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第一章 三角函数主要内容 三角函数是体现周期变化最基本的数学模型，也是研究周期变化最主要的工具。在本章学习中，首先拓展角的范围，建立角的新的度量单位弧度，借助单位圆推广初中三角函数的概念，然后讨论三角函数的性质，给出分析函数y=Asin(x+)变化的思想方法，讨论A，的几何意义和物理意义，并学习运用三角函数解决一些简单的实际问题。1 周期变化情景导入情景导入如如图图是是水水车车的的示示意意图图.水水车车上上点点P到到水水面面的的距距离离为为y，假假设设水水车车匀匀速速，则则每每经经过过时时间间t，点点P又又回回到到原原来来的的位位置置，那那么么y每每经经过过时时间间t就就会会取取相相同同的的值值，因因此此，y随随时时间间t的变化是周期变化的变化是周期变化.周期变化现象若某一变化按照相同间隔重复出现按照相同间隔重复出现，那么这种变化就称为周期变化，这个相同的间隔就是周期周期要判断一种现象是否为周期变化，关键是看这种变化是否按照相同间隔重复出现，若重复出现则为周期变化，否则不是周期变化.四季交替昼夜循环潮涨潮落【试一试】下列现象不是周期现象的是()A.春去春又回B.钟表的分针每小时转一圈C.天干地支表示年、月、日的时间顺序D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数解析:由周期现象的概念易知,A,B,C都是周期现象,某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象,故选D.答案:D例1 如果今天是星期三，那么：（1）7天后的那一天是星期几？7天前的那一天是星期几？（2）100天后的那一天是星期几？右边18s思考思考1：观察下列两个函数的图像，回答以下问题：观察下列两个函数的图像，回答以下问题：（1）从图像上看两个函数有什么共同点？）从图像上看两个函数有什么共同点？（2）你能从数学角度得到什么性质？）你能从数学角度得到什么性质？-1注：注：x表示不超过表示不超过x 的最大整数，如的最大整数，如1.2=1,-1.4=-2.（1）从图像上看两个函数有什么共同点？）从图像上看两个函数有什么共同点？显然，对任意一个实数显然，对任意一个实数x，每增加，每增加2，其函数值保持，其函数值保持不变不变.这种变化是重复进行的，函数这种变化是重复进行的，函数f(x)=(-1)x的变的变化是周期性的化是周期性的.对任意一个实数对任意一个实数x，每增加，每增加1，其函数值保持不，其函数值保持不变变.这种变化是重复进行的，函数这种变化是重复进行的，函数g(x)=x-x变化变化也是一种周期变化也是一种周期变化.这个函数是物理中很有用的这个函数是物理中很有用的锯齿波函数锯齿波函数.周期函数一般地，对于函数yf(x)，xD，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xD，都有xTD且满足f(xT)f(x)，那么函数yf(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期说明：（1）定义中x的任意性；（2）函数的周期不止一个，若T为函数f(x)的周期，则kT(kZ,k0)也为函数f(x)的周期.若在周期函数f(x)的周期中存在一个最小的正数，那么这个正数叫做函数f(x)的最小正周期.（3）函数f(x)=C（CR）也为周期函数，所有非零实数均为它的周期，这类函数没有最小正周期.一般地，对于函数yf(x)，xD，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xD，都有xTD且满足f(xT)f(x)，那么函数yf(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期例2：观察下列三个周期函数的图像，其周期分别为_、_、_ _.例3yx练习1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2 018)=.解析因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.又当x0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2 018)=0,f(1)=f(3)=f(5)=f(2 017)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+f(2 018)=1 009.答案1 009作业作业1.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(4)的值为()A.-1B.1C.-2 D.22.课本 第4页A组第3题角的概念的推广角的概念的推广1.1.