拉格朗日插值教学提纲课件.ppt

1、 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性；插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性；LagrangeLagrange插值插值(含线性插值、抛物插值、含线性插值、抛物插值、n n次次LagrangeLagrange插值公式）；插值公式）；插值余项；插值余项；插值方法：（插值方法：（1 1）解方程组、（）解方程组、（2 2）基函数法。）基函数法。设已知某个函数关系设已知某个函数关系 在某些离散点上的在某些离散点上的函数值：函数值：根据这些已知数据来构造函数：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式的一种简单的近似表达式,以便于计算以便于计算点点 的函数值的函数值 ，或计算函数，或计算函数的

2、一阶、二阶导数值。的一阶、二阶导数值。()f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixx in()yf x()yf x多项式插值定义多项式插值定义 在众多函数中在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数多项式最简单、最易计算，已知函数 个互不相同的点处的函数值个互不相同的点处的函数值 ，为求，为求 的近似式，自然应当选的近似式，自然应当选 次多项式次多项式n使使 满足条件满足条件()1yf xn在nixfyii,1,0),()(xfy 2012()nnnP xaa xa xa x(),0,1,niiP xyin0,111(),(),(33),1(,)(0,1,)(),()

3、nnnf xpxx xxnxyinypxyf x称为被插函数称插值多项式 条件称插值条件称插值节点 这种求函数近似式的方法称为插值法几何上 其实质是用通过个点的多项式曲线当作曲线的近似曲线.如图所示)(xPn插值多项式插值多项式的几何意义的几何意义定理：定理：(唯一性唯一性)满足满足 的的 n 阶插值阶插值niyxPii,.,0,)(多项式是唯一存在的。多项式是唯一存在的。存在唯一性定理证明存在唯一性定理证明设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为：nnnxaxaxaaxP 2210)(由插值条件由插值条件 niyxPiin,1,0)(得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组：

4、nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111存在唯一性定理证明存在唯一性定理证明(续续)此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 nijjixx0)(范得蒙行列式范得蒙行列式！当当 jixx 时时，;,2,1ninj,2,1D 0，因此，因此，P Pn n(x x)由由a a0 0,a a1 1,a an n唯一确定。唯一确定。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 一、解方程组法：一、解方程组法：类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为数为 ，将，将 个节点个节点的函数值代入多项

5、式里，便得到的函数值代入多项式里，便得到 个等式，得到一个个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。到所要求的插值多项式。二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。求解的方法，下面将具体介绍。nnnxaxaxaaxP 2210)(1n1n拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）插值公式的基本思想是，）插值公式的基本思想是，把把p pn n(x x)的构造问题转化为

6、的构造问题转化为n+1n+1个插值基函数个插值基函数l li i(x)(i=0,1,n)(x)(i=0,1,n)的构造。的构造。x0 x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见可见 是过是过 和和 两点的直线。两点的直线。抛物插值函数抛物插值函数x0 x1x2p2(x)f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。nnnxaxaaxP 10)(要求：无重合节点，即要求：无重合节点，即jixx ji 设连续函数设连续函数 在在a,ba,b上对给定上对给定n n+1+1个不同结点：个不同结点：分别取函数值分别取函数值其中其中试构

7、造一个次数不超过试构造一个次数不超过n n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i=0,1,2,niinyxP)()yf x 已知函数已知函数 在点在点 上的值为上的值为 ，要，要求多项式求多项式 ，使，使 ，。其几何。其几何意义，就是通过两点意义，就是通过两点 的一条直线，的一条直线，如图所示。如图所示。01,x x0011(,),(,)A xyB x y()yf x01,yy100()p xy1()yp x111()p xy一次插值多项式一次插值多项式 由直线两点式可知，通过由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为的直线方程为 它也可变形为它也可变形为 显然有：显然有：1000

8、110()yyyyxxp xxx010110100)(,)(xxxxxlxxxxxl记记可以看出可以看出的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为 ，0y1y01(),()lx l x0 x1x称称 为节点为节点 ,的线性插值基函数的线性插值基函数1001()xxlxxx0110()xxl xxx011010110()xxxxL xyyxxxx线性插值基函数线性插值基函数满足下述条件满足下述条件01(),()lx l x1001ix0 x1x0()lx1()l x并且他们都是一次函数。并且他们都是一次函数。注意他们的特点对下面的推广很重要注意他们的特点对下面的推广很重要 我们称我

