高中数学人教A版（课件）必修四 第二章 平面向量 2.5.1、2.5.2 .ppt

1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重 点) 2学会用向量方法解决实际问题的基本方法(难点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 平面几何中的向量方法 阅读教材 P109P110例 2 以上内容，完成下列问题 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向

2、量的联系，用_表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为_问题； (2)通过_运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把_“翻译”成几何关系 向量 向量 向量 运算结果 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)若ABC 是直角三角形，则有AB BC 0.( ) (2)若AB CD ，则直线 AB 与 CD 平行( ) 【解析】 (1)错误因为ABC 为直角三角形，B 并不一定是直角，有 可能是A 或C 为直角 (2)错误向量AB CD 时，直线 ABCD 或 AB 与 CD 重合 【答案】 (1) (2) 上一页上一页返回首页

3、返回首页下一页下一页 教材整理 2 向量在物理中的应用 阅读教材 P111例 3 至 P112例 4 以上内容，完成下列问题 1物理问题中常见的向量有_等 2向量的加减法运算体现在_ 3动量 mv 是向量的_运算 4功是_与_的数量积 力，速度，加速度，位移 力，速度，加速度，位移的合成与分解 数乘 力F 所产生的位移s 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知力 F(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移动到 B(2，3)，则 F 对物体所做的功为_焦耳 【解析】 由已知位移AB (4，3)，力 F 做的功为 WF AB 2( 4)331. 【答案】 1 上一页上一页返回首页

4、返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 向量在平面几何中的应用 如图 251，在正三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的一 个三等分点，且 AE、CD 交于点 P，求证：BPDC 图 251 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积 【自主解答】 设PD CD ，并设正三角形 ABC 的边长为 a，则有：CD 2 3BA BC ， PA PD DA C

5、D 1 3BA 2 3BA BC 1 3BA 1 3(21)BA BC . 又EA BA 1 3BC ，PA EA ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1 3(21)BA BC kBA 1 3kBC ， 于是有 1 3（21）k， 1 3k， 解得 1 7， k3 7， PD 1 7CD ，BP BD DP 1 7BC 4 7BA ， 从而BP CD 1 7BC 4 7BA 2 3BA BC 8 21a 21 7a 210 21a 2cos 600. 由向量垂直的条件知，BPDC 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积

6、为 零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的 数量积运算式使问题获解， 如本题便是将向量BP ， CD 由基底BA ， BC 线性表示 当 然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1 如图 252 所示， 若 D 是ABC 内的一点， 且 AB2AC2DB2DC2， 求证：ADBC 【导学号：00680060】 图 252 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【证明】 设AB a，AC b，AD e，DB c，DC d，则 aec，bed， a2b2(ec)2(ed)2 c22e

7、c2e dd2. 由已知 a2b2c2d2， c22e c2e dd2c2d2，即 e (cd)0. BC BD DC dc， AD BC e (dc)0， AD BC ，即 ADBC 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量在解析几何中的应用 过点 A(2，1)，求： (1)与向量 a(3，1)平行的直线方程； (2)与向量 b(1，2)垂直的直线方程 【精彩点拨】 在直线上任取一点 P(x，y)，则AP (x2，y1)，由AP a 可以得(1)，由AP b 可以得(2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 设所求直线上任意一点 P(x，y)， A(2，1)，AP

8、(x2，y1) (1)由题意知AP a，(x2)13(y1)0， 即 x3y50， 所求直线方程为 x3y50. (2)由题意，知AP b， (x2)(1)(y1)20， 即 x2y40， 所求直线方程为 x2y40. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1本题求解的关键是在所求直线上任取一点 P(x，y)，从而得到向量AP 的 坐标 2用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量 用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原 为解析几何问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2 已知点 A(1， 0)， 直线 l： y2x6，

9、 点 R 是直线 l 上的一点， 若RA 2AP ， 求点 P 的轨迹方程 【解】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则RA (1，0)(x0，y0)(1x0，y0)， AP (x，y)(1，0)(x1，y) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 由RA 2AP ，得 1x02（x1）， y02y， 又点 R 在直线 l：y2x6 上，y02x06， 1x02x2， 62x02y， 由得 x032x，代入得 62(32x)2y，整理得 y2x，即为点 P 的 轨迹方程 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量在物理中的应用 (1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位

10、：牛顿)的作用 而处于平衡状态，已知 F1，F2成 60角且|F1|2，|F2|4，则|F3|( ) A6 B2 C2 3 D2 7 (2)某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而 当速度为每小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向 【精彩点拨】 (1)可利用 F1F2F30 分离 F3得 F3F1F2，平方 可求|F3|. (2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以 F1F2F30，所以 F3 (F1F2)，所以|F3|F1F2| （F1F2）