在初中是如何定义角的？在初中是如何定义角的？由一个端点引出的两条射线组成的几何图形叫做角，记作由一个端点引出的两条射线组成的几何图形叫做角，记作AOBAOB或或.顶点顶点边边边边OAB2 2.此定义下角的大小范围呢？此定义下角的大小范围呢？0 0360360思考思考:生活中的角都可以用生活中的角都可以用0 00 0 3603600 0 来度量吗？来度量吗？角也可以看作角也可以看作平面内一条射线平面内一条射线OAOA绕着端点从一个位置旋转绕着端点从一个位置旋转到另一个位置到另一个位置OBOB所成的图形。所成的图形。锐角锐角直角直角钝角钝角平角平角跳水跳水“转体三周转体三周”拧螺丝拧螺丝“程菲跳程菲跳”：直体：直体前空翻转体一周半前空翻转体一周半正角：按正角：按逆时针逆时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角1、任意角负角：按负角：按顺时针顺时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角零角：零角：射线射线OA没有旋转没有旋转,终止位置终止位置OB与起始位置与起始位置OA重合重合 角的角的旋转方向旋转方向确定角的正负号，确定角的正负号，旋转量旋转量的大小确定角的大小的大小确定角的大小思考下面角度应该如何表示：思考下面角度应该如何表示：（1 1）你的手表慢了）你的手表慢了5 5分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？（2）假如你的手表快了）假如你的手表快了1.5小时，想将它校准，分针应该旋转多小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？少度？（3）已知）已知AOB=60，将射线，将射线OBOB绕绕OO点顺时针旋转点顺时针旋转30到到OCOC，则，则AOC=AOC=？如果是逆时针呢？如果是逆时针呢？-3005400300 900 xyo始边终边 终边终边终边1)置角的顶点于原点终边落在第几象限就是第几象限角第几象限角2)始边重合于X轴的非负半轴2、象限角终边落在坐标轴上就是轴线角轴线角练习练习：1 1、第一象限的角是否都是锐角？小于、第一象限的角是否都是锐角？小于9090的角都是锐角吗的角都是锐角吗？答：答：第一象限的角并不都是锐角。第一象限的角并不都是锐角。小于小于9090的角并不都是锐的角并不都是锐角，它也有可能是零角等。角，它也有可能是零角等。2 2、第二象限的角一定比第一象限的角更大吗？、第二象限的角一定比第一象限的角更大吗？答：答：不一定，如不一定，如120120是第二象限角，是第二象限角，370370是第一象限角，是第一象限角，但是但是370370更大。象限角只是表示角的终边位置，并不能代更大。象限角只是表示角的终边位置，并不能代表角的大小。表角的大小。活动：在同一坐标下中画出下列各角并观察图像，这些角有何特点活动：在同一坐标下中画出下列各角并观察图像，这些角有何特点？xy o3003900-33003900=300+36003300=3003600=300+1x3600=300+（1）x3600 300=300+0 x3600与300终边相同的角的一般形式为300 k 360，kZ写成集合形式就是S=|=300+k 360 ,k Z 一般地，所有与终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=|=+k 360 ,k Z3、终边相同的角即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和。注意：（1）“kZ”不能少；（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；（3）“k 360”与“”之间是“”，“k 360”可以理解为“k 360(-)”；（4）终边相同的角的表达形式不唯一。如=3 300+k 360与=3300+k 360都表示终边与30终边相同的角。例例1 1、判断下列各角是第几象限角：、判断下列各角是第几象限角：（1）-120 （2）660 （3）-950 08解解（1 1）-120=-360+240 所以与所以与-120-120角与角与240240 角终边相同，而角终边相同，而 240240是第三象限角，所以是第三象限角，所以-120-120 是第三象限角是第三象限角.（2 2）660=360+300第三象限角第三象限角（3 3）-95008=-3360+12952第二象限角第二象限角例例2.写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来：(1)60；(2)21；(3)36314.