历年高考数学真题精选25 等比数列.docx

1、 第 1 页（共 9 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 25 等比数列（学生版） 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 （2014全国）等比数列4x，10 x，20 x的公比为( ) A 1 2 B 4 3 C 3 2 D 5 3 2 （2014大纲版）设等比数列 n a的前n项和为 n S若 2 3S ， 4 15S ，则 6 (S ) A31 B32 C63 D64 3 （2014重庆）对任意等比数列 n a，下列说法一定正确的是( ) A 1 a， 3 a， 9 a成等比数列 B 2 a， 3 a， 6 a成等比数列 C 2 a，

2、 4 a， 8 a成等比数列 D 3 a， 6 a， 9 a成等比数列 4 （2014上海）如果数列 n a是一个以q为公比的等比数列， * 2() nn ba nN，那么数列 n b是( ) A以q为公比的等比数列 B以q为公比的等比数列 C以2q为公比的等比数列 D以2q为公比的等比数列 5 （2013福建）已知等比数列 n a的公比为q，记 (1) 1(1) 2(1)nm nm nm nm baaa ， (1) 1(1) 2(1)nm nm nm nm aaa ， * ( ,)m nN，则以下结论一定正确的是( ) A数列 n b为等差数列，公差为 m q B数列 n b为等比数列，公比

3、为 2m q C数列 n 为等比数列，公比为 2 m q D数列 n 为等比数列，公比为 m m q 6 （2012北京）已知 n a为等比数列，下面结论中正确的是( ) A 132 2aaa B 222 132 2aaa C若 13 aa，则 12 aa D若 31 aa，则 42 aa 第 2 页（共 9 页） 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 7 （2015安徽）已知数列 n a是递增的等比数列， 14 9aa， 23 8a a ，则数列 n a的前n 项和等于 8 （ 2014 广 东 ） 等 比 数 列 n a的 各 项 均 为 正 数 ， 且 15 4a a ， 则 21

4、22232425 l o gl o gl o gl o gl o gaaaaa 9（2012辽宁） 已知等比数列 n a为递增数列 若 1 0a ， 且 21 2()5 nnn aaa ， 则数列 n a 的公比q 10 （2012江苏）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3为公比的等比数列，若从 这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 11 （2012江西）等比数列 n a的前n项和为 n S，公比不为 1若 1 1a ，且对任意的nN 都有 21 20 nnn aaa ，则 5 S 12 （2011上海）若 n S为等比数列 n a的前n项的和， 25 80aa

5、，则 6 3 S S 13 （ 2011 北 京 ） 在 等 比 数 列 n a中 ， 1 1 2 a ， 4 4a ， 则 公 比q ； 12 | n aaa 三解答题（共三解答题（共 2 小题）小题） 14 （2015江苏）设 1 a， 2 a， 3 a 4 a是各项为正数且公差为(0)d d 的等差数列 （1）证明： 1 2a， 2 2a， 3 2a， 4 2a依次构成等比数列； （2）是否存在 1 a，d，使得 1 a， 2 2 a， 3 3 a， 4 4 a依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在 1 a，d及正整数n，k，使得 1 n a， 2 n k a ， 2 3 nk

6、a ， 3 4 nk a 依次构成等比数列？并 说明理由 15 （2014江西）已知数列 n a的前n项和 2 3 2 n nn S ， * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：对任意的1n ，都存在 * mN，使得 1 a， n a， m a成等比数列 第 3 页（共 9 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 25 等比数列（教师版） 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 （2014全国）等比数列4x，10 x，20 x的公比为( ) A 1 2 B 4 3 C 3 2 D 5 3 【答案】D 【解析】等比数列4x，10

7、x，20 x， 2 (10)(4)(20)xxx，解得5x ， 等比数列4x，10 x，20 x的公比为 1055 453 q 故选：D 2 （2014大纲版）设等比数列 n a的前n项和为 n S若 2 3S ， 4 15S ，则 6 (S ) A31 B32 C63 D64 【答案】C 【解析】 212 Saa， 2 423412 ()SSaaaa q， 4 645612 ()SSaaaa q， 所以 2 S， 42 SS， 64 SS成等比数列，即 3，12， 6 15S 成等比数列， 可得 2 6 123(15)S，解得 6 63S 故选：C 3 （2014重庆）对任意等比数列 n a

8、，下列说法一定正确的是( ) A 1 a， 3 a， 9 a成等比数列 B 2 a， 3 a， 6 a成等比数列 C 2 a， 4 a， 8 a成等比数列 D 3 a， 6 a， 9 a成等比数列 【答案】D 【解析】A项中 2 31 aa q， 28 191 a aa q， 2 319 ()aa a，故A项说法错误， B项中 22 226 31261 ()()aa qa aa q，故B项说法错误， C项中 23 228 41281 ()()aa qa aa q，故C项说法错误， D项中 25 2210 61391 ()()aa qa aa q，故D项说法正确， 故选：D 第 4 页（共 9

