历年高考数学真题精选38 抛物线.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 38 抛物线（学生版） 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1 （2016新课标）设F为抛物线 2 :4C yx的焦点，曲线(0) k yk x 与C交于点P， PFx轴，则(k ) A 1 2 B1 C 3 2 D2 2 （2013新课标）设抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点M在C上，| 5MF ，若 以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( ) A 2 4yx或 2 8yx B 2 2yx或 2 8yx C 2 4yx或 2 16yx D 2 2yx或

2、2 16yx 3 （2018新课标） 设抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 过点( 2,0)且斜率为 2 3 的直线与C交 于M，N两点，则(FM FN ) A5 B6 C7 D8 4（2017新课标） 已知F为抛物线 2 :4C yx的焦点， 过F作两条互相垂直的直线 1 l，2l， 直线 1 l与C交于A、B两点，直线 2 l与C交于D、E两点，则|ABDE的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 5 （2016新课标）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、 E两点已知| 4 2AB ，| 2 5DE ，则C的焦点到准线的距离为( ) A2 B4 C6 D8

3、 6 （2016四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 2 2(0)ypx p上任意一点， M是线段PF上的点，且| 2|PMMF，则直线OM的斜率的最大值为( ) A 3 3 B 2 3 C 2 2 D1 7（2014新课标） 设F为抛物线 2 :3C yx的焦点， 过F且倾斜角为30的直线交C于A， 第 2 页（共 17 页） B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) A 3 3 4 B 9 3 8 C 63 32 D 9 4 8（2014新课标） 已知抛物线 2 :C yx的焦点为F， 0 (A x， 0) y是C上一点， 0 5 | 4 AFx， 则 0 (x ) A1 B2

4、 C4 D8 9 （2014新课标） 设F为抛物线 2 :3C yx的焦点， 过F且倾斜角为30的直线交于C于 A，B两点，则| (AB ) A 30 3 B6 C12 D7 3 10 （2014新课标）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是 直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则| (QF ) A 7 2 B3 C 5 2 D2 11（2014四川） 已知F为抛物线 2 yx的焦点， 点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 2OA OB （其中O为坐标原点） ，则ABO与AFO面积之和的最小值是( ) A2 B3 C17 2 8 D10 12 （2013江西）

5、已知点(2,0)A，抛物线 2 :4C xy的焦点为F，射线FA与抛物线C相交 于点M，与其准线相交于点N，则|:| (FMMN ) A2:5 B1:2 C1:5 D1:3 13 （2013新课标）O为坐标原点，F为抛物线 2 :4 2C yx的焦点，P为C上一点， 若| 4 2PF ，则POF的面积为( ) A2 B2 2 C2 3 D4 14（2013新课标） 设抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 直线l过F且与C交于A，B两点 若 | 3|AFBF，则l的方程为( ) A1yx或1yx B 3 (1) 3 yx或 3 (1) 3 yx 第 3 页（共 17 页） C3(1)yx或3(1

6、)yx D 2 (1) 2 yx或 2 (1) 2 yx 15（2011辽宁） 已知F是抛物线 2 yx的焦点，A，B是该抛物线上的两点，| 3AFBF， 则线段AB的中点到y轴的距离为( ) A 3 4 B1 C 5 4 D 7 4 16 （2011山东）设 0 (M x， 0) y为抛物线 2 :8C xy上一点，F为抛物线C的焦点，以F为 圆心、|FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则 0 y的取值范围是( ) A(0,2) B0，2 C(2,) D2，) 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 17 （2019北京）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切

7、的圆 的方程为 18 （2019上海）过曲线 2 4yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线 2 4yx交于A， B，A在B上方，M为抛物线上一点，(2)OMOAOB，则 19 （2018北京）已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴若l被抛物线 2 4yax截得的线段长 为 4，则抛物线的焦点坐标为 20（2015上海） 抛物线 2 2(0)ypx p上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1， 则p 21 （2017新课标）已知F是抛物线 2 :8C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线 交y轴于点N若M为FN的中点，则|FN 22 （2017山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1