解：解：(1)S=|=k360+60 ，kZ,S中在中在360720间的角是间的角是 1360+60=280；0360+60=60；1360+60=420(2)S=|=k36021，kZ)S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21；136021=339；236021=699(3)|=k360+314，kZ S中在中在360720间的角是间的角是 1360+314=35646；0360+314=314；1360+314=36314 如何求与已知角如何求与已知角终边终边相同的最小正角相同的最小正角（即（即0360）？）？例3写出终边落在y轴上的角的集合。解：解：终边落在轴终边落在轴正正半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S1=|=900+k3600,kZ =|=900+2k1800,kZ终边落在轴终边落在轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S2=|=2700+k3600,kZ=|=900+1800+2k1800,kZ=|=900+（2k+1）1800，kZS=S1S2所以终边落在所以终边落在轴轴上的角的集合为上的角的集合为=|=900+k1800，kZ所有偶数所有偶数所有奇数所有奇数所有整数所有整数XYO900+k36002700+k3600 思考：终边落在思考：终边落在x轴上的角的集合呢？轴上的角的集合呢？|=k1800，kZ思考：已知角思考：已知角为锐角，那么角为锐角，那么角 的终边与角的终边与角+180，-180，180-终边的几何关系分别是什么？如果角终边的几何关系分别是什么？如果角是是任意角呢？任意角呢？课堂小结：课堂小结：1.1.任意角任意角 正角：射线按逆时针方向旋转正角：射线按逆时针方向旋转形成形成的角的角负角：射线按顺时针方向旋转形成负角：射线按顺时针方向旋转形成的角的角零角：射线不作旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角1)1)置角的顶点于原点置角的顶点于原点2)2)始边重合于始边重合于X X轴的非负半轴轴的非负半轴2.2.象限角象限角终边落在第几象限就是第几象限角终边落在第几象限就是第几象限角4 4.判断一个角是第几象限角，判断一个角是第几象限角，方法是：方法是：所给角改所给角改写成写成 0 0+k 360+k 3600 0 (k kZ,0Z,00 00 03603600 0)的形式，的形式，0 0在第几象限在第几象限 就是第几象限角就是第几象限角3.3.终边与角终边与角 相同的角相同的角 k3600，kZ作业布置：作业布置：1 1、课本第、课本第8 8页页 习题习题1-2 1-2 (不抄题不抄题)2 2、直线、直线l l如图所示，写出终边在直线如图所示，写出终边在直线l l上的角的集合上的角的集合.xyO2 20 00 0l弧度制1、在初中是如何来度量角的大小？在初中是如何来度量角的大小？角度制中，角度制中，160，160，用圆周的用圆周的 作为一个单位，称为作为一个单位，称为1度的角，用它去度的角，用它去度量其他角的大小。度量其他角的大小。这种用这种用 来度量角的大小的制度叫做来度量角的大小的制度叫做角度制角度制.2 2、已知圆心角度数、已知圆心角度数n和半径和半径r，如何求弧长？，如何求弧长？在数学和其他许多科学研究中还要经常用在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度到一种度量角的制度弧度制。弧度制。在测量长度时，我们可以选用米、分米、厘在测量长度时，我们可以选用米、分米、厘米等为单位，也可以选用丈、尺、寸为单位。这米等为单位，也可以选用丈、尺、寸为单位。这并不影响对同一长度的度量，并不影响对同一长度的度量，因为对于同一长度，因为对于同一长度，不管是以米还是以丈进行度量，得到的值都是唯不管是以米还是以丈进行度量，得到的值都是唯一的，而且米和丈可以相互转化。一的，而且米和丈可以相互转化。在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应长一一对应.当半径不同时，同样大的圆心角所对当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等的弧长不相等.探讨探讨半径半径rr1=1r2=2r3=3r4=4弧长弧长l弧长与半径的弧长与半径的比值比值当当n=300时时当当n=600时呢？时呢？结论：圆心角不变，则弧长与半径比值不变。结论：圆心角不变，则弧长与半径比值不变。称这个常数为该角的弧度数称这个常数为该角的弧度数.新 课 讲 解 弧度定义弧度定义 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度的角其单位为其单位为rad，读作弧度。，读作弧度。