9、页） 4 （2014上海）如果数列 n a是一个以q为公比的等比数列， * 2() nn ba nN，那么数列 n b是( ) A以q为公比的等比数列 B以q为公比的等比数列 C以2q为公比的等比数列 D以2q为公比的等比数列 【答案】A 【解析】 1n n a q a ， 111 2 2 nnn nnn baa q baa ，所以，数列 n b是以q为公比的等比数列 5 （2013福建）已知等比数列 n a的公比为q，记 (1) 1(1) 2(1)nm nm nm nm baaa ， (1) 1(1) 2(1)nm nm nm nm aaa ， * ( ,)m nN，则以下结论一定正确的是(

10、 ) A数列 n b为等差数列，公差为 m q B数列 n b为等比数列，公比为 2m q C数列 n 为等比数列，公比为 2 m q D数列 n 为等比数列，公比为 m m q 【答案】C 【解析】 2 (1)( ) m nm n baqqq ，当1q 时， (1)nm n bma ， 1(1)(1)nm nmm nn bmamab ，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确； 当1q 时， (1) (1) 1 m nm n q q ba q ， 1(1)(1) (1)(1) 11 mm m nm nmm n q qq q baaq qq ， 此时 1mn n b q b ， 选项B不正确，

11、又 1(1) (1) (1) 1 m m nnm n q q bbaq q ，不是常数，故选项A不正确， 等比数列 n a的公比为q， (1 1)(1)(1) m m nm nmm n aaaq ， (1) 1 2 2 (1)(1) m m mmm nm nm n caqaq ， 2 (1) 2 (1 1)(1) 1 (1) (1) () (1) 2 m m mmm m nm n mn m m nm n m n aqaq c q m m ca aq ，故C正确D不正确 综上可知：只有C正确 第 5 页（共 9 页） 6 （2012北京）已知 n a为等比数列，下面结论中正确的是( ) A 13

12、2 2aaa B 222 132 2aaa C若 13 aa，则 12 aa D若 31 aa，则 42 aa 【答案】B 【解析】 设等比数列的公比为q， 则 2 132 a aaaq q ， 当且仅当 2 a，q同为正时， 132 2aaa 成立，故A不正确； 222222 1322 ()()2 a aaa qa q ， 222 132 2aaa，故B正确； 若 13 aa，则 2 11 aaq， 2 1q，1q ， 12 aa或 12 aa ，故C不正确； 若 31 aa，则 2 11 aqa， 2 421 (1)aaaq q，其正负由q的符号确定，故D不正确 二填空题（共二填空题（共

13、7 小题）小题） 7 （2015安徽）已知数列 n a是递增的等比数列， 14 9aa， 23 8a a ，则数列 n a的前n 项和等于 【答案】21 n 【解析】数列 n a是递增的等比数列， 14 9aa， 23 8a a ， 可得 14 8a a ，解得 1 1a ， 4 8a ， 3 81 q ，2q ， 数列 n a的前n项和为：1 2 21 12 n n 8 （ 2014 广 东 ） 等 比 数 列 n a的 各 项 均 为 正 数 ， 且 15 4a a ， 则 2122232425 l o gl o gl o gl o gl o gaaaaa 【答案】5 【解析】 5 212

14、22324252123452323 logloglogloglogloglog5logaaaaaaa a a aaa 又等比数列 n a中， 15 4a a ，即 3 2a 故 232 5log5log 25a 故答案为：5 9（2012辽宁） 已知等比数列 n a为递增数列 若 1 0a ， 且 21 2()5 nnn aaa ， 则数列 n a 的公比q 【答案】2 第 6 页（共 9 页） 【解析】 n a为递增数列且 1 0a 1q 21 2()5 nnn aaa ， 2 2()5 nnn aa qa q 2 225qq 2q 10 （2012江苏）现有 10 个数，它们能构成一个以

15、1 为首项，3为公比的等比数列，若从 这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 【答案】 3 5 【解析】由题意成等比数列的 10 个数为：1，3， 2 ( 3)， 39 ( 3)( 3) 其中小于 8 的项有：1，3， 3 ( 3)， 5 ( 3)， 7 ( 3)， 9 ( 3)共 6 个数 这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 63 105 P 11 （2012江西）等比数列 n a的前n项和为 n S，公比不为 1若 1 1a ，且对任意的nN 都有 21 20 nnn aaa ，则 5 S 【答案】11 【解析】 等比数列 n a的前n项和为 n S，

16、1 1a ， 且对任意的nN都有 21 20 nnn aaa ， 2 2 nnn a qa qa，即 2 2qq，解得2q ，或1q （舍去） 5 5 1 1( 2) 11 12 S ，故答案为 11 12 （2011上海）若 n S为等比数列 n a的前n项的和， 25 80aa，则 6 3 S S 【答案】7 【解析】由 25 80aa，得到 35 2 8 a q a 6 1 6 6 33 13 (1) 11 7 (1)1 1 aq Sqq aqSq q 13 （2011北京）在等比数列 n a中， 1 1 2 a ， 4 4a ，则公比q 2 ； 12 | n aaa 第 7 页（共 9

