判断框内应填入的条件是 ( ) A k4? B k5? C k6? D k7? 6 等差数列 ?na 中， 1 3 5 39a a a? ? ? ， 5 7 9 27a a a? ? ? ，则数列 ?na 的前9项的和 9S 等于

3、( ) A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 7.函数2 lny x x?的图象大致为 ( ) 8.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 ( ) A 210 B.84 C.343 D.336 9四棱锥 P ABCD? 的底面是一个正方形， PA? 平面 ABCD ， 2PA AB?， E 是棱 PA的中点，则异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值是 ( ) A 155 B 105 C 63 D 62 10已知平面向量 a ， b 夹角为 3? ，且 1a? ， 12b? ，则 2ab? 与 b

4、的夹角是 ( ) A. 6? B. 56? C. 4? D. 34? 11 已知双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的左、右焦点分别为 12,F F O、 为坐标原点，点 P 是双曲线在第一象限内的点，直线 2,POPF 分别交双曲线 C 的左、右支于另一点,MN，若 122PF PF? ，且 02 120MF N?，则双曲线的离心率为 ( ) A. 223 B. 7 C. 3 D. 2 12.已知函数()fx的定义域为 R，( 2) 2021f ?， 对任意( , )x? ?， 都有( ) 2f x x?成立 ， 则不等式2) 2017f x ?的解集为 (

5、) A( 2, )? ?B2,2)?C( , 2)?D( , )?第卷 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13 设变量 x， y满足不等式组 241,22xyxyxy? ?，则 z=x+y的最小值为 14 设 ? e dxxa12 ，则二项式61axx?的展开式的常数项是 _. ? ? ? ? ? ? nnnnnn NnaaSaana S,1,2,1,S.15 *1221 则且满足：项和为的前已知数列_. 16 已知 f(x)= ，且 g(x)= f(x)+ 2x有三个零点，则实数 a 的取值范围为 _ 三、解答题 :本大题共 6小题，共计 70 分。 解答应写出文字说明证明过程或演

6、算步骤 17. （本小题满分 10 分） 在 ABC中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 csinA acosC. (1)求角 C的大小； (2)求 3sinA cos ）（ 4?B 的最大值，并求取得最大值时角 A， B的大小 18 （本小题满分 10分） 学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各 50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过 3小时的学生称为 “ 古文迷 ” ，否则为 “ 非古文迷 ” ，调查结果如表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 56 44 1

7、00 （ 1）根据表中数据判断能否有 60% 的把握认为 “ 古文迷 ” 与性别 有关？ （ 2）先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中 “ 古文迷 ” 和 “ 非古文迷 ” 的人数； （ 3）现从（ 2）中所抽取的 5 人中再随机抽取 3人进行体育锻炼时间的调查，记这 3人中 “ 古文迷 ” 的人数为 ? ，求随机变量 ? 的分布列与数学期望 参考数据： ? ?2 0P K k? 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0k 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6. 635 参考公式： ? ? ?

8、? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a c d? ? ? ? 19. （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1C1C是边长为 4的正方形 . 平面 ABC平面 AA1C1C， AB=3， BC=5. （ 1）求证： AA1平面 ABC； （ 2）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值； （ 3）证明：在线段 BC1存在点 D，使得 AD A1B，并求1BDBC 的值 . 20、（本小题满分 12分）已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 33 ，过右焦点 F的直线

9、l 与 C 相交于 BA, 两点，当 l 的斜率为 1是，坐标原点 O 到 l 的距离为 22 （ 1）求 ba, 的值； （ 2） C 上是否存在点 P ，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OBOAOP ? 成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由 . 21. （本小题满分 12分） 已知函数 2ln)( xxaxf ? ,(a 为实常数） （ 1）若 2-?a ，求证：函数 )(xf 在（ 1， + ）上是增函数； （ 2）求函数 )(xf 在 1， e上的最小值及相应的 x 值 . 请考生在第 22、 23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题

10、记分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? cossin cossinyx（ ? 为参数） （ 1）求曲线 C 的普通方程； （ 2） 在以 O 为极点， x 正半轴为极轴的极坐标系中 ，直线 l 方程为 01)4sin(2 ? ， 已知直线 l 与 曲线 C 相交于 BA, 两点，求 AB 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 3)( ? xmxf ，不等式 2)( ?xf 的解集为（ 2， 4） （ 1）求实数 m 的值； （ 2）若关于 x的不等式 )(xfa