8、(0,0) xy ab ab 的右支与焦点 为F的抛物线 2 2(0)xpy p交于A，B两点，若| 4|AFBFOF，则该双曲线的渐 近线方程为 23 （2016天津）设抛物线 2 2 ( 2 xpt t ypt 为参数，0)p 的焦点为F，准线为l，过抛物线上 一点A作l的垂线， 垂足为B， 设 7 (2Cp，0)，AF与BC相交于点E 若| 2|C FA F， 且ACE的面积为3 2，则p的值为 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 第 4 页（共 17 页） 24 （2013福建）如图，抛物线 2 :4E yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为A点C在 抛物线E上，以C为圆心，|C

9、O为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N （）若点C的纵坐标为 2，求|MN； （）若 2 | |AFAMAN，求圆C的半径 25 （2019新课标）已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切 线，切点分别为A，B （1）证明：直线AB过定点 （2）若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程 26 （2019新课标）已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切 线，切点分别为A，B （1）证明：直线AB过定点； （2） 若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆

10、与直线AB相切， 且切点为线段AB的中点， 求四边形ADBE的 面积 27 （2019新课标）已知抛物线 2 :3C yx的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为 A，B，与x轴的交点为P （1）若| 4AFBF，求l的方程； （2）若3APPB，求|AB 第 5 页（共 17 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 38 抛物线（教师版） 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1 （2016新课标）设F为抛物线 2 :4C yx的焦点，曲线(0) k yk x 与C交于点P， PFx轴，则(k ) A 1 2 B1 C 3 2 D2

11、【答案】D 【解析】抛物线 2 :4C yx的焦点F为(1,0)，曲线(0) k yk x 与C交于点P在第一象限， 由PFx轴得：P点横坐标为 1，代入C得：P点纵坐标为 2，故2k 2 （2013新课标）设抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点M在C上，| 5MF ，若 以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( ) A 2 4yx或 2 8yx B 2 2yx或 2 8yx C 2 4yx或 2 16yx D 2 2yx或 2 16yx 【答案】C 【解析】抛物线C方程为 2 2(0)ypx p，焦点F坐标为( 2 p ，0)，可得| 2 p OF ， 以MF为直径的圆过

12、点(0,2)，设(0,2)A，可得AFAM， Rt AOF中， 2 22 |2()4 24 pp AF ， 2 | 2 sin | 4 4 p OF OAF AF p ， 根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点， OAFAMF ，可得Rt AMF中， 2 | 2 sin | 4 4 p AF AMF MF p ， | 5MF ， 2 |4 4 p AF 2 2 4 42 5 4 4 pp p ，整理得 2 5 4 42 pp ，解之可得2p 或 8p 因此，抛物线C的方程为 2 4yx或 2 16yx 第 6 页（共 17 页） 3 （2018新课标） 设抛物线 2 :4C yx

13、的焦点为F， 过点( 2,0)且斜率为 2 3 的直线与C交 于M，N两点，则(FM FN ) A5 B6 C7 D8 【答案】D 【解析】 抛物线 2 :4C yx的焦点为(1,0)F， 过点( 2,0)且斜率为 2 3 的直线为：324yx， 联立直线与抛物线 2 :4C yx，消去x可得： 2 680yy， 解得 1 2y ， 2 4y ，不妨(1,2)M，(4,4)N，(0,2)FM ，(3,4)FN 则(0FM FN ，2) (3，4)8 4（2017新课标） 已知F为抛物线 2 :4C yx的焦点， 过F作两条互相垂直的直线 1 l，2l， 直线 1 l与C交于A、B两点，直线 2

