历年高考数学真题精选22 线性规划.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 22 线性规划（学生版） 一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题） 1 （2019浙江）若实数x，y满足约束条件 34 0, 34 0, 0, xy xy xy 则32zxy的最大值是( ) A1 B1 C10 D12 2 （2019北京）若x，y满足| 1xy，且1y，则3xy的最大值为( ) A7 B1 C5 D7 3 （2018北京）设集合( , )|1Ax yxy ，4axy，2xay，则( ) A对任意实数a，(2,1)A B对任意实数a，(2,1)A C当且仅当0a 时，(

2、2,1)A D当且仅当 3 2 a时，(2,1)A 4 （2016浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影， 由区域 2 0 0 34 0 x xy xy 中的点在直线20 xy上的投影构成的线段记为AB， 则| (AB ) A2 2 B4 C3 2 D6 5 （2016浙江）若平面区域 3 0 23 0 23 0 xy xy xy ，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条 平行直线间的距离的最小值是( ) A 3 5 5 B2 C 3 2 2 D5 6 （2016山东）若变量x，y满足 2 239 0 xy xy x ，则 22 xy的最大值是( ) A4

3、 B9 C10 D12 7 （2016北京）已知(2,5)A，(4,1)B若点( , )P x y在线段AB上，则2xy的最大值为( 第 2 页（共 19 页） ) A1 B3 C7 D8 8 （2015福建）变量x，y满足约束条件 0 22 0 0 xy xy mxy ，若2zxy的最大值为 2，则实 数m等于( ) A2 B1 C1 D2 9 （2014安徽）x，y满足约束条件 2 0 22 0 22 0 xy xy xy ，若zyax取得最大值的最优解不唯 一，则实数a的值为( ) A 1 2 或1 B2 或 1 2 C2 或1 D2 或 1 10（2014福建） 已知圆 22 :()(

4、)1Cxayb， 设平面区域 7 0 3 0 0 xy xy y ， 若圆心C ， 且圆C与x轴相切，则 22 ab的最大值为( ) A49 B37 C29 D5 11 （2013北京） 设关于x，y的不等式组 210, 0, 0 xy xm ym 表示的平面区域内存在点 0 (P x， 0) y，满足 00 22xy，求得m的取值范围是( ) A 4 (,) 3 B 1 (,) 3 C 2 (,) 3 D 5 (,) 3 12（2012新课标） 已知正三角形ABC的顶点(1,1)A，(1,3)B， 顶点C在第一象限， 若点( , )x y 在ABC内部，则zxy 的取值范围是( ) A(13

5、，2) B(0,2) C( 31，2) D(0,13) 13 （2011福建）已知O是坐标原点，点( 1,1)A ，若点( , )M x y为平面区域 2 1 2 xy x y ，上的 一个动点，则OA OM的取值范围是( ) 第 3 页（共 19 页） A 1，0 B0，1 C0，2 D 1，2 14 （2010全国新课标）已知ABCD的三个顶点为( 1,2)A ，(3,4)B，(4, 2)C，点( , )x y在 ABCD的内部，则25zxy的取值范围是( ) A( 14,16) B( 14,20) C( 12,18) D( 12,20) 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 15（

6、2019新课标） 若变量x，y满足约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 则3zxy的最大值是 16 （2014浙江）当实数x，y满足 24 0 1 0 1 xy xy x 时，14axy剟恒成立，则实数a的取值 范围是 17 （2015新课标）若x，y满足约束条件 1 0 0 4 0 x xy xy 则 y x 的最大值为 18 （2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ( ) i男学生人数多于女学生人数； ( )ii女学生人数多于教师人数； ()iii教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 该小组人数的最

7、小值为 19 （2015北京） 如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，( , )P x y为D中任意一点， 则23zxy的最大值为 20 （2016新课标）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产 第 4 页（共 19 页） 一件产品A需要甲材料1.5kg， 乙材料1kg， 用5个工时； 生产一件产品B需要甲材料0.5kg， 乙材料0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品A的利润为 2100 元，生产一件产品B的利润 为 900 元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下， 生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元 第 5 页（共 1