9、们称 为点为点 的一次插值基函数，的一次插值基函数，为点为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为值为1 1，而在另外的插值点上取值为，而在另外的插值点上取值为0 0。插值函数。插值函数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（作为拉格朗日（LagrangeLagrange）插值。）插值。0()lx1()l x0 x1()p x1x 线性插值只利用两对值及求得的线性插值只利用两对值及求得的 近似值，误差较大。近似值，误

10、差较大。p2(x)是是x的二次函数，称为二次插值多项式。的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。012,x x x以过节点以过节点 的二次函数的二次函数为插值函数。为插值函数。2()L x用基函数的方法获得用基函数的方法获得2()L x其中其中1200102()()()()()xxxxl xxxxx0211012()()()()()xxxxl xxxxx0122021()()()()()xxxxl xxxxx(,)(0,1,2)iix yi 设被插函数在插值节点设被插函数在插值节点处的函数值为处的函数值为012,yy

11、y20 01 12 2()()()()L xy lxy l xy lx 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式，而三个插值点可求出二次插值多项式。，而三个插值点可求出二次插值多项式。当 插 值 点 增 加 到当 插 值 点 增 加 到 n+1 个 时，我 们 可 以 利 用个 时，我 们 可 以 利 用Lagrange插值方法写出插值方法写出n次插值多项式，如次插值多项式，如下所示：下所示：已知已知n+1个节点处的函数值个节点处的函数值iy0y1yixnx0 x1xny求一个求一个n次插值函数次插值函数()nL x满足满足()(1,2,)niL xyi

12、n构造各个插值节点上的基函数构造各个插值节点上的基函数 满足如下条件满足如下条件()(0,1,)il xin1000010000010 xix1x2xnx0()lx1()l xn()lx求求n n次多项式次多项式 ，k k=0,1,=0,1,n n ikikxlik,0,1)(iinkkkinyxlyxP )()(1则则 i=0,1,2,n即即 满足插值条件满足插值条件 根据根据 的表达式，的表达式，以外所有的结点都是以外所有的结点都是 的根，的根，()klx()klx()klxkx()npx0111()()()()()()kkknlxxxxxxxxxxx nkjjjxx0)(又由又由 ，得：

13、，得：)()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 因此令因此令()1kklxknknkjjjkjknkknyxxxxyxlxP 000)()()()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl nkjjjkjxxxx0从而得从而得n n 阶拉格朗日（阶拉格朗日（LagrangeLagrange）插值公式：）插值公式：)1(nf在在a,b内存在内存在,考察截断误差考察截断误差()()()nnR xf xL x设节点设节点,baCfn bxxxan 10，且，且 f 满足条件满足条件 ,0)(0)()(10 xx ),(

14、10 xx 存在存在 使得使得 。且且推广：若推广：若0)()()(210 xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)()(x 10,xx),(10 xx罗尔定理罗尔定理:若若 在在 连续，在连续，在 充分光滑，充分光滑，注：注：通常不能确定通常不能确定 x,而是估计而是估计 ,x(a,b)将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。1)1()(nnMxf niinxxnM01|)!1(当当 f(x)为任一个次数为任一个次数 n 的多项式时，的多项式时，,可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项多项式是精确的。式是精确

15、的。0)()1(xfn0)(xRn例：例：已知特殊角已知特殊角 处的正弦函数值处的正弦函数值123,222分别为分别为求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用插值函数近似计算插值函数近似计算 ，并估计误差，并估计误差解：一次插值函数为解：一次插值函数为,6 4 3 11264()226446xxL x5sin18误差为误差为1()sin()()()()()2!64264fR xxxxx在所求点的函数值为在所求点的函数值为155sin()0.776141818L误差为误差为15()55()()()182!186184fR(,)6 3 知知150.00762()

16、0.0131918R 二次插值多项式为二次插值多项式为2()()()()()()123436364()222()()()()()()646346433634xxxxxxL x2()()()()()3!643cos()()()6643fR xxxxxxx误差为误差为所求函数值为所求函数值为255sin()0.765431818L误差为误差为225cos555()()()()18618618418350.00077()0.0004418RR右图中红色曲线右图中红色曲线为为 图形图形,绿色绿色曲线为插值函数曲线为插值函数的图形。的图形。0.60.70.80.90.550.60.650.70.750.