特别的，在单位圆中，长度为特别的，在单位圆中，长度为1 1的弧所对的的弧所对的圆心角叫做圆心角叫做1弧度的角弧度的角1弧度弧度=1rad=1 360=2 rad 180=rad 若若弧弧是是一一个个半半圆圆，则则其其圆圆心心角角的的弧弧度度数数是多少？若弧是一个整圆呢？是多少？若弧是一个整圆呢？1=0.01745 rad1 rad=5718角度与弧度的换算角度与弧度的换算 例例1 1、把下列角度化成弧度、把下列角度化成弧度-315 600把下列弧度化成角度把下列弧度化成角度例例2 2、角度制与弧度制互化时要抓住角度制与弧度制互化时要抓住 180=rad 这个关键。这个关键。角度弧度填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表弧度制弧度制 一般地，正角一般地，正角正数；负角正数；负角负数；零角负数；零角0.0.这种以弧度为单位来度量角的单位制，叫作这种以弧度为单位来度量角的单位制，叫作弧度制弧度制.在弧度制下，在弧度制下，角的集合与实数集建立起一一对角的集合与实数集建立起一一对应的关系应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数都有唯一的一个角与它对应反过来，每一个实数都有唯一的一个角与它对应.终边落在第一项象限内的角的集合终边落在第一项象限内的角的集合:S=|k36090+k360，kZ终边落在第四项象限内的角的集合终边落在第四项象限内的角的集合:S=|270+k360360+k360，kZ终边落在终边落在轴轴上的角的集合为上的角的集合为|=900+k1800，kZ例3 将下列角度制表示的集合改写为弧度制表示？终边落在终边落在x轴轴上的角的集合为上的角的集合为|=k1800，kZ终边落在终边落在x轴上的角为轴上的角为|=k,kZ);练习 如图所示,用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合、终边落在阴影部分内的角的集合.弧度制下弧度制下扇形的弧长及面积公式扇形的弧长及面积公式 角度制下弧长公式：角度制下弧长公式：角度制下面积公式：角度制下面积公式：弧度制弧度制下弧长公式：下弧长公式：弧度制弧度制下面积公式：下面积公式：例4(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.练习练习1.1.扇形花坛扇形花坛AOBAOB中，弧中，弧ABAB所对的圆心角是所对的圆心角是6060，半径，半径是是5050米，求弧米，求弧AB AB 的长的长l l。练习练习2.在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240 的中心角所对的弧长为的中心角所对的弧长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的中心角等于的扇形的中心角等于 弧度。弧度。练习3 已知扇形的周长是30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解设扇形的圆心角为(02),半径为r cm,面积为S cm2,弧长为l cm,则l+2r=30,故l=30-2r,任意角的正弦函数、余弦函数的定义锐角的正弦函数和余弦函数 在初中我们是如何求锐角的正弦值和余弦值？在初中我们是如何求锐角的正弦值和余弦值？OMP 下面我们在直角坐标系中，利用下面我们在直角坐标系中，利用单位圆单位圆来进一步研究锐角来进一步研究锐角的的正弦函数、余弦函数正弦函数、余弦函数.任意角的正弦函数和余弦函数 给定任意角,作单位圆,角的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v叫作角的正弦值,记作v=sin;把点P的横坐标u叫作角的余弦值,记作u=cos.在弧度意义下，对于 ，称v=sin 为任意角的正弦函数，u=cos 为任意角的余弦函数.正弦函数 ；余弦函数 .思考:已知函数 ，的值可求吗？答案B 各特殊角的正弦函数值、余弦函数值各特殊角的正弦函数值、余弦函数值 观察表格中数据观察表格中数据,你能发现函数你能发现函数 和和 的变化有什么特点吗？的变化有什么特点吗？试一试 若角的终边经过点P(5,-12),则sin=,cos=.练习2 已知角的终边过点P(-3m,m)(m0),求sin.练习3 已知角的终边与直线y=2x重合，试求sin.诱导公式与对称xoy1P(u,v)M复习回顾1、特殊角三角函数值：、特殊角三角函数值：新知探索思考思考1 1：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角,的终边与的终边与的终边有什么关的终边有什么关系？系？xyoP(u,v)P(u,-v)角角,的终边的终边关于关于x轴对称轴对称正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数新知探索思考思考2 2：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，角，角的终边与角的终边与角的终边有的终边有什么关系？