8、9 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 22 线性规划（教师版） 一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题） 1 （2019浙江）若实数x，y满足约束条件 34 0, 34 0, 0, xy xy xy 则32zxy的最大值是( ) A1 B1 C10 D12 【答案】C 【解析】由实数x，y满足约束条件 34 0 34 0 0 xy xy xy 作出可行域如图， 联立 340 340 xy xy ，解得(2,2)A， 化目标函数32zxy为 31 22 yxz ， 由图可知，当直线 31 22 yxz 过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，

9、 z有最大值：10 故选：C 2 （2019北京）若x，y满足| 1xy，且1y，则3xy的最大值为( ) A7 B1 C5 D7 【答案】C 【解析】由 | 1 1 xy y 作出可行域如图， 第 6 页（共 19 页） 联立 1 10 y xy ，解得(2, 1)A， 令3zxy，化为3yxz ， 由图可知，当直线3yxz 过点A时，z有最大值为3215 故选：C 3 （2018北京）设集合( , )|1Ax yxy ，4axy，2xay，则( ) A对任意实数a，(2,1)A B对任意实数a，(2,1)A C当且仅当0a 时，(2,1)A D当且仅当 3 2 a时，(2,1)A 【答案】

10、D 【解析】当1a 时，集合( , )|1Ax yxy ，4axy，2( , )|1xayx yxy剠， 4xy ，2xy ，显然(2,1)不满足，4xy ，2xy ，所以A不正确； 当4a ，集合( , )|1Ax yxy ，4axy，2( , )|1xayx yxy剠，44xy， 42xy，显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确； 当1a ，集合( , ) |1Ax yxy ，4axy，2( , )|1xayx yxy剠，4xy， 2xy ，显然(2,1)A，所以当且仅当0a 错误，所以C不正确； 故选：D 4 （2016浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在

11、直线l上的投影， 由区域 2 0 0 34 0 x xy xy 中的点在直线20 xy上的投影构成的线段记为AB， 则| (AB ) A2 2 B4 C3 2 D6 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） ， 区域内的点在直线20 xy上的投影构成线段R Q ，即SAB，而RQRQ ， 由 340 0 xy xy 得 1 1 x y ，即( 1,1)Q 由 2 0 x xy 得 2 2 x y ，即(2, 2)R， 第 7 页（共 19 页） 则 22 | |( 1 2)(12)993 2ABQR ， 故选：C 5 （2016浙江）若平面区域 3 0 23 0 23

12、 0 xy xy xy ，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条 平行直线间的距离的最小值是( ) A 3 5 5 B2 C 3 2 2 D5 【答案】B 【解析】作出平面区域如图所示： 当直线yxb分别经过A，B时，平行线间的距离相等 联立方程组 30 230 xy xy ，解得(2,1)A， 第 8 页（共 19 页） 联立方程组 30 230 xy xy ，解得(1,2)B 两条平行线分别为1yx，1yx，即10 xy ，10 xy 平行线间的距离为 | 1 1| 2 2 d ， 故选：B 6 （2016山东）若变量x，y满足 2 239 0 xy xy x ，则 22 xy的最大

13、值是( ) A4 B9 C10 D12 【答案】C 【解析】由约束条件 2 239 0 xy xy x 作出可行域如图， (0, 3)A，(0,2)C，| |OAOC，联立 2 239 xy xy ，解得(3, 1)B 2222 |( 3( 1) )10OB ， 22 xy的最大值是 10故选：C 7 （2016北京）已知(2,5)A，(4,1)B若点( , )P x y在线段AB上，则2xy的最大值为( ) A1 B3 C7 D8 【答案】C 【解析】如图(2,5)A，(4,1)B若点( , )P x y在线段AB上， 令2zxy，则平行2yxz当直线经过B时截距最小，Z取得最大值， 可得2