17、80.85sin x 牛顿（牛顿（NewtonNewton）插值及余项、差商的定义与性质；）插值及余项、差商的定义与性质；埃尔米特埃尔米特(Hermite)(Hermite)插值公式及余项；插值公式及余项；等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值三次样条插值*。设已知某个函数关系设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：在某些离散点上的函数值：根据这些已知数据来构造函数根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式的一种简单的近似表达式,以便于计算点以便于计算点 的函数值的函数值 ，或计算函数的一阶、，或计算函数的一阶、二阶导数值。

18、二阶导数值。()f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixx in()yf x()yf x 求作求作n次多项式次多项式 使得：使得：x0 x0yy1y1nyny1x1nxnx)(xNnniyxfxNiiin,1,0,)()(1nyx0 x0yy1y1nyny1xnx1nx1nxx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx增加一个点后Lagrange Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li(x)都需重新算过。都需重新算过。)()()()()(10102010nnnxxxxxxcxxxxcxxccxN增

19、加一个点后10102010111011()()()()()()()()()()()nnnnnnNxcc xxc xxxxc xxxxxxcxxxxxxxx的求法！可仿照泰勒公式里系数的求法！关键是ic)()()()()(10102010nnnxxxxxxcxxxxcxxccxN依次类推。由此可解出：得：令得：令inncccxfyxxccxNxxxfycxNxx;,;)()()(;)()(101101101100000 线性插值公式可以写成如下形式：线性插值公式可以写成如下形式：其中其中 ，其修正项的系数，其修正项的系数 再修正再修正 可以进一步得到拋物插值公式可以进一步得到拋物插值公式其中其中

20、以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。进差商概念并研究其性质。1010pxpxcxx 00pxf x10110f xf xcxx 1px 21201pxpxcxxxx10212010221f xf xf xf xxxxxcxx1差商的定义差商的定义定义定义1：设有函数：设有函数f(x)以及自变量的一系列互不相等以及自变量的一系列互不相等),()()(,jijijijixxjixxxfxfxxf 的的x0,x1,xn （即在（即在i j时，时，x i xj）的值）的值 f(xi),称称为为f(x)在点在点xi,xi

21、处的处的一阶差商一阶差商，并记作，并记作f xi,xj，)(,kixxxxfxxfxxxfkikjjikji 又称又称为在点为在点 处的处的二阶差商二阶差商 称称 nnnnxxxxxfxxxfxxxf 02111010,为为f(x)在点处的在点处的n阶差商阶差商。差商表差商表xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商X0f(x0)X1f(x1)f(x0,x1)X2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。再考虑拉格朗日插值

22、问题：再考虑拉格朗日插值问题：问题问题 求作次数求作次数 多项式多项式 ，使满足条件，使满足条件，利用差商其解亦可表达为如下形式：利用差商其解亦可表达为如下形式：这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。n npx,0,1,niipxy in 001001011,nnnpxf xf x xxxf x xxxxxxxx容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。由插值多项式的唯一性，得由插值多项式的唯一性，得()()nnL xNx牛顿插值多项式的误差估计牛顿插值多项式的误差估计(1)01()(),()()(1)!nnnnnfR x

23、f x xxxxxn牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加一项就行了，即有递推式只要再增加一项就行了，即有递推式:,)()()()(10101 kkkkkxxxfxxxxxxxNxN01212,(1)1,(2)1,()ffff xNewtonxxx例 已知(）求的插值多项式。解：设=-1，=1，=2，则1001102112211201012201 21(,)1(1)21 1(,)02 1(,)(,)0(1/21(,)21)6yyf x xxxyyf x xxxf x xf x xf x x xxx ）（2001001201()()(),(),

24、()()112(1)(1)(1)26f xNxf xf x xxxf x x xxxxxxxxHermite插值多项式插值多项式要求函数值重合，而且要求若干阶要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅把此类插值多项式称为埃米尔特（把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。Hermite插值多项式（续插值多项式（续1）要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的插阶导数都重合的插值多项式即为值多

25、项式即为Taylor多项式多项式00)(!)(.)()()(000)(000mmxxmxfxxxfxfx 其余项为其余项为)1(00)1(00)()!1()()()()(mmxxmfxxfxR N 1 N 个条件可以确定个条件可以确定 阶多项式。阶多项式。已知函数已知函数 在区间在区间a,b上上n个互异点个互异点 处处的的函数值函数值，以及导数值以及导数值 ，求，求()yf x01,nyyy01,nm mm01,nx xx2121()nnHxP2121(),()0,1,2,niiniiHxyHxmin使得满足插值条件使得满足插值条件x0 x0yy1y1nyny1x1nxnx/y0m1m1nmn