什么关系？xyoP(u,v)P(-u,-v)关于原点对称关于原点对称新知探索思考思考3 3：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的终边有什的终边有什么关系？么关系？xyoP(u,v)P(-u,v)关于关于y y轴对称轴对称能用前两组公式直接能用前两组公式直接推出我吗？试试看推出我吗？试试看公式小结公式（公式（1）公式（公式（2）公式（公式（4）公式（公式（5）诱导公式诱导公式 函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限公式（公式（3）应用举例例1 求下列各角的三角函数值：（1）（2）（3）把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下面的一般可按下面的步骤进行：步骤进行：任意负角的三角函数任意负角的三角函数任意正角的三角函数任意正角的三角函数0到到2的角的三角数的角的三角数0到到/2的角的三角函数的角的三角函数用公式用公式一或二一或二用公式一用公式一 用公式用公式三或四或五三或四或五负化正，大化小，化成锐角负化正，大化小，化成锐角练习练习1.求下列三角函数的值求下列三角函数的值:温馨提示：负化正，大化小，化成锐角练习练习2.化简化简:解：原式解：原式=1答案:-sin 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述求解忽略了讨论n的奇偶性而致误.由于n是整数,可能为奇数也可能为偶数,因此需要对n的奇偶性进行讨论.正解:当n=2k(kZ)时,当n=2k+1(kZ)时,故化简所得的结果为(-1)n+1sin.答案:(-1)n+1sin 诱导公式与旋转诱导公式与旋转第二课时公式（1）01公式（2）02公式（3）03公式（4）04公式（5）05目录新知探索新知探索由平面几何知识可知,思考思考答案答案以代换公式中的得到对任意角对任意角，有下列关系式成立：，有下列关系式成立：梳理梳理公式（公式（1 1）公式（公式（2 2）公式（公式（4 4）公式（公式（5 5）公式（公式（3 3）公式（公式（6 6）公式（公式（7 7）奇变偶不变奇变偶不变符号看象限符号看象限把把视为锐角时视为锐角时原函数值的符号原函数值的符号例例1 1 化简：化简：练习练习1 1：练习练习2 2：例2 求下列各式的值:(2)求sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)的值.分析:用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)原式=-sin(3360+120)cos(3360+210)-cos(2360+300)sin(2360+330)=-sin(180-60)cos(180+30)-cos(360-60)sin(360-30)=sin 60cos 30+cos 60sin 30分析:分析已知角与未知角的关系,选用合适的诱导公式求值.解:当n=2k(kZ)时,当n=2k+1(kZ)时,故化简所得的结果为(-1)n+1sin.答案:(-1)n+1sin 正 弦 函 数 的 性 质知识回顾1、利用单位圆研究正弦函数，得出了正弦函数的性质：定义域定义域奇偶性奇偶性周期性周期性单调性单调性值域与最值值域与最值R-1,1sin(x)=sinx 奇函数奇函数2xoy1P(cosx,sinx)M知识回顾问题2、如何画出正弦函数图像？五点作图法：五点作图法：新知探索1、定义域：R2、值域：1，13、周期：24、单调性 y=sinx 增区间为增区间为 ，其值从其值从-1增至增至1 x sinx 0 -1 0 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-15、奇偶性由诱导公式,对任实数x,都有sin(x)=sinx，正弦函数是奇函数.y=sinxyxo-1234-2-316、对称性正弦函数的性质：定义域定义域奇偶性奇偶性周期性周期性单调性单调性值域与最值值域与最值R-1,1sin(x)=sinx 奇函数奇函数2对称性对称性典例例1 利用五点法画出函数y=sinx1的简图，并根据图像讨论它的性质.xy=sinxy=sinx10 1 0 1 01 01 1 0 1 1 2 2 1 1函数函数y=sinx1定义域值域最值奇偶性周期性单调性对称性R2,0既不是奇函数也不是偶函数2练习练习4 求函数y=3-2sin x的最大值和最小值,并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合.(2)求函数y=-2sin2x+5sin x-2的值域.