14、 l与C交于D、E两点，则|ABDE的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 【答案】A 【解析】 12 ll，直线 1 l与C交于A、B两点， 直线 2 l与C交于D、E两点，由图象知要使|ABDE最小， 则A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为 1， 又直线 2 l过点(1,0)，则直线 2 l的方程为1yx， 联立方程组 2 4 1 yx yx ，则 2 440yy， 12 4yy， 12 4y y ， 12 2 1 |1|2328DEyy k ，|ABDE的最小值为2| 16DE ， 5 （2016新课标）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、 E

15、两点已知| 4 2AB ，| 2 5DE ，则C的焦点到准线的距离为( ) A2 B4 C6 D8 【答案】B 第 7 页（共 17 页） 【解析】设抛物线为 2 2ypx，如图：| 4 2AB ，| 2 2AM ， | 2 5DE ，|5DN ，| 2 p ON ， 2 (2 2)4 2 A x pp ，| |ODOA， 2 2 16 85 4 p p ， 解得：4p C的焦点到准线的距离为：4 6 （2016四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 2 2(0)ypx p上任意一点， M是线段PF上的点，且| 2|PMMF，则直线OM的斜率的最大值为( ) A 3 3 B 2 3 C

16、2 2 D1 【答案】C 【解析】 由题意可得( 2 p F，0)， 设 2 0 ( 2 y P p ， 0) y， 显然当 0 0y ，0 OM k； 当 0 0y ，0 OM k 要求 OM k的最大值，设 0 0y ， 则 11 () 33 OMOFFMOFFPOFOPOF 2 0 12 ( 3363 yp OPOF p ， 0) 3 y ， 可得 0 2 0 0 0 0 0 222 3 2 2 2 2 63 OM y k yp ypy p py ppy ，当且仅当 22 0 2yp，取得等号 7（2014新课标） 设F为抛物线 2 :3C yx的焦点， 过F且倾斜角为30的直线交C于A

17、， B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) A 3 3 4 B 9 3 8 C 63 32 D 9 4 【答案】D 【解析】由 2 2ypx，得23p ， 3 2 p ，则 3 (4F，0) 过A，B的直线方程为 33 () 34 yx，即 3 3 4 xy 联立 2 3 3 3 4 yx xy ，得 2 412 390yy 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 3 3yy， 12 9 4 y y 第 8 页（共 17 页） 22 121212 13339 |()4(3 3)9 24884 OABOAFOFB SSSyyyyy y 8（2014新课标） 已知

18、抛物线 2 :C yx的焦点为F， 0 (A x， 0) y是C上一点， 0 5 | 4 AFx， 则 0 (x ) A1 B2 C4 D8 【答案】A 【解析】抛物线 2 :C yx的焦点为 1 ( ,0) 4 F， 0 (A x， 0) y是C上一点， 0 5 | 4 AFx， 0 0 x 00 51 44 xx，解得 0 1x 9 （2014新课标） 设F为抛物线 2 :3C yx的焦点， 过F且倾斜角为30的直线交于C于 A，B两点，则| (AB ) A 30 3 B6 C12 D7 3 【答案】C 【解析】由 2 3yx得其焦点 3 (4F，0)，准线方程为 3 4 x 则过抛物线

19、2 3yx的焦点F且倾斜角为30的直线方程为 333 tan30 ()() 434 yxx 代入抛物线方程，消去y，得 2 1616890 xx 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y则 12 16821 162 xx， 所以 12 333321 |12 44442 ABxx 10 （2014新课标）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是 直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则| (QF ) A 7 2 B3 C 5 2 D2 【答案】B 【解析】设Q到l的距离为d，则|QFd， 4FPFQ，| 3PQd，不妨设直线PF的斜率为 2 2 2 2

20、 d d ， (2,0)F，直线PF的方程为2 2(2)yx ，与 2 8yx联立可得1x ， |123QFd 第 9 页（共 17 页） 11（2014四川） 已知F为抛物线 2 yx的焦点， 点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 2OA OB （其中O为坐标原点） ，则ABO与AFO面积之和的最小值是( ) A2 B3 C17 2 8 D10 【答案】B 【解析】设直线AB的方程为：xtym，点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直线AB与x轴的交点为( ,0)M m， 由 2 2 0 xtym ytym yx ，根据韦达定理有 12 y ym ， 2OA OB ，