26、m2121()nnHxP求2121(),()0,1,2,niiniiHxyHxmin使得满足插值条件使得满足插值条件HermiteHermite插值多项式插值多项式构造各个节点的插值基函数构造各个节点的插值基函数0,()()01,jkjkkjkxxjk()0,(),(,0,1,)jkjkjkxxj kn210()()()nnjjjjjHxyxmxHermit插值函数可表成插值函数可表成构造方法：构造方法：（类似（类似Lagrange 插值基函数）插值基函数）两点三次两点三次Hermit插值插值x0 x0yy1y1x/y0m1m33()HxP求33(),()0,1,2,iiiiHxyHxmin使

27、得满足插值条件使得满足插值条件已知：已知：两点三次两点三次Hermit插值（续插值（续1）直接设直接设dcxbxaxxH233)(待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数插值基函数的方法，引入四个基函数)(),(),(),(1010 xxxx使之满足使之满足0)(0)(0)(1)(10001000 xxxx0)(0)(1)(0)(10001000 xxxx0)(1)(0)(0)(10001000 xxxx1)(0)(0)(0)(10001000 xxxx两点三次两点三次Hermit插值（续插值（续2

28、）300110011()()()()()H xyxyxmxmx则为方便起见，先考虑为方便起见，先考虑1,010 xx的情形的情形。20)1)(21()(xxx，21)23()(xxx，20)1()(xxx，21)1()(xxx在一般情形下，只需作变换在一般情形下，只需作变换010 xxxxt两点三次两点三次Hermit插值（续插值（续3）相应的基函数为：相应的基函数为：)()(01000 xxxxxA，)()(01011xxxxxA)()(01000 xxxxxB，)()(01011xxxxxB，两点三次两点三次Hermit插值（续插值（续4）从而从而HermiteHermite插值多项式为插

29、值多项式为300110011()()()()()Hxy A xy A xm B xm B x算例：已知对数函数在两点处的值及导数值算例：已知对数函数在两点处的值及导数值1200.69314710.5xyy用三次用三次Hermit多项式求多项式求 的近似值的近似值ln(1,5)1.534272.18224 x0.761677 x20.113706 x3ln 1.5=0.409074两点三次Hermit插值（续5）设在设在n+1个节点个节点01naxxxb给出函数值和导数值给出函数值和导数值0101,nnyyyyyy及要求插值多项式要求插值多项式 满足满足()H x()()(0,1,)iiiiH

30、xy H xyin满足这些条件的插值多项式就是满足这些条件的插值多项式就是Hermit插值多项式。其插值多项式。其构造方法和两点情况类似，不再重复。构造方法和两点情况类似，不再重复。对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数 ,设将区间 分为 等份，表取 个等分点作节点的插值多项式，如下图所示，当 增大时，在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现龙格现象象。21/1,55f xxx 5 5，n npx1n npxn-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52xy=1/(1+x2)y=p4(x)y=p10(x)所谓分段插值，就是将被插值函数逐所谓

31、分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划理过程分两步，先将所考察的区间作一分划 并在每个并在每个 子段子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间起，作为整个区间 上的插值函数，即称上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数为分段多项式。如果函数 在分划在分划 的的每个子段上都是每个子段上都是 次式，则称为具有分划次式，则称为具有分划 的分段的分段 次式。次式。01naxxxb：1,iix x,a b kSxkk1.分段线性插值；分段线性插值；2.

32、分段抛物插值；分段抛物插值；3.分段低次多项式插值；分段低次多项式插值；原因：高次插值会发生原因：高次插值会发生Runge现象。现象。逼近效果并不算太好！逼近效果并不算太好！满足条件满足条件 具有分划具有分划 的分段一次式的分段一次式 在每个子段在每个子段 上都上都具有如下表达式：具有如下表达式：1Sx 1,0,1,iiSxy in1,iix x 10111,iiiiiiiixxxxSxyyxxxhh1iiihxx 011,xxxx 问题问题 求作具有分划求作具有分划 的分段三次式的分段三次式 ，使成，使成立立 解解 由于每个子段由于每个子段 上的上的 都是三次式，且都是三次式，且满足埃尔米特

