历年高考数学真题精选23 基本不等式.docx

1、 第 1 页（共 10 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 23 基本不等式（学生版） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （2015湖南）若实数a，b满足 12 ab ab ，则ab的最小值为( ) A2 B2 C2 2 D4 2 （2015上海）已知0a ，0b ，若4ab，则( ) A 22 ab有最小值 Bab有最小值 C 11 ab 有最大值 D 1 ab 有最大值 3 （2015福建）若直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,1)，则ab的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 4 （2014重庆）若 42 log

2、 (34 )logabab，则ab的最小值是( ) A62 3 B72 3 C64 3 D74 3 5 （2013山东）设正实数x，y，z满足 22 340 xxyyz则当 xy z 取得最大值时， 212 xyz 的最大值为( ) A0 B1 C 9 4 D3 6 （2013福建）若221 xy ，则xy的取值范围是( ) A0，2 B 2，0 C 2，) D(，2 7 （2012浙江）若正数x，y满足35xyxy，则34xy的最小值是( ) A 24 5 B 28 5 C5 D6 8 （2010四川）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最小值是( ) A

3、2 B4 C2 5 D5 9 （2010四川）设0ab，则 2 11 () a aba ab 的最小值是( ) A1 B2 C3 D4 10 （2010重庆）已知0 x ，0y ，228xyxy，则2xy的最小值是( ) 第 2 页（共 10 页） A3 B4 C 9 2 D 11 2 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11 （2019上海）若x，yR，且 1 23y x ，则 y x 的最大值为 12 （2019天津）设0 x ，0y ，24xy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为 13 （2018天津）已知a，bR，且360ab，则 1 2 8 a b 的最小值为 14

4、（2017山东）若直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,2)，则2ab的最小值为 15 （2014上海）若实数x，y满足1xy ，则 22 2xy的最小值为 16 （2013上海）设常数0a ，若 2 91 a xa x 对一切正实数x成立，则a的取值范围 为 17 （2013四川）已知函数( )4(0,0) a f xxxa x 在3x 时取得最小值，则a 18 （2013天津）设2ab，0b ，则 1| 2| a ab 的最小值为 19 （2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴 影部分） ，则其边长x为 ( )m 20 （2013天津）设2a

5、b，0b ，则当a 时， 1| 2| a ab 取得最小值 第 3 页（共 10 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 23 基本不等式（教师版） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （2015湖南）若实数a，b满足 12 ab ab ，则ab的最小值为( ) A2 B2 C2 2 D4 【答案】C 【解析】 12 ab ab ， 0a，0b ， 122 2 abab （当且仅当2ba时取等号） ， 2 2ab ab ， 解可得，2 2ab，即ab的最小值为2 2， 故选：C 2 （2015上海）已知0a ，0b ，若4ab，则( )

6、A 22 ab有最小值 Bab有最小值 C 11 ab 有最大值 D 1 ab 有最大值 【答案】A 【解析】0a ，0b ，且4ab， 2222 ()2162162()1688 2 ab abababab ， 有最小值， 故选：A 3 （2015福建）若直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,1)，则ab的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解析】直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,1)， 第 4 页（共 10 页） 11 1(0,0)ab ab ， 所以 11 ()()2224 bab a abab ababa b ， 当且仅当 ba ab 即2ab时取

7、等号， ab最小值是 4， 故选：C 4 （2014重庆）若 42 log (34 )logabab，则ab的最小值是( ) A62 3 B72 3 C64 3 D74 3 【答案】D 【解析】340ab，0ab ， 0a0b 42 log (34 )logabab， 44 log (34 )log ()abab 34abab，4a ，0a 0b 3 0 4 a b a ， 4a，则 33(4)121212 3(4)7 4444 12 2 (4)74 37 4 aa abaaaa aaaa a a 当且仅当42 3a 取等号 故选：D 5 （2013山东）设正实数x，y，z满足 22 340

8、xxyyz则当 xy z 取得最大值时， 212 xyz 的最大值为( ) A0 B1 C 9 4 D3 【答案】B 【解析】 22 340 xxyyz， 第 5 页（共 10 页） 22 34zxxyy ，又x，y，z均为正实数， 22 11 1 4 344 3 23 xyxy xy zxxyyxy yx yx （当且仅当2xy时取“” )， ()1 max xy z ，此时，2xy 22222 34(2 )3 242zxxyyyyyyy ， 2 2 2121111 (1)1 1 xyzyyyy ，当且仅当1y 时取得“” ，满足题意 212 xyz 的最大值为 1 故选：B 6 （2013

9、福建）若221 xy ，则xy的取值范围是( ) A0，2 B 2，0 C 2，) D(，2 【答案】D 【解析】1222 (2 2 xyx 1 2 ) y ， 变形为 1 2 4 xy ，即2xy，当且仅当xy时取等号 则xy的取值范围是(，2 故选：D 7 （2012浙江）若正数x，y满足35xyxy，则34xy的最小值是( ) A 24 5 B 28 5 C5 D6 【答案】C 【解析】正数x，y满足35xyxy， 31 1 55xy 319412313123 34()(34 )25 555555555 yxyx xyxy xyxyxy 当且仅当 123 55 yx xy 时取等号，34