21、 1212 2x xy y，结合 2 11 yx及 2 22 yx，得 2 1212 ()20y yy y， 点A，B位于x轴的两侧， 12 2y y ，故2m 不妨令点A在x轴上方，则 1 0y ，又 1 ( ,0) 4 F， 121 111 2() 224 ABOAFO SSyyy 11 11 9292 23 88 yy yy 当且仅当 1 1 92 8 y y ，即 1 4 3 y 时，取“”号，ABO与AFO面积之和的最小值是 3， 12 （2013江西）已知点(2,0)A，抛物线 2 :4C xy的焦点为F，射线FA与抛物线C相交 于点M，与其准线相交于点N，则|:| (FMMN )

22、 A2:5 B1:2 C1:5 D1:3 【答案】C 【解析】抛物线 2 :4C xy的焦点为(0,1)F，点A坐标为(2,0) 抛物线的准线方程为:1l y ，直线AF的斜率为 011 202 k ， 过M作MPl于P，根据抛物线物定义得| |FMPM Rt MPN中， 1 tan 2 MNPk ， |1 |2 PM PN ，可得| 2|PNPM，得 22 |5 |MNPNPMPM 第 10 页（共 17 页） 因此， |1 |5 PM MN ，可得|:| |:| 1: 5FMMNPMMN 13 （2013新课标）O为坐标原点，F为抛物线 2 :4 2C yx的焦点，P为C上一点， 若| 4

23、 2PF ，则POF的面积为( ) A2 B2 2 C2 3 D4 【答案】C 【解析】抛物线C的方程为 2 4 2yx 24 2p，可得2 2 p ，得焦点( 2,0)F 设( , )P m n 根据抛物线的定义，得|4 2 2 p PFm， 即24 2m，解得3 2m 点P在抛物线C上，得 2 4 23 224n 242 6n |2OF P O F的面积为 11 |22 62 3 22 SOFn 14（2013新课标） 设抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 直线l过F且与C交于A，B两点 若 | 3|AFBF，则l的方程为( ) A1yx或1yx B 3 (1) 3 yx或 3 (1)

24、3 yx C3(1)yx或3(1)yx D 2 (1) 2 yx或 2 (1) 2 yx 【答案】C 【解析】抛物线C方程为 2 4yx，可得它的焦点为(1,0)F， 设直线l方程为(1)yk x 由 2 (1) 4 yk x yx 消去x，得 2 0 4 k yyk 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，可得 12 4 yy k ， 12 4(*)y y | 3|AFBF， 12 30yy，可得 12 3yy ，代入(*)得 2 4 2y k 且 2 2 34y ， 第 11 页（共 17 页） 消去 2 y得 2 3k ，解之得3k 直线l方程为3(1)yx或3(1)y

25、x 15（2011辽宁） 已知F是抛物线 2 yx的焦点，A，B是该抛物线上的两点，| 3AFBF， 则线段AB的中点到y轴的距离为( ) A 3 4 B1 C 5 4 D 7 4 【答案】C 【解析】F是抛物线 2 yx的焦点， 1 ( ,0) 4 F准线方程 1 4 x ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距 离 1 1 | 4 AFx， 2 1 | 4 BFx， 12 11 |3 44 AFBFxx 解得 12 5 2 xx， 线段AB的中点横坐标为 5 4 ，线段AB的中点到y轴的距离为 5 4 16 （20

26、11山东）设 0 (M x， 0) y为抛物线 2 :8C xy上一点，F为抛物线C的焦点，以F为 圆心、|FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则 0 y的取值范围是( ) A(0,2) B0，2 C(2,) D2，) 【答案】C 【解析】由条件| 4FM ，由抛物线的定义 0 |24FMy，所以 0 2y 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 17 （2019北京）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆 的方程为 【答案】 22 (1)4xy 【解析】抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)F， 所求圆的圆心F，且与准线1x 相切，圆的半径为 2 则所求圆的