17、 页） 【答案】2， 1 1 2 2 n 【解析】 34 3 1 82 a q a ， 1 12 1 (12 ) 1 2 |2 122 n n n aaa 三解答题（共三解答题（共 2 小题）小题） 14 （2015江苏）设 1 a， 2 a， 3 a 4 a是各项为正数且公差为(0)d d 的等差数列 （1）证明： 1 2a， 2 2a， 3 2a， 4 2a依次构成等比数列； （2）是否存在 1 a，d，使得 1 a， 2 2 a， 3 3 a， 4 4 a依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在 1 a，d及正整数n，k，使得 1 n a， 2 n k a ， 2 3 nk a ，

18、 3 4 nk a 依次构成等比数列？并 说明理由 解： （1）证明： 1 1 2 22 2 n nn n a aad a ，(1n ，2，3，)是同一个常数， 1 2a， 2 2a， 3 2a， 4 2a依次构成等比数列(0 i a ，1i ，2，3，4)； （2）令 1 ada，则 1 a， 2 a， 3 a， 4 a分别为ad，a，ad，2 (ad ad，2ad ， 0)d 假设存在 1 a，d使得 1 a， 2 2 a， 3 3 a， 4 4 a依次构成等比数列， 则 43 ()()aad ad，且 624 ()(2 )ada ad， 令 d t a ，则 3 1(1)(1)tt，且

19、64 (1)(12 )tt， 1 (1 2 t ，0)t ， 化简得 32 220(*)tt，且 2 1tt ，将 2 1tt 代入(*)式， 2 (1)2(1)231 3410t ttttttt ，则 1 4 t ， 显然 1 4 t 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在 1 a，d，使得 1 a， 2 2 a， 3 3 a， 4 4 a依次构成等比数列 （3）假设存在 1 a，d及正整数n，k，使得 1 n a， 2 n k a ， 2 3 nk a ， 3 4 nk a 依次构成等比数列， 则 22() 111 (2 )() nnkn k a adad ，且 32(2 )

20、 111 ()(3 )(2 ) n knknk adadad ， 分别在两个等式的两边同除以 2() 1 n k a ， 2(2 ) 1 nk a ，并令 1 d t a ， 1 ( 3 t ，0)t ， 则 22() (1 2 )(1) nkn k tt ，且 32(2 ) (1)(1 3 )(12 ) n knknk ttt ， 第 8 页（共 9 页） 将上述两个等式取对数，得(2 ) (12 )2() (1)nk lntnk lnt， 且() (1)(3 ) (13 )2(2 ) (12 )nk lntnk lntnk lnt， 化简得，2 (12 )(1)2 (1)(12 )k ln

21、tlntn lntlnt， 且3 (13 )(1)3 (1)(13 )k lntlntn lntlnt， 再将这两式相除，化简得， (1 3 ) (12 )3 (12 ) (1)4 (1 3 ) (1)lnt lntlnt lntlnt lnt，(*) 令( )4 (1 3 ) (1)(1 3 ) (12 )3 (12 ) (1)g tlnt lntlnt lntlnt lnt， 则 222 2 ( )(13 )(13 )3(12 )(12 )3(1)(1) (1)(12 )(13 ) g ttlnttlnttlnt ttt ， 令 222 ( )(1 3 )(1 3 )3(1 2 )(1 2

22、 )3(1)(1)tt lntt lntt lnt， 则( )6(1 3 ) (1 3 )2(12 ) (12 )3(1) (1)tt lntt lntt lnt， 令 1( ) ( )tt，则 1( ) 63 (13 )4 (12 )(1)tlntlntlnt， 令 21 ( )( )tt，则 2 12 ( )0 (1)(12 )(13 ) t ttt ， 由 12 (0)(0)(0)(0)0g， 2( ) 0t， 知( )g t，( ) t， 1( ) t ， 2( ) t 在 1 ( 3 ，0)和(0,)上均单调， 故( )g t只有唯一的零点0t ，即方程(*)只有唯一解0t ，故假设

23、不成立， 所以不存在 1 a，d及正整数n，k，使得 1 n a， 2 n k a ， 2 3 nk a ， 3 4 nk a 依次构成等比数列 15 （2014江西）已知数列 n a的前n项和 2 3 2 n nn S ， * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：对任意的1n ，都存在 * mN，使得 1 a， n a， m a成等比数列 （1）解： 2 3 2 n nn S ， * nN 当2n时， 22 1 33(1)(1) 32 22 nnn nnnn aSSn ，(*) 当1n 时， 2 11 3 11 1 2 aS 因此当1n 时，(*)也成立 数列 n a的通项公式32 n an （2）证明：对任意的1n ，假设都存在 * mN，使得 1 a， n a， m a成等比数列 第 9 页（共 9 页） 则 2 1nm aaa， 2 (32)1 (32)nm ， 化为 2 342mnn， 1n ， 22 22 3423()1 33 mnnn， 因此对任意的1n ，都存在 2* 342mnnN ，使得 1 a， n a， m a成等比数列