历年高考数学真题精选13 利用导数研究曲线的切线方程.docx

1、 第 1 页（共 8 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十三 曲线的切线方程（学生版） 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1 （2019新课标）曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为( ) A10 xy B2210 xy C2210 xy D10 xy 2 （2019新课标）已知曲线 x yaexlnx在点(1,)ae处的切线方程为2yxb，则( ) Aae，1b Bae，1b C 1 ae，1b D 1 ae，1b 3 （2018全国） 若函数 2 ( )1f xax图象上点(1，f（1）)处的切线平行于直线21yx，

2、 则(a ) A1 B0 C 1 4 D1 4 （2018新课标）设函数 32 ( )(1)f xxaxax若( )f x为奇函数，则曲线( )yf x在 点(0,0)处的切线方程为( ) A2yx Byx C2yx Dyx 5 （2016山东）若函数( )yf x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互 相垂直，则称( )yf x具有T性质下列函数中具有T性质的是( ) Asinyx Bylnx C x ye D 3 yx 6 （2016四川）设直线 1 l， 2 l分别是函数 ,01 ( ) ,1 lnxx f x lnx x 图象上点 1 P， 2 P处的切线， 1 l与 2

3、l垂直相交于点P，且 1 l， 2 l分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范 围是( ) A(0,1) B(0,2) C(0,) D(1,) 7 （2012辽宁）已知P，Q为抛物线 2 2xy上两点，点P，Q的横坐标分别为 4，2， 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( ) A1 B3 C4 D8 8 （2011湖南）曲线 sin1 sincos2 x y xx 在点( 4 M ，0)处的切线的斜率为( ) 第 2 页（共 8 页） A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 9 （2010全国大纲版）若曲线 1 2 yx 在点 1 2 ( ,)a a

4、处的切线与两个坐标围成的三角形的 面积为 18，则(a ) A64 B32 C16 D8 10 （2009陕西）设曲线 1* () n yxnN 在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 n x，则 12n x xx的值为( ) A 1 n B 1 1n C 1 n n D1 11 （2005湖北）在函数 3 8yxx的图象上，其切线的倾斜角小于 4 的点中，坐标为整数 的点的个数是( ) A3 B2 C1 D0 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 12 （2019新课标）曲线 2 3() x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 13 （2018新课标）曲线2ylnx在点(1

5、,0)处的切线方程为 14 （2018新课标）曲线(1) x yaxe在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a 15 （2017新课标）曲线 2 1 yx x 在点(1,2)处的切线方程为 16（2017全国） 若曲线 1 (1) 1 yxx x 的切线l与直线 3 4 yx平行， 则l的方程为 17 （2017天津） 已知aR， 设函数( )f xaxlnx的图象在点(1，f（1）)处的切线为l， 则l在y轴上的截距为 18 （2019江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，则点 P到直线0 xy的距离的最小值是 19 （2016新课标）已知( )f x为

6、偶函数，当0 x 时，( )()3f xlnxx，则曲线( )yf x 在点(1, 3)处的切线方程是 20 （2016新课标）已知( )f x为偶函数，当0 x时， 1 ( ) x f xex ，则曲线( )yf x在 点(1,2)处的切线方程是 第 3 页（共 8 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十三 曲线的切线方程（教师版） 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1 （2019新课标）曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为( ) A10 xy B2210 xy C2210 xy D10 xy 【答案】C 【解析】由2

7、sincosyxx，得2cossinyxx，|2cossin2 x y ， 曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为12()yx ， 即2210 xy 2 （2019新课标）已知曲线 x yaexlnx在点(1,)ae处的切线方程为2yxb，则( ) Aae，1b Bae，1b C 1 ae，1b D 1 ae，1b 【答案】D 【解析】 x yaexlnx的导数为1 x yaelnx， 由在点(1,)ae处的切线方程为2yxb，可得102ae ，解得 1 ae， 又切点为(1,1)，可得12b，即1b ，故选：D 3 （2018全国） 若函数 2 ( )1f xax图象上点(1

8、，f（1）)处的切线平行于直线21yx， 则(a ) A1 B0 C 1 4 D1 【答案】D 【解析】函数 2 ( )1f xax的导数为( )2fxax， 可得点(1，f（1）)处的切线斜率为2a， 由点(1，f（1）)处的切线平行于直线21yx， 可得22a ，解得1a ，故选：D 4 （2018新课标）设函数 32 ( )(1)f xxaxax若( )f x为奇函数，则曲线( )yf x在 点(0,0)处的切线方程为( ) A2yx Byx C2yx Dyx 第 4 页（共 8 页） 【答案】D 【解析】函数 32 ( )(1)f xxaxax，若( )f x为奇函数，()( )fxf