例4比较下列各组数的大小:第三课时函数y=Asin(x+)的图像与性质简谐运动y=Asin(x+)A周期周期频率频率x+y=Asin(x+)的性质第二课时函数y=Asin(x+)的图像与性质知识回顾 1.y=sinx y=Asinx 横坐标不变，纵坐标伸长或缩短到原来的横坐标不变，纵坐标伸长或缩短到原来的A倍倍 2.y=sin x y=sin（x+）向左或向右平移向左或向右平移 个单位个单位 3.y=sinx y=sin x纵坐标不变，横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变，横坐标伸长或缩短到原来的 倍倍(1).(1).列表列表(2).(2).描点描点(3).(3).连线连线(1).(1).列表列表 一个周期上的函数的图象一个周期上的函数的图象定义域上的函数的图象定义域上的函数的图象新知描点、连线描点、连线(-/6,0)(-/6,0)(/12,3)(/12,3)(/3,0)(/3,0)(7/12,-(7/12,-3)3)(5/6,0)(5/6,0)O O先平移后伸缩先伸缩后平移图像变换法1-2-2oxy3-32 y=sin(2x+)y=3sin(2x+)先平移后伸缩先平移后伸缩y=sin(x+)y=sinx先伸缩后平移先伸缩后平移1-2-2oxy3-32 y=sin(2x+)y=sinxy=sin2xy=3sin(2x+)练习练习先平移后伸缩先伸缩后平移向上平移向上平移1 1个单位个单位向上平移向上平移1 1个单位个单位 bA+bbA+bbyAsin(x)+b20 xx函数y=Asin(x+)+b一个周期内的图像画法最后再向上（或向下）平移|b|个单位1.把正弦曲线向左平移 个单位长度，然后把每个点的横坐标扩大到原来倍（纵坐标不变），然后再把每个点的纵坐标扩大到原来的4倍（横坐标不变），所得到的图像的函数是：_.2.把正弦曲线上每个点的横坐标缩短到原来1/倍（纵坐标不变），然后向右平移 个单位长度，最后再把每个点的纵坐标缩短到原来的1/5倍（横坐标不变），所得到的图像的函数是：_.正切函数的图像与性质知识回顾问题1 正切函数 的定义域是什么？问题2 正切函数 的奇偶性如何？问题3 正切函数 的周期性如何？正切函数的图像如何作出函数 的图像？列表xy=tanx描点连线三点两线法作图 定义域定义域：值域值域：周期性：周期性：奇偶性：奇偶性：在每一个开区间在每一个开区间 内都是增函数。内都是增函数。奇函数奇函数R 单调性：单调性：(6)渐近线方程：渐近线方程：(6)(6)对称中心对称中心正切函数性质例1练习2求下列函数的定义域和值域:答案B 三角函数的三角函数的简单应用用解:列表如下:描点、连线,图象如图所示.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.(3)因为函数s的周期是,所以小球往复振动一次所用的时间是 s.例2摩天轮上一个座舱A到地面的距离为y(单位：m)，试求y与旋转时间x(单位：min)的关系式.例3如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟逆时针转动5圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数;(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?练习2 如图所示,某海湾相对于平均海平面的水面高度h(单位:米)在某天24时内的变化情况,则水面高度h关于从夜间零时开始的时间t的函数关系式为 .练习3 如图,大风车叶轮的最高顶点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,风叶轮以每分旋转2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经15 s后到达最高点.假设叶轮顶点离地面高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin(t-b)+c来表示,试求出其中四个参数a,b,c,的值,并写出函数解析式.向 量 的 概 念 与 表 示问题1老鼠由A向东北逃窜，猫在B处向东追去。猫能否追到老鼠？唉唉,哪儿去了哪儿去了?嘻嘻嘻嘻!大笨大笨猫猫!AB猫的速度再快也没用，因为方向错了。问题2美国美国“小鹰小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过米左右，射程超过2000公里），公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？1200km1200km1200km1200km没没有有明明确确目目标标方方向向，只只有有距距离离不不能能确确定定目目标标目目标标位位置置，所以不能击中所以不能击中问题3你知道哪些量只有大小没有方向？