历年高考数学真题精选30 立体几何中的平行关系.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 30 平行关系（学生版） 1（2019江苏） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC 求证： （1） 11/ / AB平面 1 DEC； （2） 1 BEC E 2（2017江苏） 如图， 在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD， 平面ABD 平面BCD， 点E、(F E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证： （1）/ /EF平面ABC； （2）ADAC 3 （2016山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，/ /EFDB （

2、）已知ABBC，AEEC，求证：ACFB； （）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：/ /GH平面ABC 第 2 页（共 20 页） 4 （2013新课标）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别是AB， 1 BB的中点 （）证明： 1/ / BC平面 1 ACD； （） 1 2AAACCB，2 2AB ，求三棱锥 1 CADE的体积 5 （2013山东） 如图， 四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，/ /ABCD，2ABCD， E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点 （）求证：/ /CE平面PAD （）求证：平面EFG 平面EMN 6 （2013天津）如

3、图，三棱柱 111 ABCA BC中，侧棱 1 A A 底面ABC，且各棱长均相等， D，E，F分别为棱AB，BC， 11 AC的中点 第 3 页（共 20 页） （）证明/ /EF平面 1 ACD； （）证明平面 1 ACD 平面 11 A ABB； （）求直线 11 BC与平面 1 ACD所成角的正弦值 7（2013北京） 如图， 在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，ABAD，2CDAB， 平面PAD 底面ABCD，PAADE和F分别是CD和PC的中点，求证： （）PA底面ABCD； （）/ /BE平面PAD； （）平面BEF 平面PCD 8（2012山东） 如图， 几何体EABCD是四

4、棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD （）求证：BEDE； （）若120BCD，M为线段AE的中点，求证：/ /DM平面BEC 9 （2012辽宁）如图，直三棱柱ABCA B C ，90BAC，2ABAC，1AA， 第 4 页（共 20 页） 点M，N分别为A B和B C 的中点 （）证明：/ /MN平面A ACC； （）求三棱锥AMNC的体积 （锥体体积公式 1 3 VSh，其中S为底面面积，h为高） 10 （2012北京）如图 1，在Rt ABC中，90C，D，E分别为AC，AB的中点，点 F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到 1 ADE的位置，使 1 A FCD，如图 2 （

5、1）求证：/ /DE平面 1 ACB； （2）求证： 1 AFBE； （3）线段 1 A B上是否存在点Q，使 1 AC 平面DEQ？说明理由 11 （2010湖南）如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱 1 DD的中点 （）求直线BE与平面 11 ABB A所成的角的正弦值； （）在棱 11 C D上是否存在一点F，使 1 / /B F平面 1 A BE？证明你的结论 第 5 页（共 20 页） 12 （2013陕西）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，O为底面中心， 1 AO 平面ABCD， 1 2ABAA （） 证明：平面 1 / /A

6、BD平面 11 CD B； （） 求三棱柱 111 ABDAB D的体积 13 （2011山东）如图，在四棱台 1111 ABCDABC D中， 1 D D 平面ABCD，底面ABCD是 平行四边形，2ABAD， 11 ADA B，60BAD （）证明： 1 AABD； （）证明： 1/ / CC平面 1 A BD 第 6 页（共 20 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 30 平行关系（教师版） 1（2019江苏） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC 求证： （1） 11/ / AB平面 1 DEC

7、； （2） 1 BEC E 证明： （1）在直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别为BC，AC的中点， / /DEAB， 11 / /ABAB， 11 / /DEAB， DE 平面 1 DEC， 11 A B 平面 1 DEC， 11/ / AB平面 1 DEC 解： （2）在直三棱柱 111 ABCABC中，E是AC的中点，ABBC 1 BEAA，BEAC， 又 1 AAACA，BE平面 11 ACC A， 1 C E 平面 11 ACC A， 1 BEC E 2（2017江苏） 如图， 在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD， 平面ABD 平面BCD， 第 7 页（共 20 页） 点

8、E、(F E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证： （1）/ /EF平面ABC； （2）ADAC 证明： （1）ABAD，EFAD，且A、B、E、F四点共面， / /ABEF，又EF 平面ABC，AB平面ABC， / /EF平面ABC； （2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得/ /FGBC，则/ /EGAC， BCBD，/ /FGBC，FGBD， 又平面ABD 平面BCD，平面ABD平面BCDBD，FG 平面BCD， FG平面ABD，AD平面ABD，FGAD， ADEF，且EFFGF， AD平面EFG，EG 平面EFG，ADEG， / /EGAC，ADAC 3 （2016