10、5xy，即34xy的最小值是 5故选：C 8 （2010四川）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最小值是( ) A2 B4 C2 5 D5 【答案】B 第 6 页（共 10 页） 【解析】 22 11 21025 () aacc aba ab 22 11 (5 ) () acaabab aba ab 2 11 (5 )() () acaba ab aba ab 0224 当且仅当50ac，1ab ，()1a ab时等号成立 如取2a ， 2 2 b ， 2 5 c 满足条件 故选：B 9 （2010四川）设0ab，则 2 11 () a aba ab 的最

11、小值是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】 2 1111 ()4 ()() aaba ab aba ababa ab 当且仅当 1 1 () () ab ab a ab a ab 取等号 即 2 2 2 a b 取等号 2 11 () a aba ab 的最小值为 4 故选：D 10 （2010重庆）已知0 x ，0y ，228xyxy，则2xy的最小值是( ) A3 B4 C 9 2 D 11 2 【答案】B 【解析】考察基本不等式 2 2 28(2 ) 8() 2 xy xyxy ， 整理得 2 (2 )4(2 )32 0 xyxy 即(24)(28) 0 xyxy，又20

12、 xy， 所以24xy 故选：B 第 7 页（共 10 页） 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11 （2019上海）若x，yR，且 1 23y x ，则 y x 的最大值为 【答案】 9 8 【解析】 11 3222yy xx ， 2 39 () 82 2 y x 12 （2019天津）设0 x ，0y ，24xy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为 【答案】 9 2 【解析】0 x ，0y ，24xy， 则 (1)(21)221255 2 xyxyxyxy xyxyxyxy ； 0 x ，0y ，24xy， 由基本不等式有：422 2xyxy， 02xy ， 55 2xy

13、 ，故： 559 22 22xy ； （当且仅当22xy时，即：2x ，1y 时，等号成立） ， 故 (1)(21)xy xy 的最小值为 9 2 ； 故答案为： 9 2 13 （2018天津）已知a，bR，且360ab，则 1 2 8 a b 的最小值为 【答案】 1 4 【解析】a，bR，且360ab， 可得：36ba， 则 666 11111 2222 2 822 22 24 aaaa baaa ， 当且仅当 6 1 2 2 a a 即3a 时取等号 函数的最小值为： 1 4 14 （2017山东）若直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,2)，则2ab的最小值为 8 【答案】8

14、【解析】直线1(0,0) xy ab ab 过点(1,2)，则 12 1 ab ， 第 8 页（共 10 页） 由 12444 2(2)()22442448 ababab abab abbababa ， 当且仅当 4ab ba ，即 1 2 a ，1b 时，取等号， 2ab的最小值为 8， 故答案为：8 15 （2014上海）若实数x，y满足1xy ，则 22 2xy的最小值为 【答案】2 2 【解析】1xy ， 1 y x 2222 22 22 222 2xyxx xx ， 当且仅当 2 2 2 x x ，即 4 2x 时取等号，故答案为：2 2 16（2013上海） 设常数0a ， 若 2

15、 91 a xa x 对一切正实数x成立， 则a的取值范围为 【答案】 1 5，) 【解析】常数0a ，若 2 91 a xa x 对一切正实数x成立，故 2 (9)1 min a xa x ， 又 2 96 a xa x ，当且仅当 2 9 a x x ，即 3 a x 时，等号成立 故必有61a a，解得 1 5 a , 故答案为 1 5，) 17 （2013四川） 已知函数( )4(0,0) a f xxxa x 在3x 时取得最小值， 则a 36 【答案】36 【解析】由题设函数( )4(0,0) a f xxxa x 在3x 时取得最小值， (0,)x，得3x 必定是函数( )4(0

16、,0) a f xxxa x 的极值点，f （3）0， 2 ( )4 a fx x ，即 2 40 3 a ，解得36a 故答案为：36 18 （2013天津）设2ab，0b ，则 1| 2| a ab 的最小值为 【答案】 3 4 【解析】2ab，1 2 ab ， 1| 2|4|4| aaba abaab ， 0b ，| 0a ， | 1 4| ba ab （当且仅当 22 4ba时取等号） ， 1| 1 2|4| aa aba ，故当0a 时， 1| 2| a ab 的最小值为 3 4 故答案为： 3 4 第 9 页（共 10 页） 19 （2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建

17、一个面积最大的内接矩形花园（阴 影部分） ，则其边长x为 ( )m 【答案】20 【解析】设矩形高为y，由三角形相似得： 40 4040 xy ，且0 x ，0y ，40 x ，40y ， 402xyxy ，仅当20 xym时，矩形的面积sxy取最大值 2 400m 故答案为：20 20 （2013天津）设2ab，0b ，则当a 时， 1| 2| a ab 取得最小值 【答案】2 【解析】2ab，0b ， 1|1| 2|2|2 aa abaa ，(2)a 设f（a） 1| 2|2 a aa ，(2)a ，画出此函数的图象，如图所示 利用导数研究其单调性得，当0a 时，f（a） 1 22 a aa ， f（a） 2222 12(32)(2) 2(2)2(2) aa aaaa ， 当2a 时，f（a）0，当20a 时，f（a）0， 故函数在(, 2) 上是减函数，在( 2,0)上是增函数， 当2a 时， 1| 2| a ab 取得最小值 3 4 同样地，当02a时，得到当 2 3 a 时， 1| 2| a ab 取得最小值 5 4 综合，则当2a 时， 1| 2| a ab 取得最小值 故答案为：2 第 10 页（共 10 页）