你知道哪些量只有大小没有方向？哪些量哪些量既有大小又有方向？既有大小又有方向？标量：距离、身高、质量、时间、路程、密度等；标量：距离、身高、质量、时间、路程、密度等；矢量：位移、力、速度、等。矢量：位移、力、速度、等。物理中的标量和矢量在数学中分别叫做物理中的标量和矢量在数学中分别叫做数量数量和和向量向量.向量的概念数量数量只有大小，是一个代数量，只有大小，是一个代数量，可以比较大小；可以比较大小；向量向量有方向，大小两个要素，有方向，大小两个要素，不能比较大小不能比较大小。向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量向量的表示1.1.有向线段有向线段 一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫作有向线段.记作 线段AB的长度叫作有向线段 的长度，记作A(起点起点)B(终点终点)2.向量的表示 向量可以用有向线段来表示，如图所示，向量 .有向线段的长度表示向量的大小，即向量的长度（也称模），箭头所指方向表示向量的方向.两个基本向量两个基本向量这两个量仅从大小上刻画了向量这两个量仅从大小上刻画了向量零向量：长度为零向量：长度为零向量：长度为零向量：长度为 0 0 0 0 的向量，记作的向量，记作的向量，记作的向量，记作 .零向量方向任意.单位向量：长度等于单位向量：长度等于单位向量：长度等于单位向量：长度等于 1 1 1 1 个单位长度的向量，叫做个单位长度的向量，叫做个单位长度的向量，叫做个单位长度的向量，叫做单位向量单位向量单位向量单位向量 .思考思考:单位向量唯一吗单位向量唯一吗?平面直角坐标系内平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向所有起点在原点的单位向量量,它们终点的轨迹是什么图形它们终点的轨迹是什么图形?1.相等向量长度相等 且方向相同 的向量叫做相等向量。起点不同，长度、方向相同的有向线段，表示的向量都是同一向量，或者说向量可以在平面内自由平移，这与物理中的矢量是不同的.向量的关系向量的关系2.平行或共线如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线.规定规定:零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行.向 量 的 减 法知识回顾A AC CB Bab.A AB BD DC C1 1、向量的加法运算、向量的加法运算2 2、加法运算律、加法运算律首尾相连，起点指向终点首尾相连，起点指向终点共起点，对角为和共起点，对角为和相反向量结论：结论：（1）（2）零向量的相反向量仍是零向量）零向量的相反向量仍是零向量,（4）如果是）如果是a,b互为相反的向量，那么互为相反的向量，那么向量的减法定义：定义：即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。向量减法的作图OABD DE EF FC C.OAB将两向量平移将两向量平移,使它使它们有相同的起点们有相同的起点.连接两向量的终点连接两向量的终点.箭头的方向是指向箭头的方向是指向“被减数被减数”的终点的终点.“共起点，连终点，指向被减向量共起点，连终点，指向被减向量”思思考考?？(1)如图，如果从如图，如果从a的终点到的终点到b的终点作向量，那么的终点作向量，那么所得向量是什么？所得向量是什么？（1）（2）OABABO(2)同向同向反向反向【做一做【做一做3】如图,在ABC中,D为BC的中点,则下列结论中错误的是()练习练习2 已知向量m与n不共线,且|m|=1,|n|=4,则|m+n|的取值范围是.答案:(3,5)练习练习3若向量a,b满足|a|=2,|b|=5,则|a-b|的最大值为.答案:7课堂练习答案:A答案:A 答案:B 4.在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?从速度的倍数到数乘向量实例分析 一重物由高空自由落下，由自由落体的速度公式v=gt可知，它在1s末和2s末的速度，大小分别为v1=9.8m/s和v2=19.6m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.在实际中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间存在倍数关系.因此，有必要定义实数与向量积的运算.思考aaaABCOa已知非零向量a，作a+a+a和(-(-a)+(-)+(-a)+(-)+(-a)-a-a-aPQMN一、向量的数乘运算的定义：一、向量的数乘运算的定义：1从两个角度看数乘向量从两个角度看数乘向量(1)代数角度代数角度是实数，是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，是向量，它们的积仍是向量；另外，a0的条的条件是件是0或或a0.