河北省2018届高三数学下学期开学试题[理科]（有答案，word版）.doc

1、 1 河北省 2018 届高三数学下学期开学试题（理） 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设 集合 1|02xAx x?， ? ?1,0,1,2B? ，则 AB? ( ） A ? ?1,0,1? B ? ?0,1,2 C ? ?1,0,1,2? D ? ?1,2 2.设常数 aR? ，集合 ? ?| ( 1)( 2 ) 0A x x x? ? ? ?， ? ?|B x x a?，若 A B R? ，则 a 的取值范围为（ ） A ( ,1)? B ( ,1? C (2, )

2、? D 2, )? 3.我国古代数学算经史书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ） A 104 人 B 108 人 C 112 人 D 120 人 4.在 ABC? 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 cos cosa A b B? ，则 ABC?为（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 5.若 2 co s 2 3 sin 2co s( )4? ? ?，则 sin2? （ ） A 13 B 23? C 23 D 13? 6.已知函数

3、 2 2( ) log | |f x x x? ，则不等式 ( 1) (1) 0f x f? ? ?的解集为（ ） A (0,2) B ( 1,2)? C (0,1) (1,2) D ( 1,1) (1,3)? 7.设向量 a ， b 满足 | | 2a? ， | | 1b? ，且 ()b a b?，则向量 b 在向量 2ab? 方向上的投影为（ ） A 1 B 1? C 12? D 12 8.四面体 ABCD 的各条棱长都相等， E 为棱 AD 的中点，过点 A 作平面 BCE 平行 的平面，2 该平面与平面 ABC 、平面 ACD 的交线分别为 1l 、 2l ，则 1l ， 2l 所成角

4、的余弦值为（ ） A 63 B 33 C 13 D 22 9.已知函数 2( ) 3xf x e x? ? ?与 ( ) lng x ax x?，设 ? ?| ( ) 0x R f x? ? ? ?，? ?| ( ) 0x R g x? ? ? ?，若存在 ? ， ? ，使得 | | 1?，则实数 a 的取值范围为（ ） A ln3 1,3 e?B ln30,3?C 10,e?D 11,e?10.已知抛物线 C ： 2 8yx? 上一点 P ，直线 1l ： 2x? ， 2l ： 3 5 30 0xy?，则 P 到这两条直线的距离之和的最小值为（ ） A 2 B 234 C 163415 D

5、183417 11.过双曲线 2219 16xy?的右支上一点 P ，分别向圆 1C ： 22( 5) 4xy? ? ?和圆 2C ：2 2 2( 5)x y r? ? ?（ 0r? ）作切线，切点分别为 M ， N ，若 22| | | |PM PN? 的最小值为58，则 r? （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 12.已知函数 322 3 1, 0 ,()1, 0axx x xfxex? ? ? ? ?在 ? ?2,2? 上的最大值为 5，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2ln2, )? ? B ? ?0,ln2 C ( ,0? D ln2, )? ? 第 卷（共 90 分） 二、

6、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知 231()2m? ， 4xn? ，则 4log m? ；满足 log 1nm? 的实数 x 的取值范围是 14.三棱锥 A BCD? 中，底面 BCD? 是边长为 3 的等边三角形，侧面 ACD? 为等腰三角形，且腰长为 13 ，若 2AB? ，则三棱锥 A BCD? 外接球表面积是 3 15.已知双曲线 C ： 221xyab?的右焦点为 F ，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条 渐近线于 N ，若 73FM FN? ，则双曲线的渐近线方程为 16.已知函数 2( ) lnf x a x bx?

7、， a ， bR? ，若不等式 ()f x x? 对所有的 ( ,0b? ，2( , x ee? 都成立，则 a 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知函数 22( ) 2 s in 2 s in ( )6f x x x ? ? ?， xR? （ 1）求函数 ()y f x? 的对称中心； （ 2）已知在 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 ()2 6 2B b cf a? ? ，ABC? 的外接圆半径为 3 ，求 ABC? 周长的最大值 18.设 ? ?2| 4 0

8、,A x x x x R? ? ? ?， ? ?22| 2 ( 1 ) 1 0 ,B x x a x a x R? ? ? ? ? ? ?，若A B B? ，求 a 的取值范围 19.如图四棱锥 P ABCD? 中， PD? 平面 ABCD ，底面 ABCD 是梯形， /AB CD ，BC CD? ， 4AB PD?， 2CD? ， 22AD? ， M 为 CD 的中点， N 为 PB 上一点，且 PN PB? （ 01?） （ 1）若 14? 时，求证： /MN 平面 PAD ； 4 （ 2）若直线 AN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 255 ，求异面直线 AD 与直线 CN 所成角的余

9、弦值 20.如图，已知椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?，其左右焦点为 1( 1,0)F? 、 2(1,0)F ，过点1F 的直线交椭圆 C 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 G ， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D 、 E 两点，且 1|AF 、 12|FF 、 2|AF 构成等差数列 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）记 1GFD? 的面积为 1S ， OED? （ O 为原点）的面积为 2S ，试问：是否存在直线 AB ，使得 1212SS? ？说明理由 21.已知函数 21( ) ln 2f x x x x? （ 1）若函数 ()f

10、x m? 在 (0,2) 上恒成立，求实数 m 的取值范围； （ 2）设函数 () xg x aa?（ 0a? 且 1a? ），若函数 ? ?( ) ( ) ( ) 1F x g x f x x? ? ?的图象与 x轴交于点 1( ,0)Ax ， 2( ,0)Bx 两点，且 0x 是函数 ()y Fx? 的极值点，试比较 12xx ， 0x ，122xx? 的大小 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 2cos ,3 2sinxy ? ?（ ? 为参数，2

