高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.2《椭圆的简单几何性质》课时3.ppt

1、2.1.2 椭圆的简单几何性质（3） 2.1 椭圆 借助多媒体辅助手段，真实地动态展现直线与椭圆的位 置关系,将抽象的数学问题变为具体的图形语言,在此数形 结合的思想运用的淋漓尽致例1是探讨直线与椭圆的位 置关系；例2是求给定椭圆上的动点到定直线的距离的最 小值,也是利用了数形结合的思想;例3讲的是高考的一个热 点内容弦长公式问题；例4是中点弦问题。 突破两个难点问题，一是直线与椭圆的位置关系问题， 一是直线与椭圆的弦长公式问题（可以推广到直线与其它 圆锥曲线的弦长公式问题）. 一起来观赏一起来观赏 流星雨奇观流星雨奇观 直线与椭圆的位置关系： 相离相离(没有交点没有交点) 相切相切(一个交点

2、一个交点) 相交相交(二个交点二个交点) 流星雨奇观显示：流星雨运动轨迹可以看成直线，地球运动轨 迹可以看成椭圆，这就是我们今天要研究的课题： 直线与椭圆的位置关系的判定 代数方法: 22 22 0 1 AxByC xy ab 由方程组 2 0(0)mxnxpm 2 4nmp= 0 0 0 方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离 1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)k- 33 66 -k 33

3、 当 =时有一个交点 当或时有两个交点 当时没有交点 典例展示 练习1.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 交点情况满足( ) A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.有公共点 22 1 94 xy D 分析:设 00 (,)P xy是椭圆上任一点, 试求点P到直线45400xy的距离的表达式. 0000 22 45404540 41 45 xyxy d 且且 22 00 1 259 xy l m m 22 1 259 xy 45400xy例2:已知椭圆 , ,直线 ,椭圆上是否存在 l一点,到直线 的距离最小?最小距离是多少? 尝试遇到困难怎么办？ 作出直线l l 及椭圆，观察

4、图形， 数形结合思考。 o x y ml设直线 平：行于解， 22 450 1 259 xyk xy 由方程组 22 258-2250yxkxk消去 ，得 22 064-425-2250kk 由，得（） 450lxyk则 可写成： 22 1 259 xy 45400xy例例2:2:已知椭圆已知椭圆 , ,直线直线 , ,椭圆上是否存在椭圆上是否存在 l一点一点, ,到直线到直线 的距离最小的距离最小? ?最小距离是多少最小距离是多少? ? o x y 45250mxy直线 为： min 22 402515 41 41 45 ml d 直线 与椭圆的交点到直线 的距离最近。 且 思考：最大的距离

5、是多少？ max 22 402565 41 41 45 d 12 k25k25解得=，=- 25.k 由图可知 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于A(xA(xA A,y,yA A) )，B(xB(xB B,y,yB B) )两点，两点， 当直线当直线ABAB的斜率为的斜率为k k时时 弦长公式 当直线斜率不存在时当直线斜率不存在时,则则 12 AByy. 2 2 1 |1|1| ABAB ABkxxyy k 思考：怎样证明这个公式呢？ x y A(xA,yA) B(xB,yB) o xA xB ? ? 222 :4,3.:1,abc由椭解圆方程知( 3,0).F右焦点 :3.lyx直线 方程为

6、2 2 3 1 4 yx x y 2 58 380yxx消 得： 1122 ( ,), (,)A x yB xy设 1212 8 38 , 55 xxxx 222 121212 11()4ABkxxkxxxx 8 5 例3.已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点， 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长 例4 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 解法一： 韦达定理斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造 中点弦问题 例4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造

7、出中点坐标和斜率 点 作差 中点弦问题 点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出 中点坐标和斜率 112200 (,),(,),(,)A x yB xyABM xy设中点， 012012 2,2xxxyyy则有： 12 12 AB yy k xx 又 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 两式相减得： 222222 1211 ()()0bxxayy 1122 ( ,),(,)A x yB xy 在椭圆上， 222222 1211 ()()0bxxayy由 222 11 222 12 yyb xxa 即 2 1112 2 1211 AB yyxxb k x

8、xayy 2 0 2 0 xb ay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法思想方法 1.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 22 (1)1 95 : xy 解椭圆(2,0)F 2lyx直线 ： 22 2 5945 yx xy 由 2 143690xx得： 1212 189 , 714 xxxx 22 1212 6 11 1()4 7 kxxxx弦长 2.已知椭圆5x2+9y2=45，

9、椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 22 (2)5 115:94 解(1,1)A在椭圆内。 1122 (,),(,)AMNM x yN xy设以 为中点的弦为且 1212 2,2xxyy 2222 1212 590xxyy两式相减得：（） （） 1212 1212 5 9 MN yyxx k xxyy 5 9 5 1(1) 9 AMNyx 以 为中点的弦为方程为: 59140xy 22 11 5945xy 22 22 5945xy 2、弦中点问题的两种处理方法：、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；(韦达定理法) （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。（点差法） 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交 3.弦长公式弦长公式 2 2 1 |1|1| ABAB ABkxxyy k 课后练习 课后习题