高中数学人教A版选修1-1课件：3.1.2《导数的概念》.ppt

1、3.1.2 3.1.2 导数的概念导数的概念 导数的 概念 内容：内容：利用导数的概念求导数利用导数的概念求导数 应用应用 求函数在某处的导数 求函数在某点附近的平均 变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平 均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深 化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学 生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究 ,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上, 组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补 充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上 升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平 均变化率的求法给出3个例题

2、，通过解决具体问题强调 正确应用平均变化率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与 探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测， 通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生 进行因材施教。 平均变化率 )(xf一般的，函数一般的，函数 在区间上在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 , 21 xx 其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。 复习： 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h （单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系 h=-4.9t2+6.5t+10 h t o 求2时的瞬时速度？ 2 我们先考察2附近的情况。任取一个 时刻

3、2，是时间改变量，可以 是正值，也可以是负值，但不为0. 当0时，在2之前； 当0时，在2之后。 0时时 2 0时时 2 2,22,2 ,. tt v 计算区间和区间 内平均速度 可以得到如下表格 t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时 间内间内 当t = 0.01时, 当t = 0.01时, 当t = 0.001时, 当t =0.001时, 当t = 0.0001时, 当t =0.0001时, t = 0.00001, t = 0.00001, t = 0.000001, t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势

4、呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当当t趋近于趋近于0时时,平均平均 速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势? ,0,2, 22, 13.1. tt 我们发现 当趋近于 时 即无论 从小于 的一边 还是从大于 一边趋近于 时 平均速度都趋近于一个 确定的值 ,|, 2., 213.1/ . t vt tm s 从物理的角度看 时间间隔无限变小时 平均 速度 就无限趋近于时的瞬时速度因此 运动员在 时的瞬时速度是 “ ,“ .lim, 113 02 113 22 0 定值 趋近于确平均速度时趋势近于当表示 我们用为了表述方便 vtt t hth t 、函数的平均变化率怎么表示？ 0 0

5、0x=x yf xxx fxy 我们称它为函数 在 处的导数， 记作：或 定义: 函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作 或或 , 即即 导数的作用：导数的作用： 在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动 员的瞬时速度； 在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么 半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率. 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的意义可知由导数的意义可知, ,求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导数的处的导数的 基本方法是基

6、本方法是: : 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形 式,y也必须选择与之相对应的形式. 一差、二商、三极限 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度. 求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (1)(1)ffxy 解： 2 3(1)3x 2 63()xx 2 6 )( 3xx xx y 6 3 x 00 (1)limlim(6 3)6 xx y

7、xf x 例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数 (11)()yffx 解： 22 ( 1)( 1) ( 1)()1xx 2 ()3xx 2 (3 ) yxx xx 平均变化率 3x 00 ( 1)lim lim(3) 3 xx x x y f 例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度. (3)(3)sftf解： 22 (3)3(33)t 2 ()6tt 2 ()6 stt tt 6t 00 (3)limlim(6)6 tt s ft t 1 (1)2|2). x fy （或表示成 2 33 (2)|. 44 x fy

8、 （或表示成） (1)求函数y=x2在x=1处的导数; 1 yx x (2)求函数 在x=2处的导数. 0 0 0 :,| 1 ,. 2 x x yxxxy x 已知函数在处附近有定义 且 求 例 的值 2 00 :,解yxxx . 1 )( )( 00 00 000000 xxx xxxx xxxxxx x xxx x y , 2 11 limlim 000 00 xxxxx y xx . 1, 2 1 2 1 , 2 1 | 0 0 0 x x y xx 得得由由 00 0 0 (2 )() lim1, () h f xhf x h fx 0 设f(x)在x=x 附近有定义，且 求的值。

9、0 1 :() 2 fx 答案 ,根据导数的定义 x fxf x y 22 . 6f和 26,2hhf解：在第和第时 原油温度的瞬时变化率就是 x xx 1527215272 2 2 , 3 74 2 x x xxx , 33limlim2, 00 x x y f xx 所以 . 56 f同理可得 0 0 26,35. 2,3/; 6,5/. hh hC h hC h 在第与第时 原油温度的瞬时变化率分别为与 它说明： 在第附近 原油温度大约以的速率下降 在附近 原油温度大约以的速率上升 0 0 ,.fxx一般地反映了原油温度在时刻 附近的变化情况 计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时

10、 变化率，并说明它们的意义。 这说明这说明: : 在第在第3 3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1 1的速率下降，的速率下降， 在第在第5 5小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以3 3的速率上升。的速率上升。 1.求物体运动的瞬时速度： (1)求位移增量 s=s(t+ t)-s(t) (2)求平均速度 (3)求极限 ; s v t 00 ()( ) . limlim xx ss tts t tt 2.2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤： (1)求函数的增量 y=f(x0+ t)-f(x0) (2)求平均变化率 (3)求极限 y x

11、 0 0 () lim x y fx x 必做题: 1.如果质点A按照规律 2 3st运动,则在3t 时的瞬时 速度为 . 2.函数 1 yx x 在1x 处的导数等于 . 3.设函数( )f x3ax,若(1)3f,则a . 18 0 3 1 (1) 3 f 8cm/s (1)2 f 选做题: 1.设函数( )f x可导,则 0 (1)(1) lim 3 x fxf x . 2.质点M按规律 2 23st做直线运动(位移单位:cm,时 间单位:s),求质点M在2t 时的瞬时速度,并与运用匀 变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 3.设函数( )f x可导,且满足条件 0 (1)(1) lim1 2 x ffx x ,求 (1) f