(2)几何角度几何角度对于向量的长度而言，对于向量的长度而言，当当|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向线的有向线段在原方向段在原方向(0)或反方向或反方向(0)上伸长到上伸长到|a|的的|倍；倍；当当0|1时，有时，有|a|a|，这意味着表示向量，这意味着表示向量a的有向的有向线段在原方向线段在原方向(01)或反方向或反方向(10)上缩短到上缩短到|a|的的|倍倍【做一做1】课本 89页 练习 1 例1 已知A、B、C三点共线，且C是线段AB靠近点A的一个三等分点，则下列不正确的是（）变式：已知A、B、C三点共线，且C是线段AB的一个三等分点，用向量数乘的的运算满足如下运算律：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：练习1 已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=,b=.练习2 设x是未知向量是未知向量，3(a+2b)-4(b-x)=0,则则x=.思考这样的这样的是唯一的吗？是唯一的吗？向量b是一个非零向量是一个非零向量(即b0),若存在一个实数，使a=b,那么a与非零向量b共线.若向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数，使a=b.向量共线的判定定理:向量共线的性质定理：思考思考:1):1):1):1)为什么要是非零向量为什么要是非零向量?2)2)2)2)可以是零向量吗可以是零向量吗?【做一做2】课本 92页 练习 1ABCDE定理的应用定理的应用:1.1.证明证明 向量共线向量共线 2.2.证明证明 三点共线三点共线:AB=:AB=BC BC 且有公共点且有公共点 3.3.证明证明 两直线平行两直线平行:AB=AB=CDCD AB AB与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上直线直线ABAB直线直线CDCDA,B,CA,B,C三点共线三点共线ABABCDCD练习(1)设a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-2a)共线,则=()A.0 B.-0.5 C.-2 D.0.5例例4 课本课本 84页页 例例3平面向量基本定理平面向量基本定理复习：共线向量相关定理复习：共线向量相关定理 其本质是指，平行于同一直线的所有向量可以由其本质是指，平行于同一直线的所有向量可以由其中一个非零向量的倍数表示。其中一个非零向量的倍数表示。v1 如图所示，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可以分解为使物体下滑的力F1，和使物体垂直于斜面并压紧斜面的力F2G 由力的分解得到启发，能够通过作平行四边形，将一个向量a分解成两个向量，使得a是这两个向量的和.OCAMN平面任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线向量线性表示平面任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线向量线性表示.依据是数乘向量和平行四边形法则平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数1,2,使a=1e1+2e2.我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基基,记为e1,e2.一维直线一维直线二维平面二维平面思考1 一个平面的基底是不是只有一组？零向量可不可以作为基底向量？只要是不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以基底有无数组。零向量和任意向量共线，所以零向量不能为基底。思考2 若基底选取不同，则表示同一向量的实数 、是否相同？O OC CF FM MN NaE EE EA AB BN N可能相同，可能不同。思考3 若向量a,b不共线,则实数,取何值时，a+b=0？思考4:若存在1,2R,1,2R,且a=1e1+2e2,a=1e1+2e2,e1与e2不共线,则1,1,2,2有何关系?1=1,2=2.对平面向量基本定理的理解对平面向量基本定理的理解例1给出下列命题:若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=1e1+2e2(1,2R);若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=1e1+2e2(1,2R)的形式.其中不正确命题的序号是.答案反思感悟平面向量基本定理是指