高中数学人教A版（课件）必修四 第二章 平面向量 2.3.4 .ppt

1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1用坐标表示两向量共线(重点) 2根据平面向量的坐标判断向量共线(难点) 3两直线平行与两向量共线的判定(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 平面向量共线的坐标表示 阅读教材 P98“思考”以下至“例 6”以上内容，完成下列问题 1设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，a、b 共线，当且仅当存在实数 ，使_ 2如果用坐标表示，可写为(x

2、1，y1)(x2，y2)， 当且仅当_时，向量 a、b(b0)共线 注意：对于 2 的形式极易写错，如写成 x1y1x2y20 或 x1x2y1y20 都是 不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减 ab x1y2x2y10 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线( ) (2)向量(2，3)与向量(4，6)反向( ) 【解析】 (1)正确因为(4，8)4(1，2)，所以向量(1，2)与向量(4，8) 共线 (2)正确因为(4，6)2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(4，6) 反向 【答案】 (

3、1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 判定直线平行、三点共线 (1)已知 A(1，3)，B 8，1 2 ，且 A，B，C 三点共线，则 C 的坐标 可以是( ) A(9，1) B(9，1) C(9，1) D(9，1) (2)已知四点坐标 A(1，1)、B(1，5)、C(2，1)、D(4，11)，请判断直 线 AB 与 CD 是否平行？ (3)已知 A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2

4、，7)，向量AB 与CD 平行吗？ 直线 AB 平行于直线 CD 吗？ 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 (1)利用向量的平行条件 x1y2x2y10，可证明有公共点的 两个平行向量共线，从而可证明三点共线 (2)判定两直线平行， 先判定两向量平行， 再说明两向量上的相关点不共线 【自主解答】 (1)设点 C 的坐标是(x，y)， 因为 A，B，C 三点共线， 所以AB AC . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 因为AB 8，1 2 (1，3) 7，7 2 ， AC (x，y)(1，3)(x1，y3)， 所以 7(y3)7 2(x1)0，整理得 x2y7， 经检

5、验可知点(9，1)符合要求，故选 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 C (2)因为AB (1，5)(1，1)(2，4)，AD (4，11)(1，1)(5，10)， AC (2，1)(1，1)(1，2)， 所以AB 2AC ，AD 5AC . 所以AB AC AD . 由于AB 与AC 、AD 有共同的起点 A， 所以 A、B、C、D 四点共线， 因此直线 AB 与 CD 重合 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3)因为AB (1(1)，3(1)(2，4)， CD (21，75)(1，2) 又因为 22410， 所以AB CD . 又因为AC (1(1)，5(1)

6、(2，6)，AB (2，4)， 所以 24260， 所以 A，B，C 不共线， 所以 AB 与 CD 不重合， 所以 ABCD 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 三点共线的条件以及判断方法： 若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： (1)直接利用上述条件，计算(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)是否为 0； (2)任取两点构成向量，计算出两向量如AB ，AC ，再通过两向量共线的条 件进行判断 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1设 O 是坐标原点，OA (k，12)，OB (4，5)，OC (10，k)，当 k 为何 值时，A，B，C 三点

7、共线？ 【导学号：00680051】 【解】 AB OB OA (4k，7)， AC OC OA (10k，k12)， 又 A，B，C 三点共线， 由两向量平行的充要条件，得(4k)(k12)7(10k)0， 解得 k2 或 k11. 当 k2 或 k11 时，A，B，C 三点共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知平面向量共线求参数 (1)已知向量 a(x，3)，b(3，x)，则 存在实数 x，使 ab； 存在实数 x，使(ab)a； 存在实数 x，m，使(mab)a； 存在实数 x，m，使(mab)b. 其中，所有叙述正确的序号为_ (2)已知 a(1，2)，b(3，2)，当

8、k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平 行时它们是同向还是反向？ 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 (1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决 (2)方法一： 可利用 b 与非零向量 a 共线等价于 ba(0， b 与 a 同向； 0， b 与 a 反向)求解； 方法二： 可先利用坐标形式的等价条件求 k， 再利用 ba 判定同向还是反 向 【自主解答】 (1)由 abx29 无实数解，故不对； 又 ab(x3，3x)，由(ab)a 得 3(x3)x(3x)0，即 x29 无实数解，故不对； 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 因为 mab(mx3，3