14、xy的最大值为：2417 故选：C 第 9 页（共 19 页） 8 （2015福建）变量x，y满足约束条件 0 22 0 0 xy xy mxy ，若2zxy的最大值为 2，则实 数m等于( ) A2 B1 C1 D2 【答案】C 【解析】由约束条件 0 22 0 0 xy xy mxy 作出可行域如图， 联立 220 0 xy mxy ，解得 22 (,) 21 21 m A mm ， 化目标函数2zxy为2yxz， 由 图 可 知 ， 当 直 线 过A时 ， 直 线 在y轴 上 的 截 距 最 小 ，z有 最 大 值 为 4242 2 212121 mm mmm ， 解得：1m 故选：C

15、第 10 页（共 19 页） 9 （2014安徽）x，y满足约束条件 2 0 22 0 22 0 xy xy xy ，若zyax取得最大值的最优解不唯 一，则实数a的值为( ) A 1 2 或1 B2 或 1 2 C2 或1 D2 或 1 【答案】C 【解析】由题意作出约束条件 2 0 22 0 22 0 xy xy xy ，平面区域， 将zyax化为yaxz，z相当于直线yaxz的纵截距， 由题意可得，yaxz与22yx或与2yx平行， 故2a 或1； 故选：C 第 11 页（共 19 页） 10（2014福建） 已知圆 22 :()()1Cxayb， 设平面区域 7 0 3 0 0 xy

16、xy y ， 若圆心C ， 且圆C与x轴相切，则 22 ab的最大值为( ) A49 B37 C29 D5 【答案】B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为( , )a b，半径为 1 圆心C ，且圆C与x轴相切， 1b ， 则 222 1aba， 要使 22 ab的取得最大值，则只需a最大即可， 由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大， 由 1 70 y xy ，解得 6 1 x y ，即(6,1)B， 当6a ，1b 时， 22 36137ab ，即最大值为 37， 故选：B 11 （2013北京） 设关于x，y的不等式组 210, 0, 0 xy xm ym 表示的平面区域

17、内存在点 0 (P x， 0) y，满足 00 22xy，求得m的取值范围是( ) 第 12 页（共 19 页） A 4 (,) 3 B 1 (,) 3 C 2 (,) 3 D 5 (,) 3 【答案】C 【解析】先根据约束条件 210, 0, 0 xy xm ym 画出可行域， 要使可行域存在，必有21mm ，要求可行域包含直线 1 1 2 yx上的点，只要边界点 (,12 )mm 在直线 1 1 2 yx的上方，且(,)m m在直线 1 1 2 yx的下方， 故得不等式组 21 1 121 2 1 1 2 mm mm mm ， 解之得： 2 3 m 故选：C 12（2012新课标） 已知正

18、三角形ABC的顶点(1,1)A，(1,3)B， 顶点C在第一象限， 若点( , )x y 在ABC内部，则zxy 的取值范围是( ) A(13，2) B(0,2) C( 31，2) D(0,13) 【答案】A 【解析】设( , )C a b，(0,0)ab 由(1,1)A，(1,3)B，及ABC为正三角形可得，2ABACBC 第 13 页（共 19 页） 即 2222 (1)(1)(1)(3)4abab 2b，13a 即(13C，2) 则此时直线AB的方程1x ，AC的方程为 3 1(1) 3 yx ， 直线BC的方程为 3 3(1) 3 yx 当直线0 xyz经过点(1,1)A时，0z ，经

19、过点(1,3)2Bz ，经过点(13C，2)时， 13z 2,13 maxmin zz 故选：A 13 （2011福建）已知O是坐标原点，点( 1,1)A ，若点( , )M x y为平面区域 2 1 2 xy x y ，上的 一个动点，则OA OM的取值范围是( ) A 1，0 B0，1 C0，2 D 1，2 【答案】C 【解析】满足约束条件 2 1 2 xy x y 的平面区域如下图所示： 第 14 页（共 19 页） 将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当1x ，1y 时，1 1 1 10OA OM 当1x ，2y 时，1 1 1 21OA OM 当0 x ，2y 时，1