9、山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，/ /EFDB （）已知ABBC，AEEC，求证：ACFB； （）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：/ /GH平面ABC 第 8 页（共 20 页） （）证明：如图所示，D是AC的中点，ABBC，AEEC， BAC、EAC都是等腰三角形， BDAC，EDAC / /EFDB，E、F、B、D四点共面，这样， AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD， AC平面EFBD 显然，FB 平面EFBD，ACFB （）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O， 则/ /OGEF，又/ /EFDB，故有/ /OGBD， 而BD平面ABC，/

10、 /OG平面ABC 同理，/ /OHBC，而BC 平面ABC，/ /OH平面ABC OGOHO，平面/ /OGH平面ABC，/ /GH平面ABC 4 （2013新课标）如图，直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别是AB， 1 BB的中点 （）证明： 1/ / BC平面 1 ACD； （） 1 2AAACCB，2 2AB ，求三棱锥 1 CADE的体积 第 9 页（共 20 页） 解： （）证明：连接 1 AC 交 1 AC于点F，则F为 1 AC的中点 直棱柱 111 ABCABC中，D，E分别是AB， 1 BB的中点， 故DF为三角形 1 ABC的中位线， 故 1 / /DFBC 由于

11、DF 平面 1 ACD，而 1 BC不在平面 1 ACD中，故有 1/ / BC平面 1 ACD （） 1 2AAACCB，2 2AB ，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形 由D为AB的中点可得CD 平面 11 ABB A，2 AC BC CD AB 22 11 6ADAAAD，同理，利用勾股定理求得3DE ， 1 3A E 再由勾股定理可得 222 11 ADDEAE， 1 ADDE 1 1 13 2 22 A DE SAD DE， 11 1 1 3 CA DEA DE VSCD 5 （2013山东） 如图， 四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，/ /ABCD，2ABCD， E，F

12、，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点 第 10 页（共 20 页） （）求证：/ /CE平面PAD （）求证：平面EFG 平面EMN 解： （）证明：四棱锥PABCD中，/ /ABCD，2ABCD， E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点， 取PA的中点H， 则由/ /HEAB， 1 2 HEAB，而且/ /CDAB， 1 2 CDAB， 可得HE和CD平行且相等， 故四边形CDHE为平行四边形，故/ /CEDH 由于DH在平面PAD内，而CE不在平面PAD内， 故有/ /CE平面PAD （）证明：由于ABAC，ABPA，而PAACA， 可得AB 平面PAC

13、 再由/ /ABCD可得，CD 平面PAC 由于MN是三角形PCD的中位线，故有/ /MNCD，故MN 平面PAC 由于EF为三角形PAB的中位线，可得/ /EFPA，而PA在平面PAC内， 而EF不在平面PAC内，故有/ /EF平面PAC 同理可得，/ /FG平面PAC 而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面/ /EFG平面PAC MN平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG 平面EMN 第 11 页（共 20 页） 6 （2013天津）如图，三棱柱 111 ABCA BC中，侧棱 1 A A 底面ABC，且各棱长均相等， D，E，F分别为棱AB，BC， 11 AC的中

14、点 （）证明/ /EF平面 1 ACD； （）证明平面 1 ACD 平面 11 A ABB； （）求直线 11 BC与平面 1 ACD所成角的正弦值 证明：( ) I三棱柱 111 ABCABC中， 11 / /ACAC， 11 ACAC，连接ED， 可得/ /DEAC， 1 2 DEAC，又F为棱 11 AC的中点 1 AFDE， 1 / /A FDE， 所以 1 ADEF是平行四边形，所以 1 / /EFDA， 1 DA 平面 1 ACD，EF 平面 1 ACD，/ /EF平面 1 ACD ()IID是AB的中点，CDAB， 又 1 AA 平面ABC，CD 平面ABC， 1 AACD，又

15、1 AAABA， 第 12 页（共 20 页） CD面 11 A ABB，又CD 面 1 ACD， 平面 1 ACD 平面 11 A ABB； ()III过B作 1 BGA D交 1 A D于G， 平面 1 ACD 平面 11 A ABB，且平面 1 ACD平面 111 A ABBAD， 1 BGA D， BG面 1 ACD， 则BCG为所求的角， 设棱长为a，可得 1 5 2 ADa，由 1 A ADBGD，得 5 5 BGa， 在直角BGC中， 5 sin 5 BG BCG BC ， 直线BC与平面 1 ACD所成角的正弦值 5 5 7（2013北京） 如图， 在四棱锥PABCD中，/ /