9、 x ， 323232 (1)(1)(1)xaxaxxaxaxxaxax 所以： 22 (1)(1)axax可得1a ，所以函数 3 ( )f xxx，可得 2 ( )31f xx， 曲线( )yf x在点(0,0)处的切线的斜率为 1， 则曲线( )yf x在点(0,0)处的切线方程为：yx 5 （2016山东）若函数( )yf x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互 相垂直，则称( )yf x具有T性质下列函数中具有T性质的是( ) Asinyx Bylnx C x ye D 3 yx 【答案】A 【解析】函数( )yf x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相

10、垂直， 则函数( )yf x的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1， 当sinyx时，cosyx，满足条件；当ylnx时， 1 0y x 恒成立，不满足条件； 当 x ye时，0 x ye恒成立，不满足条件； 当 3 yx时， 2 30yx恒成立，不满足条件. 6 （2016四川）设直线 1 l， 2 l分别是函数 ,01 ( ) ,1 lnxx f x lnx x 图象上点 1 P， 2 P处的切线， 1 l与 2 l垂直相交于点P，且 1 l， 2 l分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范 围是( ) A(0,1) B(0,2) C(0,) D(1,) 【答案】A 【解析】

11、设 11 (P x， 1) y， 22 (P x， 212 )(01)yxx ， 当01x时， 1 ( )fx x ， 当1x 时， 1 ( )fx x ， 1 l的斜率 1 1 1 k x ， 2 l的斜率 2 2 1 k x ， 1 l与 2 l垂直，且 21 0 xx， 12 12 11 1k k xx ，即 12 1x x 直线 111 1 1 :()lyxxlnx x ， 222 2 1 :()lyxxlnx x 第 5 页（共 8 页） 取0 x 分别得到 1 (0,1)Alnx， 2 (0, 1)Blnx ， 121212 | |1( 1)| |2()| |2| 2ABlnxln

12、xlnxlnxlnx x 联立两直线方程可得交点P的横坐标为 12 12 2x x x xx ， 12 1212 1 1 21122 | |2 1 22 PABP x x SABx xxxx x x 函数 1 yx x 在(0,1)上为减函数，且 1 01x， 1 1 1 1 12x x ，则 1 1 11 0 1 2 x x ， 1 1 2 01 1 x x PAB的面积的取值范围是(0,1) 7 （2012辽宁）已知P，Q为抛物线 2 2xy上两点，点P，Q的横坐标分别为 4，2， 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( ) A1 B3 C4 D8 【答案】C 【解

13、析】P，Q为抛物线 2 2xy上两点，点P，Q的横坐标分别为 4，2， (4,8)P，( 2,2)Q ， 2 2xy， 2 1 2 yx，yx ，切线方程AP，AQ的斜率4 AP K，2 AQ K ， 切线方程AP为84(4)yx，即48yx， 切线方程AQ的为22(2)yx ，即22yx ， 令 48 22 yx yx ， 1 4 x y ，点A的纵坐标为4故选C 8 （2011湖南）曲线 sin1 sincos2 x y xx 在点( 4 M ，0)处的切线的斜率为( ) A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 2 【答案】B 【解析】 sin1 sincos2 x y xx 2 co

14、s (sincos )(cossin )sin (sincos ) xxxxxx y xx 2 1 (sincos )xx 第 6 页（共 8 页） 2 11 | 4(sincos )42 xx y xx 故选B 9 （2010全国大纲版）若曲线 1 2 yx 在点 1 2 ( ,)a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的 面积为 18，则(a ) A64 B32 C16 D8 【答案】A 【解析】 3 2 1 2 yx ， 3 2 1 2 ka ，切线方程是 13 22 1 () 2 yaaxa ， 令0 x ， 1 2 3 2 ya ，令0y ，3xa，三角形的面积是 1 2 13 318