11、? ? ? ），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方5 程为 2sin ( )42t? （ 1）求曲线 1C 与 2C 的直角坐标方程； （ 2）当 1C 与 2C 有两个公共点时，求实数 t 的取值范围 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) | 2 2 | | 2 |f x x x? ? ? ? （ 1）求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （ 2）若 xR? ， 2 7() 2f x t t? 恒成立，求实数 t 的取值范围 河北武邑中学 2017-2018 学年 下学期开学考试数学（ 理科 ） 试卷答案 一、选择题 1-5:ABBDB

12、6-10:CDBCD 11、 12： BD 二、填空题 13. 13? ； 1( ,0)3? 14.16? 15. 102yx? 16. 2 , )2e ? 三、解答题 17.解：由( ) 1 c o s 2 1 c o s 2 ( ) c o s ( 2 ) c o s 263f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?13c o s 2 s in 2 c o s 222x x x? ? ? 31sin 2 cos 222xx?sin(2 )6x ? （ 1）令 2 6xk? ? （ kZ? ），则 2 12kx ?（ kZ? ）， 所以函数 ()y f x? 的对称中心为 ( ,0

13、)2 12k? （ kZ? ） 6 （ 2）由 ()2 6 2B b cf a? ? ，得 sin( )62bcB a? ?，整理得 31sin c o s2 2 2bcBB a?，即 3 sin c o sa B a B b c? ? ?， 由正弦定理得： 3 s i n s i n s i n c o s s i n s i nA B A B B C? ? ?，整理得3 s in s in s in c o s s inA B B A B?， 又因为 sin 0B? ，所以 3 sin cos 1AA?，整理得 1sin( )62A ?， 由 0 A ?，得 56 6 6A? ? ? ?

14、? ? ，所以 66A ?，即 3A ? ， 又 ABC? 的外接圆的半径为 3 ，所以 2 3 sin 3aA?， 由余弦定理得：2 2 2 2 22 c o sa b c b c A b c b c? ? ? ? ? ?2( ) 3b c bc? ? ? 2223 ( )( ) ( )44bcb c b c ? ? ? ? ?，即 6bc? ，当且仅当 bc? 时取等号， 所以周长的最大值为 9 18.解： ? ?4,0A? ， 由 A B B? ，得 BA? ， 当 ? ?2 22 ( 1) 4 ( 1) 0aa? ? ? ? ? ?，即 1a? 时， B? ，符合题意； 当 ? ?2

15、22 ( 1) 4 ( 1) 0aa? ? ? ? ? ?，即 1a? 时， 若 1a? ，则 ?0B? ，符合题意； 当 1a? 时，由 BA? ，且 ? ?4,0A? ， 可知 12a? ， 1a? ， 满足 A B B? 的实数 a 的取值范围为 1a? 或 1a? 19.（ 1）证明：若 14? 时， 14PN PB? ，在 PA 上取 14PE PA? ， 连接 EN ， DE ， 14PN PB? ， 14PE PA? ， 4AB? ， /EN AB ，且 1 14EN AB?， 7 M 为 CD 的中点， 2CD? ， 1 12DM CD?， 又 /AB CD ， /EN DM

16、， 四边形 DMNE 是平行四边形， /MN DE ， 又 DE? 平面 PAD ， MN? 平面 PAD ， /MN 平面 PAD （ 2） 如图所示，过点 D 作 DH AB? 于 H ，则 DH CD? ，则以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 D xyz? ， 点 (0,0,0)D ， (0,1,0)M ， (0,2,0)C ， (2,2,0)B ， (2, 2,0)A ? ， (0,0,4)P ， (2,0,0)CB? ，(0, 2,4)CP? ， ( 2 , 2 , 4 ) ( 2 , 2 , 4 ) ( 2 2 , 2 2 , 4 4 )A N A P P N A P P B?

17、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 设平面 PBC 的法向量为 ( , , )n x y z? ，则 0,0,CBnCPn? ?即 2 0,2 4 0,xyz? ? ?令 1z? ，则 2y ? ，0x? ， (0,2,1)n? ， 设直线 AN 与平面 PBC 所成的角为 ? ，则 2 2 2| | 8 2 5s i n | c o s , | 5| | | | 5 ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 4 4 )A N nA N n A N n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 13? ，则 2 2 8( , , )3 3 3N ，

18、2 4 8( , , )3 3 3CN ? ， ( 2,2,0)AD ? ， 设直线 AD 与直线 CN 所成角为 ? ， 则 4 4 2c o s | c o s , |142 2 1223A D C N? ? ? ? ? ?， 所以直线 AD 与直线 CN 所成角的余弦值为 4214 8 20.解：（ 1）因为 1|AF 、 12|FF 、 2|AF 构成等差数列， 所以 1 2 1 22 | | | | 2 | | 4a A F A F F F? ? ? ?，所以 2a? ， 又因为 1c? ，所以 2 3b? ， 所以椭圆 C 的方程为 22143xy? （ 2）假设存在直线 AB ，

19、使得 1212SS? ，显然直线 AB 不能与 x ， y 轴垂直 设 AB 方程为 ( 1)y k x?（ 0k? ）， 将 其代入 22143xy?，整理得 2 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，所以 212 2843kxx k? ?， 故点 G 的横坐标为 212242 4 3xx kk? ? ?，所以 22243( , )4 3 4 3kkG kk? ?， 设 ( ,0)DDx ，因为 DG AB? ，所以 222343 1443 Dkk kk xk? ? ? ? ?， 解得 2243D kx k? ?，即