20、 01 22OA OM 故OA OM和取值范围为0，2 14 （2010全国新课标）已知ABCD的三个顶点为( 1,2)A ，(3,4)B，(4, 2)C，点( , )x y在 ABCD的内部，则25zxy的取值范围是( ) A( 14,16) B( 14,20) C( 12,18) D( 12,20) 【答案】B 【解析】由已知条件得(0, 4)ABDCD， 由25zxy得 2 55 z yx，平移直线当直线经过点(3,4)B时， 5 z 最大， 即z取最小为14；当直线经过点(0, 4)D时， 5 z 最小，即z取最大为 20， 又由于点( , )x y在四边形的内部，故( 14,20)z

21、 如图：故选B 第 15 页（共 19 页） 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 15（2019新课标） 若变量x，y满足约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 则3zxy的最大值是 【答案】9 【解析】由约束条件 236 0, 3 0, 2 0, xy xy y 作出可行域如图： 化目标函数3zxy为3yxz，由图可知，当直线3yxz过(3,0)A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最大值为 9 16 （2014浙江）当实数x，y满足 24 0 1 0 1 xy xy x 时，14axy剟恒成立，则实数a的取值 范围是 【答案】 3 1, 2 【解析】由约束条件作可

22、行域如图， 第 16 页（共 19 页） 联立 1 240 x xy ，解得 3 (1,) 2 C 联立 10 240 xy xy ，解得(2,1)B 在10 xy 中取0y 得(1,0)A 要使14axy剟恒成立， 则 1 0 3 1 0 2 4 0 214 0 a a a a ，解得： 3 1 2 a剟 实数a的取值范围是 3 1, 2 17 （2015新课标）若x，y满足约束条件 1 0 0 4 0 x xy xy 则 y x 的最大值为 【答案】3 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分)ABC 设 y k x ，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率， 由图象知OA的斜

23、率最大， 由 1 40 x xy ，解得 1 3 x y ，即(1,3)A， 3 3 1 OA k， 即 y x 的最大值为 3 故答案为：3 第 17 页（共 19 页） 18 （2017北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ( ) i男学生人数多于女学生人数； ( )ii女学生人数多于教师人数； ()iii教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 6 该小组人数的最小值为 【答案】6，12 【解析】设男学生女学生分别为x，y人， 若教师人数为 4， 则4 24 xy y x ，即48yx， 即x的最大值为 7，y的最大值为 6， 即

24、女学生人数的最大值为 6 设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z， 则 2 xy yz zx ，即2zyxz 即z最小为 3 才能满足条件， 此时x最小为 5，y最小为 4， 即该小组人数的最小值为 12， 故答案为：6，12 19 （2015北京） 如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，( , )P x y为D中任意一点， 第 18 页（共 19 页） 则23zxy的最大值为 7 【答案】7 【解析】由23zxy，得 2 33 z yx ， 平移直线 2 33 z yx ，由图象可知当直线 2 33 z yx 经过点A时，直线 2 33 z yx 的截 距最大，此时z最大即(2,1)

25、A此时z的最大值为223 17z ， 故答案为：7 20 （2016新课标）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产 一件产品A需要甲材料1.5kg， 乙材料1kg， 用5个工时； 生产一件产品B需要甲材料0.5kg， 乙材料0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品A的利润为 2100 元，生产一件产品B的利润 为 900 元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下， 生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元 【答案】216000 【解析】 （1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元 由题意，得 , 1.50.5150 0.390 53600 xN yN xy xy xy ，2100900zxy 第 19 页（共 19 页） 不等式组表示的可行域如图：由题意可得 0.390 53600 xy xy ，解得： 60 100 x y ，(60,100)A， 目标函数2100900zxy经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值： 210060900 100216000元