11、x ? 恒成立，求实数 a 的取值范围 2017 三校联考数学（理）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D C B B A D B A B C 二、 填空题 13 2 14 -160 15 16 ( ,+ ) 三、解答题（共 6小题，满分 70分） 17.（满分 12分） (1)由正弦定理得 sinCsinA sinAcosC. 因为 00. 从而 sinC cosC. 又 cosC 0，所以 tanC 1，则 C 4 . (2)由 (1)知， B 43 A，于是 sinA cos4 sinA cos( A) sinA cosA 2sin

12、6 . 因为 0A 43 ，所以 6 A 6 1211 .从而当 A 6 2 ，即 A 3 时， 2sin6 取最大值 2. 综上所述， sinA cos4的最大值为 2，此时 A 3， B 125. 18 （满分 12分）（ 1）由列联表得 ， 所以没有 的把握认为“古文迷”与性别有关 （ 2）调查的 50 名女生中“古文迷”有 30人，“非古文迷”有 20 人，按分层抽样的方法抽出 5人，则“古文迷”的人数为 人，“非古文迷”有 人 即抽取的 5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为 3人和 2人 （ 3）因为 为所抽取的 3人中“古文迷”的人数，所以 的所有取值为 1， 2,3 ， ，

13、 所以随机变量 的分布列为 1 2 3 于是 19. （满分 12分） 解 : (1) 为正方形 , ,又面 面 , 又面 面 = AA1平面 ABC. (2) AC=4,AB=3,BC=5, , CAB= ,即 AB AC, 又由 (1) AA1平面 ABC.知 , 所以建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 (0,0,4), (4,0,4), (0,3,4),B(0,3,0) 设面 与面 B 的法向量分别为 , , 由 ,得 ,令 ,则 , 同理 , , , 由图知 ,所求二面角为锐二面角 ,所以二面角 A1-BC1-B1的余弦值为 . (3)证明 : 设 , ,则 , , , 因为 三点共

14、线 ,所以设 ,即 , 所以 , (1) 由 得 (2) 由 (1)(2)求得 , 即 , 故在线段 BC1存在点 D，使得 AD A1B，且 = . 20、（本小题满分 12分） 解：（ 1）设 当 的斜率为 1时，其方程为 到 的距离为 ，故 ， 由 ，得 ， = （ 2） C上存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立。 由（ 1）知 C的方程为 + =6. 设 ( ) C 上的点 使 成立的充要条件是 点的坐标为 ，且整理得 故 将 ，并化简得 于是 , = , 代入解得， ，此时 于是 = ， 即 因此， 当 时， ， ； 当 时， ， 。 （）当 垂直于 轴时，由 知， C上不

15、存在点 P使成立。综上， C上存在点 使 成立，此时 的方程为 21. （本小题满分 12分） 解：（ 1）当 a= 2时， f（ x） =x2 2lnx，当 x （ 1， + ）， ， 所以 函数 f（ x）在（ 1， +）上是增函数； .2 分 （ 2） ，当 x 1， e， 2x2+a a+2， a+2e2 若 a 2， f（ x）在 1， e上非负（仅当 a= 2， x=1时， f（ x） =0），故函数 f（ x）在1， e上是增函数，此时 f（ x） min=f（ 1） =1 若 2e2 a 2，当 时， f（ x） =0； 当 时， f（ x） 0，此时 f（ x）是减函数； 当

16、 时， f（ x） 0，此时 f（ x）是增函数 故 f（ x） min= = 若 a 2e2， f（ x）在 1， e上非正（仅当 a= 2e2， x=e时， f（ x） =0）， 故函数 f（ x）在 1， e上是减函数，此时 f（ x） min=f（ e） =a+e2 综上可知，当 a 2 时， f（ x）的最小值为 1，相应的 x值为 1； 当 2e2 a 2时， f（ x）的最小值为 ，相应的 x值为 ； 当 a 2e2时， f（ x）的最小值为 a+e2，相应的 x值为 e .7分 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4： 坐标系与参数方程 （ 1）由已知 ，结合 ，消去 得： 普通方程为 ，化简得 （ 2）由 知 ，化为普通方程为 ，圆心到直线 的距离 ， 由垂径定理 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（ 1） f（ x） =m |x 3|， 不等式 f（