9、mx)， 由(mab)a 得(3mx)x3(mx3)0. 即 x29 无实数解，故不对； 由(mab)b 得3(3mx)x(mx3)0， 即 m(x29)0，所以 m0，xR，故正确 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 (2)法一：kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)， a3b(1，2)3(3，2)(10，4)， 当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一实数 ， 使 kab(a3b) 由(k3，2k2)(10，4)， 所以 k310， 2k24， 解得 k1 3. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 当 k1 3时，kab 与 a3b 平行，这时 kab 1 3a

10、b 1 3(a3b)， 因为 1 30， 所以 kab 与 a3b 反向 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 法二：由题知 kab(k3，2k2)， a3b(10，4)， 因为 kab 与 a3b 平行， 所以(k3)(4)10(2k2)0， 解得 k1 3. 这时 kab 1 33， 2 32 1 3(a3b) 所以当 k1 3时，kab 与 a3b 平行，并且反向 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理 ab(b0)列方程组求解 (2)利用向量平行的坐标表达式 x1y2x2y10 直接求解 上一页上一页返回首页返回首页

11、下一页下一页 再练一题 2(1)已知向量 a(1，2)，b(2，3)，若向量 ab 与向量 c(4， 7)共线，则 _ (2)已知向量 a(1，2)，b(3，4)，若(3ab)(akb)，求实数 k 的值 【解析】 (1)a(1，2)，b(2，3)， ab(，2)(2，3)(2，23) 向量 ab 与向量 c(4，7)共线， 7(2)4(23)0， 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 2 (2)3ab(0，10)，akb(13k，24k)， 因为(3ab)(akb)， 所以 0(1030k)0， 所以 k1 3. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量共线的综合应

12、用 如图 2319 所示，已知点 A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标 图 2319 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 要求点 P 的坐标，只需求出向量OP 的坐标，由OP 与OB 共 线得到OP OB ，利用AP 与AC 共线的坐标表示求出 即可；也可设 P(x，y)， 由OP OB 及AP AC ，列出关于 x，y 的方程组求解 【自主解答】 法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP OB (4，4)， 则AP OP OA (44，4)，AC OC OA (2，6) 由AP 与AC 共线得(44)64(2)0，解得 3 4，

13、所以OP 3 4OB (3，3)，所以 P 点的坐标为(3，3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 法二：设 P(x，y)，则OP (x，y)，因为OB (4，4)，且OP 与OB 共线，所 以x 4 y 4，即 xy. 又AP (x4，y)，AC (2，6)，且AP 与AC 共线，则得(x4)6y( 2)0，解得 xy3，所以 P 点的坐标为(3，3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1 关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交 点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解 2本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标 的

14、向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问 题中的应用，在以后学习中应加以体会运用 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3如图 2320，已知 A(4，5)，B(1，2)，C(12，1)，D(11，6)，求 AC 与 BD 的交点 P 的坐标 图 2320 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 设BP BD (111，62)(10，4) 易得CB (11，1)， CP CB BP (1011，41) 又CA (8，4)，而CP 与CA 共线， 4(1011)8(41)0， 解得 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设点 P 的

15、坐标为(xp，yp)， BP (5，2)(xp1，yp2)， xp15， yp22， 即 xp6， yp4， 故点 P 的坐标为(6，4) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 共线向量与中点坐标公式 探究 1 设 P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，如何求线段 P1P2的中 点 P 的坐标？ 【提示】 如图所示，P 为 P1P2的中点， P1P PP2 ， OP OP1 OP2 OP ， OP 1 2(OP1 OP2 ) x1x2 2 ，y 1y2 2 ， 线段 P1P2的中点坐标是 x1x2 2 ，y 1y2 2 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一