11、2 |F1|2|F2|22F1F2 4162241 22 7. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 D (2)设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到 风速为a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 va，设OA a，OB 2a，PO v，因为PO OA PA ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以PA va，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为PO OB PB ，所以PB v2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB . 由题意：PBO45，PABO，BAAO，从而，POB 为等腰直角三 角

12、形，所以 POPB 2a，即|v| 2a，所以实际风速是每小时 2a 千米的西 北风 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量在物理中的应用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和 的平行四边形法则求解 (2)用向量方法解决物理问题的步骤： 把物理问题中的相关量用向量表示； 转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； 结果还原为物理问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从岸边 O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的 行进方向应指向哪里

13、？ 【解】 如图所示， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设向量OA 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB 的长度和方 向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA ，OB 为邻边作平行四边形 OACB， 连接 OC 依题意 OCOA，BCOA20，OB40， BOC30. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60的方向行进 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 向量的数量积在物理中的应用 探究 1 向量的数量积与功有什么联系？ 【提示】 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移 距离的乘积，它的实质是向量的数量积 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一

14、页 探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？ 【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： 问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量 为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问 题，即把所得的数学结论回归到物理问题中 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 两个力 F1ij， F24i5j 作用于同一质点， 使该质点从点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量) 求(1)F1，F2分别对该质点做的功； (2)F1，F2的合力 F 对该质点做的功 【精彩点拨】 向

15、量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问 题转化为求向量的数量积的问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 AB (720)i(015)j13i15j. (1)F1做的功 W1F1sF1AB (ij) (13i15j)28 J. F2做的功 W2F2sF2AB (4i5j) (13i15j)23 J. (2)FF1F25i4j， 所以 F 做的功 WF sF AB (5i4j) (13i15j)5 J. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用 向量法求解 2 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，

16、那么力F所做的功W|F|s|cos ，其中 是 F 与 s 的夹角由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力 与位移的数量积 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4如图 253 所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30(斜向上)，大小 为 50 N， 一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 0.02 的水平面 上运动了 20 m，则力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？(|g|10 m/s2) 图 253 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 设木块的位移为 s，则： WF s|F| |s|cos 305020 3 2 500 3(J) 因为

17、 F 在竖直方向上的分力的大小为 |F1|F| sin 30501 225(N)， 所以物体所受的支持力的大小为 |FN|mg|F1|8102555(N) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以摩擦力的大小为 |f|FN|0.02551.1(N) 又 f 与 s 反向， 所以 f s|f| |s|cos 180 1.120(1)22(J) 即 F 与 f 所做的功分别是 500 3 J 与22 J. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1过点 M(2，3)，且垂直于向量 u(2，1)的直线方程为( ) A2xy70 B2xy7

18、0 Cx2y40 Dx2y40 【解析】 设 P(x，y)是所求直线上任一点，则MP u， 又MP (x2，y3)，2(x2)(y3)0，即 2xy70. 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2若向量OF1 (1，1)，OF2 (3，2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1 F2|为( ) A 10 B2 5 C 5 D 15 【解析】 由于 F1F2(1，1)(3，2)(2，1)， 所以|F1F2| （2）2（1）2 5， 故选 C 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3在ABC 中，若(CA CB ) (CA CB )0，则ABC 为( ) A正三角

19、形 B直角三角形 C等腰三角形 D形状无法确定 【解析】 (CA CB ) (CA CB )0， CA 2CB20，CA2CB2，CACB，ABC 为等腰三角形 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4若AB 3e，DC 5e，且|AD |BC |，则四边形 ABCD 的形状为_. 【导学号：00680061】 【解析】 由AB 3e，DC 5e，得AB DC ， AB DC ，又因为 ABCD 为四边形， 所以 ABDC，ABDC 又|AD |BC |，得 ADBC， 所以四边形 ABCD 为等腰梯形 【答案】 等腰梯形 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5一架飞机

20、从 A 地向北偏西 60的方向飞行 1 000 km 到达 B 地，然后向 C 地飞行设 C 地恰好在 A 地的南偏西 60方向上，并且 A，C 两地相距 2 000 km，求飞机从 B 地到 C 地的位移 【解】 如图所示， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设 A 地在东西基线和南北基线的交点处， 则 A(0，0)，B(1 000cos 30，1 000sin 30) (500 3，500)， C(2 000cos 30，2 000sin 30) (1 000 3，1 000)， BC (500 3，1 500)， |BC | （500 3）2（1 500）2 1 000 3(km) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入