16、ABCD，ABAD，2CDAB， 平面PAD 底面ABCD，PAADE和F分别是CD和PC的中点，求证： （）PA底面ABCD； （）/ /BE平面PAD； （）平面BEF 平面PCD 第 13 页（共 20 页） 解： （）PAAD，平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和 平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD （）/ /ABCD，ABAD，2CDAB，E和F分别是CD和PC的中点， 故四边形ABED 为平行四边形，故有/ /BEAD 又AD 平面PAD，BE不在平面PAD内，故有/ /BE平面PAD （）平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BE

17、CD 由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB 平面PAD， CD平面PAD，故有CDPD 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得/ /EFPD， CDEF 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD 平面BEF 由于CD 平面PCD，平面BEF 平面PCD 8（2012山东） 如图， 几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD （）求证：BEDE； （）若120BCD，M为线段AE的中点，求证：/ /DM平面BEC 证明：( ) I设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD， 又已知CEBD，ECCOC， 所以BD 平面OCE 第 14

18、 页（共 20 页） 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BEDE ()II证法一： 取AB中点N，连接MN，DN， M是AE的中点， / /MNBE，又MN 平面BEC，BE 平面BEC， / /MN平面BEC， ABD是等边三角形， 30BDN，又CBCD，120BCD， 30CBD， / /NDBC， 又DN 平面BEC，BC 平面BEC， / /DN平面BEC，又MNDNN，故平面/ /DMN平面BEC，又DM 平面DMN， / /DM平面BEC 证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF， CBCD，120BCD， 第 15 页（共 20 页） 30CBD， ABD是等边三角

19、形， 60BAD，90ABC，因此30AFB， 1 2 ABAF， 又ABAD， D为线段AF的中点，连接DM，/ /DMEF，又DM 平面BEC，EF 平面BEC， / /DM平面BEC 9 （2012辽宁）如图，直三棱柱ABCA B C ，90BAC，2ABAC，1AA， 点M，N分别为A B和B C 的中点 （）证明：/ /MN平面A ACC； （）求三棱锥AMNC的体积 （锥体体积公式 1 3 VSh，其中S为底面面积，h为高） （） （证法一） 连接AB，AC，由已知90BAC，ABAC，三棱柱ABCA B C 为直三棱柱， 所以M为AB的中点，又因为N为B C 中点，所以/ /MN

20、AC， 又MN 平面A ACC，AC平面A ACC，所以/ /MN平面A ACC； （证法二） 取AB 中点， 连接MP，NP 而M，N分别为AB，B C 中点， 所以/ /MPAA，/ /PNAC 所 以/ /MP平面A ACC，/ /PN平面A ACC；又MPPNP， 所以平面/ /MPN平面A ACC，而MN 平面MPN，所以/ /MN平面A ACC； （）（解法一） 连接BN， 由题意A NB C ， 平面A B C 平面B BCCB C ， 所以A N 第 16 页（共 20 页） 平面NBC，又 1 1 2 A NB C ，故 1 2 AMNCNA MC VVV 11 26 NA

21、BCANBC V （解法二） AMNCANBC VVV 11 26 MNBCANBC V 10 （2012北京）如图 1，在Rt ABC中，90C，D，E分别为AC，AB的中点，点 F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到 1 ADE的位置，使 1 A FCD，如图 2 （1）求证：/ /DE平面 1 ACB； （2）求证： 1 AFBE； （3）线段 1 A B上是否存在点Q，使 1 AC 平面DEQ？说明理由 解： （1）D，E分别为AC，AB的中点， / /DEBC，又DE 平面 1 ACB， / /DE平面 1 ACB （2）由已知得ACBC且/ /DEBC， 第 17 页（共 20