27、方程为 22 (1)4xy 18 （2019上海）过曲线 2 4yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线 2 4yx交于A， B，A在B上方，M为抛物线上一点，(2)OMOAOB，则 第 12 页（共 17 页） 【答案】3 【解析】 过 2 4yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与 2 4yx交于A，B，A在B上方， 依题意：得到：(1A，2) (1B，2)，设点( , )M x y， 所以：M为抛物线上一点，(2)OMOAOB， 则：(x，)(1y，2)(2)(1，2)(22，4)，代入 2 4yx，得到：3 19 （2018北京）已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴若l被抛物线 2 4ya

28、x截得的线段长 为 4，则抛物线的焦点坐标为 【答案】(1,0) 【解析】 直线l过点(1,0)且垂直于x轴，1x， 代入到 2 4yax， 可得 2 4ya， 显然0a ， 2ya ，l被抛物线 2 4yax截得的线段长为 4，44a，解得1a ， 2 4yx，抛物线的焦点坐标为(1,0) 20（2015上海） 抛物线 2 2(0)ypx p上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1， 则p 【答案】2 【解析】因为抛物线 2 2(0)ypx p上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1， 所以1 2 p ，所以2p 21 （2017新课标）已知F是抛物线 2 :8C yx的焦点，M是C上一点，FM的延

29、长线 交y轴于点N若M为FN的中点，则|FN 【答案】6 【解析】抛物线 2 :8C yx的焦点(2,0)F，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若 M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：2 2， 22 | 2| 2 (12)( 2 20)6FNFM 22 （2017山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右支与焦点 为F的抛物线 2 2(0)xpy p交于A，B两点，若| 4|AFBFOF，则该双曲线的渐 近线方程为 第 13 页（共 17 页） 【答案】 2 2 yx 【解析】把 2 2(0)xpy p代入双曲线 22 22

30、1(0,0) xy ab ab ， 可得： 22222 20a ypb ya b， 2 2 2 AB pb yy a ， | 4|AFBFOF，24 22 AB pp yy， 2 2 2pb p a ， 2 2 b a 该双曲线的渐近线方程为： 2 2 yx 23 （2016天津）设抛物线 2 2 ( 2 xpt t ypt 为参数，0)p 的焦点为F，准线为l，过抛物线上 一点A作l的垂线， 垂足为B， 设 7 (2Cp，0)，AF与BC相交于点E 若| 2|C FA F， 且ACE的面积为3 2，则p的值为 【答案】6 【解析】抛物线 2 2 ( 2 xpt t ypt 为参数，0)p 的

31、普通方程为： 2 2ypx焦点为( 2 p F，0)， 过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B， 设 7 (2Cp，0)，AF与BC相交于点E| 2|CFAF， | 3CFp， 3 | | 2 ABAFp，( , 2 )A pp， ACE的面积为3 2， 1 2 AEAB EFCF ，可得 1 3 AFCACE SS 即： 11 323 2 32 pp，解得6p 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 24 （2013福建）如图，抛物线 2 :4E yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为A点C在 抛物线E上，以C为圆心，|CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N （）若点C的纵坐标为

32、 2，求|MN； （）若 2 | |AFAMAN，求圆C的半径 第 14 页（共 17 页） 解：( ) I抛物线 2 :4E yx的准线:1l x ， 由点C的纵坐标为 2，得(1,2)C，故C到准线的距离2d ，又|5OC ， 22 | 2 |2 542MNOCd ()II设 2 0 ( 4 y C， 0) y，则圆C的方程为 24 22200 00 ()() 416 yy xyyy， 即 2 220 0 20 2 y xxyy y，由1x 得 2 20 0 210 2 y yy y ， 设 1 ( 1,)My， 2 ( 1,)Ny，则 2 220 00 2 0 12 44(1)240 2