16、页 探究 2 设 P1，P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，点 P 是线段 P1P2的一 个三等分点，则 P 点坐标是什么？ 【提示】 点 P 是线段 P1P2的一个三等分点，分两种情况： 当P1P 1 3P1P2 时，OP OP1 P1P OP1 1 3P1P2 OP1 1 3(OP2 OP1 )2 3 OP1 1 3OP2 2x1x2 3 ，2y 1y2 3 ； 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 当P1P 2 3P1P2 时， OP OP1 P1P OP1 2 3P1P2 OP1 2 3(OP2 OP1 ) 1 3OP1 2 3OP2 x12x2 3 ，y 12y2 3

17、 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 3 当P1P PP2 时，点 P 的坐标是什么？ 【提示】 OP OP1 P1P OP1 PP2 OP1 (OP2 OP )OP1 OP2 OP ， OP OP 1 OP2 1 1 1(x1，y1) 1(x2，y2) 1 1x1， 1 1y1 1x2， 1y2 x1x2 1 ，y 1y2 1 ， P x1x2 1 ，y 1y2 1 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知点 A(3， 4)与点 B(1， 2)， 点 P 在直线 AB 上， 且|AP |2|PB |，求点 P 的坐标 【精彩点拨】 点 P 在直线 AB 上，包括点

18、P 在线段 AB 内和在线段 AB 的 延长线上，因此应分类讨论 【自主解答】 设 P 点坐标为(x，y)，|AP |2|PB |. 当 P 在线段 AB 上时，AP 2PB ， (x3，y4)2(1x，2y)， x322x， y442y， 解得 x1 3， y0， P 点坐标为 1 3，0 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 当 P 在线段 AB 延长线上时，AP 2PB ， (x3，y4)2(1x，2y)， x322x， y442y，解得 x5， y8， P 点坐标为(5，8) 综上所述，点 P 的坐标为 1 3，0 或(5，8) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 在求有

19、向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题 后解方程组求解，同时应注意分类讨论 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4已知ABC 的三个顶点坐标依次为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求 ABC 的重心 G 的坐标 【解】 延长 AG 交 BC 于点 D， G 为ABC 的重心， D 为 BC 的中点， AG 2 3AD 2 3 1 2AB 1 2AC 1 3AB 1 3AC ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 OG OA AG OA 1 3AB 1 3AC OA 1 3(OB OA )1 3(OC OA ) 1 3(OA OB

20、OC ) x1x2x3 3 ，y 1y2y3 3 . 综上所述，G 的坐标为 x1x2x3 3 ，y 1y2y3 3 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1下列满足平行的一组向量是( ) Aa(1，4)，b(504，2 016) Ba(2，3)，b(4，6) Ca(1，2)，b(1 008，2 016) Da(1，4)，b(3，12) 【解析】 A 中，因为 x1y2x2y11(2 016)504(4)0，ab； B 中，因为 x1y2x2y12(6)43240，a 与 b 不平行；C 中，因 为 x1y2x2y112 016(1

21、 008)24 0320，a 与 b 不平行；D 中，因 为 x1y2x2y111234240，a 与 b 不平行 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2设 kR，下列向量中，与向量 a(1，1)一定不平行的向量是( ) 【导学号：00680052】 Ab(k，k) Bc(k，k) Cd(k21，k21) De(k21，k21) 【解析】 由向量共线的判定条件，当 k0 时，向量 b，c 分别与 a 平行； 当 k 1 时，向量 e 与 a 平行 对任意 kR，1(k21)1 (k21)0，a 与 d 不平行 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3已知

22、a(6，2)，b(m，3)，且 ab，则 m( ) A9 B9 C3 D3 【解析】 因为 a(6，2)，b(m，3)， 若 ab 则6(3)2m0，解得 m9. 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4与向量 a(1，2)平行，且模等于 5的向量为_ 【解析】 因为所求向量与向量 a(1，2)平行，所以可设所求向量为 x(1， 2)，又因为其模为 5，所以 x2(2x)25，解得 x 1. 因此所求向量为(1，2)或(1，2) 【答案】 (1，2)或(1，2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知向量 a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且 uv，求实 数 x 的值 【解】 因为 a(1，2)，b(x，1)， ua2b(1，2)2(x，1)(2x1，4)， v2ab2(1，2)(x，1)(2x，3) 又因为 uv，所以 3(2x1)4(2x)0， 解得 x1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入