22、 页） DEAC， 1 DEAD，又DECD， DE平面 1 ADC，而 1 A F 平面 1 ADC， 1 DEAF，又 1 A FCD， 1 A F平面BCDE， 1 AFBE （3）线段 1 A B上存在点Q，使 1 AC 平面DEQ理由如下：如图，分别取 1 AC， 1 A B的中 点P，Q，则/ /PQBC / /DEBC， / /DEPQ 平面DEQ即为平面DEP 由（）知DE 平面 1 ADC， 1 DEAC， 又P是等腰三角形 1 DAC底边 1 AC的中点， 1 ACDP， 1 AC平面DEP，从而 1 AC 平面DEQ， 故线段 1 A B上存在点Q，使 1 AC 平面DE

23、Q 11 （2010湖南）如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱 1 DD的中点 （）求直线BE与平面 11 ABB A所成的角的正弦值； 第 18 页（共 20 页） （）在棱 11 C D上是否存在一点F，使 1 / /B F平面 1 A BE？证明你的结论 解：( ) I如图 （a） ， 取 1 AA的中点M， 连接EM，BM， 因为E是 1 DD的中点， 四边形 11 ADD A 为正方形，所以/ /EMAD 又在正方体 1111 ABCDABC D中AD 平面 11 ABB A，所以EM 面 11 ABB A，从而BM为直 线BE在平面 11 ABB A上的射影，

24、 EBM直线BE与平面 11 ABB A所成的角 设正方体的棱长为 2，则2EMAD， 222 2213BE ， 于是在Rt BEM中， 2 sin 3 EM EBM BE 即直线BE与平面 11 ABB A所成的角的正弦值为 2 3 （）在棱 11 C D上存在点F，使 1 B F平面 1 A BE， 事实上，如图（b）所示，分别取 11 C D和CD的中点F，G，连接EG，BG， 1 CD，FG， 因 1111 / / /ADBCBC，且 11 ADBC，所以四边形 11 ABCD为平行四边形， 因此 11 / /DCAB，又E，G分别为 1 D D，CD的中点，所以 1 / /EGDC，

25、从而 1 / /EGAB，这 说明 1 A，B，G，E共面，所以BG 平面 1 A BE 因四边形 11 C CDD与 11 B BCC皆为正方形，F，G分别为 11 C D和CD的中点，所以 11 / / /FGC CB B， 且 11 FGC CB B， 因此四边形 1 B BGF为平行四边形， 所以 1 / /B FBG， 而 1 B F 平面 1 A BE，BG 平面 1 A BE，故 1 / /B F平面 1 A BE 第 19 页（共 20 页） 12 （2013陕西）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，O为底面中心， 1 AO 平面ABCD， 1 2

26、ABAA （） 证明：平面 1 / /A BD平面 11 CD B； （） 求三棱柱 111 ABDAB D的体积 解： （）四棱柱 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，O为底面中心， 1 AO 平面 ABCD， 1 2ABAA， 由棱柱的性质可得 1 BB 和 1 DD平行且相等，故四边形 11 BB D D为平行四边形，故有BD和 11 B D平行且相等 而BD不在平面 11 CB D内，而 11 B D在平面 11 CB D内，/ /BD平面 11 CB D 同理可证， 11 ABCD为平行四边形， 1 / /AB平面 11 CB D 而BD和 1 A B是平面 1 A

27、BD内的两条相交直线，故有平面 1 / /A BD平面 11 CD B （） 由题意可得 1 AO为三棱柱 111 ABDAB D的高三角形 1 A AO中，由勾股定理可得 22 11 2 11AOAAAO ， 三棱柱 111 ABDAB D的体积 2 11 2 1 1 22 ABD AB VSAOAO 13 （2011山东）如图，在四棱台 1111 ABCDABC D中， 1 D D 平面ABCD，底面ABCD是 第 20 页（共 20 页） 平行四边形，2ABAD， 11 ADA B，60BAD （）证明： 1 AABD； （）证明： 1/ / CC平面 1 A BD 证明： （） 1 D

28、 D 平面ABCD， 1 D DBD 又2ABAD， 11 ADA B，60BAD， ABD中，由余弦定理得 2222 2cos603BDADABAB ADAD， 222 ADBDAB， ADBD，又 1 ADDDD，BD面 11 ADD A 由 1 AA 面 11 ADD A， 1 BDAA （）证明：连接AC和 11 AC，设ACBDE，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平 行四边形ABCD的 中心，由棱台的定义及 11 22ABADAB，可得 11 / /ECAC，且 11 ECAC， 故 11 ECC A为平行四边形， 11 / /CCAE，而 1 A E 平面 1 ABD， 1/ / CC平面 1 A BD