33、插值条件：满足埃尔米特插值条件：所以所以 其中其中 ，且有，且有 3Sx 33,0,1,iiiiS xy S xy in1,iix x 3Sx33113311,iiiiiiiiSxy SxySxy Sxy 3011011iiiiiiiiiiiiiix xx xx xx xS xyyhyhyhhhh 22012201121,231,1xxxxxxxx xxxx1iixxx 所谓样条函数，从数学上讲，就是按一所谓样条函数，从数学上讲，就是按一定光滑性要求定光滑性要求“装配装配”起来的分段多项式，起来的分段多项式，具体的说，称具有分划具体的说，称具有分划的分段的分段 次式次式 为为 次样条函数，如果

34、它次样条函数，如果它在每个内节点在每个内节点 上具有直到上具有直到 阶阶连续导数。点连续导数。点 称为样条函数的节称为样条函数的节点。点。特别地，零次样条特别地，零次样条 就是人们熟知就是人们熟知的阶梯函数，一次样条的阶梯函数，一次样条 则为折线函数。则为折线函数。01naxxxb：k kSxk11ixin 1k 1ixin 1Sx 0Sx样条函数插值样条函数插值插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。光滑。这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，低，而在节点上不

35、仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函样条插值函数数，它所对应的曲线称为，它所对应的曲线称为样条曲线样条曲线，其节点称为，其节点称为样样点点，这种插值方法称为，这种插值方法称为样条插值样条插值。样条函数插值（续样条函数插值（续1 1）插值函数。插值函数。样条函数插值（续样条函数插值（续2）f(x)H(x)S(x)注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别插值的根本区别 在于在于S(x)自身光滑，不需要知道自身光滑，不需要知道 f 的导数值的导数值 （除了在（除了在2个端点可能需要）；而个端点可能需要

36、）；而Hermite 插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。1 1、曲线拟合的概念、曲线拟合的概念2 2、曲线拟和的方法、曲线拟和的方法3 3、解矛盾方程组、解矛盾方程组 设已知某个函数关系设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：在某些离散点上的函数值：根据这些已知数据来构造函数根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式的一种简单的近似表达式,以便于计算点以便于计算点 的函数值的函数值 ，或计算函数的一阶、，或计算函数的一阶、二阶导数值。二阶导数值。()f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixx in()yf x()yf x 在前

37、面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的，在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的，准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？本节所介如何通过这些观测数据确定其内在的

38、变化规律呢？本节所介绍的曲线拟合就是解决这一问题的主要方法之一。绍的曲线拟合就是解决这一问题的主要方法之一。如图所示，常常需要从一如图所示，常常需要从一组获得的数据点中，寻找组获得的数据点中，寻找变量与变量之间的变化规变量与变量之间的变化规律用几何方法来解释，律用几何方法来解释，就是用已知平面内的一组就是用已知平面内的一组点，来确定一条曲线，使点，来确定一条曲线，使该曲线能在整体上刻画这该曲线能在整体上刻画这组点的变化趋势而不需通组点的变化趋势而不需通过每个点，我们称这种方过每个点，我们称这种方法为曲线拟合，所求出的法为曲线拟合，所求出的曲线称为拟合曲线。曲线称为拟合曲线。将上述问题抽象为数学

39、问题为：设有一组数据将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据对对 ，求连续变量的一个函，求连续变量的一个函数，它在数，它在 处误差为处误差为 ，使总体误差按某，使总体误差按某种算法达到最小常用的三种准则是种算法达到最小常用的三种准则是:(,)iix y(1,2,)imiS(,)iix y（）使得误差的最大的绝对值为最小，即（）使得误差的最大的绝对值为最小，即（）使误差的绝对值和最小，即（）使误差的绝对值和最小，即（）使误差的平方和为最小，即（）使误差的平方和为最小，即 由于准测（）、（）含有绝对值不便于处理，由于准测（）、（）含有绝对值不便于处理，通常采用准测（），并称基于准则（）来选取通常采

40、用准测（），并称基于准则（）来选取拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。min(max)iSSmin()iiSS2min()iiSS 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟合，具体定义如下：合，具体定义如下：定义定义2.5设有给定的数据设有给定的数据 ，假设其，假设其拟合函数形式为拟合函数形式为 ，求系数求系数 ，使得，使得 取最小值称取最小值称 次多项式次多项式为为 次最小二乘拟合多项式次最小二乘拟合多项式(或或 次最小平