15、 22 saa ， 解得64a 故选A 10 （2009陕西）设曲线 1* () n yxnN 在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 n x，则 12n x xx的值为( ) A 1 n B 1 1n C 1 n n D1 【答案】B 【解析】对 1* () n yxnN 求导得(1) n ynx， 令1x 得 在 点( 1 , 1 )处 的 切 线 的 斜 率1kn， 在 点( 1 , 1 )处 的 切 线 方 程 为 1(1 )(1 ) (1 ) nn yk xnx ，不妨设0y ， 1 n n x n 则 123 12311 23411 n nn x x xx nnn ，故选B

16、11 （2005湖北）在函数 3 8yxx的图象上，其切线的倾斜角小于 4 的点中，坐标为整数 的点的个数是( ) A3 B2 C1 D0 【答案】D 【解析】切线倾斜角小于 4 ，斜率01k 设切点为 0 (x， 3 00 8)xx，则 2 00 |38 x x kyx ， 2 0 0 381x ， 2 0 8 3 3 x 又 0 xZ， 0 x不存在故选D 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 第 7 页（共 8 页） 12 （2019新课标）曲线 2 3() x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 【答案】3yx 【解析】 2 3() x yxx e， 2 3 (31) x

17、ye xx，当0 x 时，3y， 2 3() x yxx e在点(0,0)处的切线斜率3k ，切线方程为：3yx 13 （2018新课标）曲线2ylnx在点(1,0)处的切线方程为 【答案】22yx 【解析】2ylnx， 2 y x ，当1x 时，2y 曲线2ylnx在点(1,0)处的切线方程为22yx 14 （2018新课标）曲线(1) x yaxe在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a 【答案】3 【解析】曲线(1) x yaxe，可得(1) xx yaeaxe， 曲线(1) x yaxe在点(0,1)处的切线的斜率为2，可得：12a ，解得3a 15 （2017新课标）曲线 2 1 yx

18、 x 在点(1,2)处的切线方程为 【答案】10 xy 【解析】曲线 2 1 yx x ，可得 2 1 2yx x ，切线的斜率为：211k 切线方程为：21yx，即：10 xy 16（2017全国） 若曲线 1 (1) 1 yxx x 的切线l与直线 3 4 yx平行， 则l的方程为 【答案】3450 xy 【解析】设切点为( , )m n，可得 1 1 mn m ， 1 (1) 1 yxx x 的导数为 2 1 1 (1) y x ， 由切线l与直线 3 4 yx平行，可得 2 13 1 (1)4m ，解得3m ，即有切点为 7 (3,) 2 ， 可得切线的方程为 73 (3) 24 yx

19、，即为3450 xy 17 （2017天津） 已知aR， 设函数( )f xaxlnx的图象在点(1，f（1）)处的切线为l， 则l在y轴上的截距为 【答案】1 【解析】函数( )f xaxlnx，可得 1 ( )fxa x ，切线的斜率为：kf（1）1a， 第 8 页（共 8 页） 切点坐标(1, )a，切线方程l为：(1)(1)yaax， l在y轴上的截距为：(1)( 1)1aa 18 （2019江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，则点 P到直线0 xy的距离的最小值是 【答案】4 【解析】由 4 (0)yxx x ，得 2 4 1y x ， 设斜

20、率为1的直线与曲线 4 (0)yxx x 切于 0 (x， 0 0 4 )x x ， 由 2 0 4 11 x ，解得 00 2(0)xx 曲线 4 (0)yxx x 上，点( 2,3 2)P到直线0 xy的距离最小， 最小值为 |23 2 | 4 2 19 （2016新课标）已知( )f x为偶函数，当0 x 时，( )()3f xlnxx，则曲线( )yf x 在点(1, 3)处的切线方程是 【答案】210 xy 【解析】( )f x为偶函数，可得()( )fxf x， 当0 x 时，( )()3f xlnxx，即有0 x 时，( )3f xlnxx， 1 ( )3fx x ， 可得f（1）133ln ，f（1）132 ， 则曲线( )yf x在点(1, 3)处的切线方程为( 3)2(1)yx ， 即为210 xy 故答案为：210 xy 20 （2016新课标）已知( )f x为偶函数，当0 x时， 1 ( ) x f xex ，则曲线( )yf x在 点(1,2)处的切线方程是 【答案】2yx 【解析】已知( )f x为偶函数，当0 x时， 1 ( ) x f xex ， 设0 x ，则0 x ， 1 ( )() x f xfxex ，则 1 ( )1 x f xe ，f（1） 0 12e 曲线( )yf x在点(1,2)处的切线方程是22(1)yx即2yx