数学·选修4-5（人教A版）课件：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式 .ppt

1、第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 12 绝对值不等式绝对值不等式 12.1 绝对值三角不等式绝对值三角不等式 学习目标学习目标 1.掌握绝对值三角不等式的基本定理及掌握绝对值三角不等式的基本定理及 其应用其应用(重点重点) 2.会用绝对值三角不等式的几何意义求会用绝对值三角不等式的几何意义求 最值最值(重点、难点重点、难点) 知识提炼知识提炼 梳梳理理 1定理定理 1 如果如果 a， b 是实数是实数， 则则|ab|a|b|， 当且仅当当且仅当 ab0 时时，等号成立该定理被称为绝对值三角不等式等号成立该定理被称为绝对值三角不等式 温馨提示温馨提示 当当 ab0 时时，

2、它们落在原点的同一边它们落在原点的同一边， 此此 时时 a 到到b 的距离等于它们到原点的距离之和的距离等于它们到原点的距离之和 2定理定理 2 如果如果 a，b，c 是实数是实数，那么那么|ac|ab|bc|， 当当且仅当且仅当(ab)(bc)0 时时，等号成立等号成立 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)设设 ab0，则则|ab|a|.( ) (2)设设 ab0，则则|ab|b|.( ) (3)设设 ab0，则则|ab|ab|.( ) (4)设设 ab0，则则|ab|ab|.( ) 解析：解析：因为因为 ab0，所以所

3、以|ab|a|b|a|，故故(1) 正确； 同理可知正确； 同理可知(2)错误； 因为错误； 因为 ab0， 所以所以|ab|a|b| |ab|， 故故(3)错误；错误； |ab|a|b|a|b|， 故故(4)正确正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2已知实数已知实数 a，b 满足满足 ab0，则下列不等式成立的则下列不等式成立的 是是( ) A|ab|ab| B|ab|ab| C|ab|a|b| D|ab|a|b| 解析：解析：因为因为 ab0，所以所以|ab|ab|. 答案：答案：B 3若若 a，bR，则以下命题正确的是则以下命题正确的是( ) A|a|b|ab|a|b| B

4、|a|b|ab|a|b| C当且仅当当且仅当 ab0 时时，|ab|ab| D当且仅当当且仅当 ab0 时时，|ab|a|b| 解析：解析：若若 a1，b1，则则 B、D 不正确不正确 若若 ab1，则则 C 不正确不正确，故选故选 A. 答案：答案：A 4. 不等式不等式|xa|xb|ab|中等号成立的条件中等号成立的条件 是是_ 解析：解析：由定理由定理 2 易知易知(ax)(xb)0 时时，等号成立等号成立 答案：答案：(ax)(xb)0 5若若 a，bR，且且|a|3，|b|2，则则|ab|的最大值的最大值 是是_，最小值是最小值是_ 解析：解析： 由定理得由定理得|ab|a|b|5，

5、 当且仅当当且仅当 ab0， 即即 a3，b2 或或 a3，b2 时等号成立时等号成立 因为因为|a|最小为最小为 0，|b|最小为最小为 0， 故故|ab|最小值为最小值为 0. 所以所以|ab|的最大值是的最大值是 5，最小值是最小值是 0. 答案：答案：5 0 类型类型 1 利用绝对值三角不等式证明不等式利用绝对值三角不等式证明不等式 (自主研析自主研析) 典例典例 1 (1)若若|ab|c，|bc|a，求证：求证：ca； (2)设设 0，|xa| 4 ，|yb| 6 .求证求证： |2x3y2a3b|. 解：解：(1)由由|ab|c 及及|bc|a 得得 ca|ab|bc|(ab)(b

6、c)|ac|c a|. 由由 ca|ca|知知 ca0，故故 ca. (2)|2x3y2a3b|2(xa)3(yb)|2(xa)| |3(yb)|2|xa|3|yb|2 4 3 6 . 归纳升华归纳升华 1用三角不等式放缩用三角不等式放缩，主要用在含有绝对值的表达主要用在含有绝对值的表达 式中由于它有式中由于它有|a b|，|a|b|，(|a|b|)，|a|b|多种多种 结构形式结构形式，因此因此，应在熟练的基础上应在熟练的基础上，灵活应用灵活应用 2运用绝对值不等式的性质证明不等式时运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意要注意 放缩的方向和放缩的方向和“尺度尺度”，切忌放缩过度切忌放缩过

7、度 变式训练变式训练 设设 A、0，|xa| 2 ，|yb| 2 ，|b| A，|x|A，求证：求证：|xyab|A. 证明：证明：|xyab|xybxbxab|x(yb)b(x a)|x(yb)|b(xa)|x|yb|b|xa|A 2 A 2 A. 所以有所以有|xyab|A. 类类型型 2 利用绝对值三角不等式求最值利用绝对值三角不等式求最值 (互动探究互动探究) 典例典例 2 求函数求函数 y|x1|x2|的最小值的最小值 解：解：y|x1|x2|x1|2x|x12x| 3， 所以所以 y3. 所以函数的最小值为所以函数的最小值为 y3， 此时此时(x1)(2x)0，即即1x2. 所以所

8、以1x2 时时，函数函数的最小值为的最小值为 3. 迁移探究迁移探究 (变换条件变换条件，改变问法，改变问法)已知定义在已知定义在 R 上上 的函数的函数 f(x)|x1|x2|的最小值为的最小值为 a，求求 a 的值的值 解：解：因为因为|x1|x2|(x1)(x2)|3， 当且仅当当且仅当1x2 时时，等号成立等号成立， 所以所以 f(x)的最小值为的最小值为 a3. 归纳升华归纳升华 1利用绝对值三角不等式求函数利用绝对值三角不等式求函数 y|f(x)|g(x)|的的 最 小 值最 小 值 ， 可 利 用， 可 利 用 |f(x)| |g(x)|f(x) g(x)| 或或 |f(x) g

9、(x)|f(x)g(x)|来求解来求解，选择选择依据是看用哪个能消去变依据是看用哪个能消去变 量量 x.此外此外，也可求也可求 y|f(x)|g(x)|的最大值的最大值 2求不等式恒有解时参数的取值范围求不等式恒有解时参数的取值范围，其原理是：其原理是： 若函数若函数 f(x)在在 D 上存在最大值上存在最大值 f(x)max或最小值或最小值 f(x)min， 则对一切则对一切 xD，不等式不等式 f(x)A或或 f(x)B恒成立恒成立，当且当且 仅当仅当 f(x)maxA或或 f(x)minB 1在掌握本节知识过程中在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对要充分认识和理解绝对 值的意义和性质：值的意义和性质： 设设 aR，则则|a| a， ，a0， a，a0. |a|0，|a|a|a|，|a|2a2. 2绝对值不等式的性质定理的推广：绝对值不等式的性质定理的推广： |a1a2a3|a1|a2|a3|； |a1a2an|a1|a2|an|； |a|b|ab|a|b|. 3在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时， 一定要注意等号成立的条件：一定要注意等号成立的条件： |ab|a|b|(ab0)； |ab|a|b|(ab0)； |a|b|ab|(ab0)； |a|b|ab|(ab0)