33、 1 2 y yy y y y ， 由 2 | |AFAMAN，得 12 | 4y y ， 2 0 14 2 y ，解得 0 6y ，此时0 圆心C的坐标为 3 ( 2 ，6)， 2 33 | 4 OC， 从而 33 | 2 OC 即圆C的半径为 33 2 25 （2019新课标）已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切 线，切点分别为A，B （1）证明：直线AB过定点 （2）若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程 （1）证明：设 1 ( ,) 2 D t ， 1 (A x， 1) y，则 2 11

34、 2xy， 第 15 页（共 17 页） 由于yx，切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt ， 整理得： 11 2210txy 设 2 (B x， 2) y，同理可得 22 2210txy 故直线AB的方程为2210txy 直线AB过定点 1 (0, ) 2 ； （2）解：由（1）得直线AB的方程 1 2 ytx 由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210 xtx 于是 2 121212 2 ,() 121xxt yyt xxt 设M为线段AB的中点，则 2 1 ( ,) 2 M t t ， 由于EMAB，而 2 ( ,2)EMt t，AB与向量(1, )

35、t平行， 2 (2)0ttt ，解得0t 或1t 当0t 时，| 2EM ，所求圆的方程为 22 5 ()4 2 xy； 当1t 时，|2EM ，所求圆的方程为 22 5 ()2 2 xy 26 （2019新课标）已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切 线，切点分别为A，B （1）证明：直线AB过定点； 第 16 页（共 17 页） （2） 若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直线AB相切， 且切点为线段AB的中点， 求四边形ADBE的 面积 解： （1）证明： 2 2 x y 的导数为yx， 设切点 1 (A x， 1) y， 2 (B x，

36、 2) y，即有 2 1 1 2 x y ， 2 2 2 2 x y ， 切线DA的方程为 111 ()yyx xx，即为 2 1 1 2 x yx x， 切线DB的方程为 2 2 2 2 x yx x， 联立两切线方程可得 12 1 () 2 xxx， 可得 12 11 22 yx x ，即 12 1x x ， 直线AB的方程为 2 112 1 12 () 2 xyy yxx xx ， 即为 2 1 121 1 ()() 22 x yxxxx， 可化为 12 11 () 22 yxxx， 可得AB恒过定点 1 (0, ) 2 ； （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx 由 2 1

37、2 2 ytx x y ，可得 2 210 xtx 于是 12 2xxt， 12 1x x ， 2 1212 () 121yyt xxt ， 2222 12121 2 |1|1()42(1)ABtxxtxxx xt 设 1 d， 2 d分别为点D，E到直线AB的距离，则 2 1 1dt， 2 2 2 1 d t 因此，四边形ADBE的面积 22 12 1 |()(3)1 2 SABddtt 设M为线段AB的中点，则 2 1 ( ,) 2 M t t 由于EMAB，而 2 (,2)E Mtt，AB与向量(1, ) t平行，所以 2 (2)0ttt解得0t 或 1t 第 17 页（共 17 页）

38、当0t 时，3S ；当1t 时，4 2S 综上，四边形ADBE的面积为 3 或4 2 27 （2019新课标）已知抛物线 2 :3C yx的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为 A，B，与x轴的交点为P （1）若| 4AFBF，求l的方程； （2）若3APPB，求|AB 解：（1） 设直线l的方程为 3 () 2 yxt， 将其代入抛物线 2 3yx得： 22 999 (3)0 424 xtxt， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 9 3 4 2 2 9 3 4 t xxt ， 2 12 x xt， 由抛物线的定义可得： 12 43 |24 32 AFBFxxpt，解得 7 12 t ， 直线l的方程为 37 28 yx （2）若3APPB，则 12 3yy ， 12 33 ()3() 22 xtxt ，化简得 12 34xxt ， 由解得1t ， 1 3x ， 2 1 3 x ， 2 914 13 |1(3)4 433 AB