41、方逼近次最小平方逼近多项式多项式)。特别地，当特别地，当 时，称时，称 为线性最小为线性最小二乘拟合。二乘拟合。(,),(1,2,)iix yin01()mmmpxaa xa x(1)mn*01,ma aa2201100(,)()nnmkmimiikiiikaaaypxya x*01()mmmpxaa xa xmmm1m*01()p xaa x 容易看出容易看出 是系数是系数 的的 元二元二次多项式次多项式(二次型二次型)，所以可以用多元函数求极值，所以可以用多元函数求极值的方法求其最小值点和最小值。将的方法求其最小值点和最小值。将 对对 求偏导数得到驻点方程组：求偏导数得到驻点方程组：，即即

42、 01(,)ma aa01,ma aa1m,(0,1,)kakm0,(0,1,)kkma10()0,(0,1,)nmjkijiiijya xxkm问题问题 对于给定的数据点对于给定的数据点(,)1,2,iix y iN，求作一次式，求作一次式yabx，使总误差为最小，即在二元函数式中，使总误差为最小，即在二元函数式中 为最小。为最小。这里这里Q Q是关于未知数是关于未知数a a和和b b的二元函数，这一问题就是要的二元函数，这一问题就是要确定确定a a和和b b取何值时，二元函数取何值时，二元函数21(,)()NiiiQ a byabx的值最小的值最小?由微积分的知识可知，这一问题的求解，可由

43、微积分的知识可知，这一问题的求解，可归结为求二元函数归结为求二元函数(,)Q a b的极值问题，即的极值问题，即a和和b应满足：应满足：例例1已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点，解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点，从图中可以看出，各点从图中可以看出，各点在一条直线附近，故可在一条直线附近，故可取线性函数作为拟合取线性函数作为拟合曲线曲线 1234544.5688.5ixiy 令令 将数据带入公式得，将数据带入公式得，解得解得 。因此而得所求拟合曲线。因此而得所求拟合曲线为为 。101()p xaa x5.1

44、055515311551010aaaa25.1;45.210aaxxp25.145.2)(1例例2 2 有一滑轮组，要举起有一滑轮组，要举起W W公斤的重物需要用公斤的重物需要用F F公斤的力，实验所得的数据如下表。公斤的力，实验所得的数据如下表。求适合上述关系的近似公式。求适合上述关系的近似公式。解解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求 的拟合直线为的拟合直线为 ，yabx则由式则由式(2.28)(2.28)得关于得关于a a和和b b的线性方程组的线性方程

45、组 正如本节开头所指出的最小二乘法并不只限正如本节开头所指出的最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任何具体给出的函数形式。于多项式，也可用于任何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线性最小二乘拟合问题通过特别重要的是有些非线性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为线性最小二乘问题求解。适当的变换可以转化为线性最小二乘问题求解。例例2 2 已知数据表已知数据表ixiy12347111727求一形如求一形如BxyAe解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得lnlnyBxA的经验公式与已知数据拟合的经验公式与已知数据拟合于是对应

46、于上述数据表得到一个以应数据表：于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：12341.952.402.833.3001ln,ln,yp aA aB若记若记则则ixlniy01paa x从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题易知其求解方程组为：易知其求解方程组为：010141010.48,10328.44,aaaa解之得解之得011.50,0.448aa，于是于是ln1.500.448yx，故所求经验公式为故所求经验公式为1.50 0.4480.4484.48xxyee通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为通过上述两例可知，用

47、多项式作曲线拟合的计算步骤可分为如下几步：如下几步：（）根据已给的数据（）根据已给的数据(,),(1,2,)iix yin作草图，由草图估计出多项式的次数作草图，由草图估计出多项式的次数(m m次次)并令并令01()mmp xaa xa x，其中，其中01,ma aa（）求解由最小二乘原理得到的方程组；（）求解由最小二乘原理得到的方程组；（）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则（）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则此多项式即为所求。此多项式即为所求。为待定系数；为待定系数；试求下列矛盾方程组的解：试求下列矛盾方程组的解：很显然，直接求解是不行的，因为满足方程很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的近似解。组的近似解。运用最小二乘法，要求满足方程组的解，运用最小二乘法，要求满足方程组的解，即求使下列值即求使下列值 最小的解最小的解 ，就是方程组的近，就是方程组的近似解：似解：222(15.5)(6.1)(20.9)uxyxyu,x y2(15.5)2(20.9)02(6.1)2(20.9)0uxxyxuyxyy15.266675.86667xy得解：得解：