高中数学人教A版（课件）必修四 第二章 平面向量 2.2.3 .ppt

1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握向量的数乘运算及其几何意义(重点) 2掌握向量共线定理的应用(难点) 3理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 向量的数乘运算 阅读教材 P87P88例 5 以上内容，完成下列问题 1定义：一般地，我们规定实数 与向量 a 的积是一个_，这种运算 叫做_，记作_ 2规定：|a|a|，当_时， a 的方向与 a 的

2、方向_；当 0 相同 相反 0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3运算律： 设 ， 为实数，则 (1)(a)_； (2)()a_； (3)(ab)_ 特别地，我们有 ()a_， (ab)_ a aa ab (a) (a) ab 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设 a 是非零向量， 是非零实数，则以下结论正确的有_ a 与a 的方向相反； |a|a|； a 与 2a 方向相同； |2a|2| |a|. 【解析】 由向量数乘的几何意义知正确 【答案】 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 共线向量与向量的线性运算 阅读教材 P88例 5 以下至 P89例 7

3、以上内容，完成下列问题 1共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得_ 2向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的_运算对于任意向量 a、b， 以及任意实数 、1、2，恒有 (1a 2b)_ ba 线性 1a2b 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 如图 2219，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB AD AO ，则 _. 图 2219 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB AD AC ， 又O 是 AC 的中点，AC2AO， AC 2AO ，AB AD 2AO ，

4、 2. 【答案】 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 数乘向量的定义及其几何意义 (1)若两个非零向量 a 与(2x1)a 方向相同， 则 x 的取值范围为_ (2)若平面内不共线的四点O， A， B， C 满足OB 1 3OA 2 3OC ， 则|AB | |BC | _. (3)已知点 C 在线段 AB 的延长线上(在 B 点右侧)，且 ABAC23. 用BC 表示AB ； 用CB 表示AC . 上

5、一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数 的作用的认识： 0 时，a 与 a 同向，模是|a|的 倍； 0，即 x1 2. (2)因为OB 1 3OA 2 3OC ，所以OB OA 1 3OA 2 3OC OA ， 即AB 2 3AC ， 所以|AB |2 3|AC |， 同理可得|CB |1 3|CA |， 得|AB | |CB | 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 (1)x1 2 (2)2 (3)如图 a，因为点 C 在线段 AB 的延长线上，且 ABAC23，所以 AB 2BC，AC3BC 如图 b，向量AB 与BC 方

6、向相同，所以AB 2BC ； 如图 c，向量AC 与CB 方向相反，所以AC 3CB . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 对向量数乘运算的三点说明： (1)a 中的实数 叫做向量 a 的系数 (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小 (3)当 0 或 a0 时，a0.注意是 0，而不是 0. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1已知 a，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由 (1) 2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)3a 的方向与 6a 的方向相反，且3a 的模是 6a 的模的1

7、2； (3)4a 与 4a 是一对相反向量； (4)ab 与(ba)是一对相反向量； (5)若 a，b 不共线，则 0 a 与 b 不共线. 【导学号：00680042】 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 (1)真命题 20， 2a 与 a 同向， | 2a| 2|a|， 2a 的模是 a 的模的 2倍 (2)真命题30，6a 与 a 方向相同且|6a|6|a|， 3a 与 6a 方向相反且模是 6a 的模的1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3)真命题由数乘定义和相反向量定义可知 (4)假命题 ab 与 ba 是相反向量， ab 与(ba)是相等向量 (5)

8、假命题.0 a0，0a 与 b 共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量的线性运算 (1)化简：(2a3bc)(3a2bc)_. (2)已知向量 a，b，x，且(xa)(bx)x(ab)，则 x_. 【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)(2a3bc)(3a2bc)2a3a3b2bcc a5b2c. (2)因为(xa)(bx)x(ab)，所以 2xabxab，即：x0. 【答案】 (1)a5b2c (2)0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量数乘运算的方法：

9、(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算， 实数运算中的去括号、 移项、 合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这 里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数 (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程 的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2(2016 枣庄高一检测)化简1 3 1 2（2a8b）（4a 2b）的结果是( ) A2ab B2ba Cba Dab 【解】 原式1 3(a4b4a2b) 1 3 (6b3a)2ba. 【答案】 B 上一

10、页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 向量共线问题 探究 1 已知 m，n 是不共线向量，a3m4n，b6m8n，判断 a 与 b 是否共线？ 【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数 ，使得 a b 即可 若 a 与 b 共线，则存在 R，使 ab，即 3m4n(6m8n) m，n 不共线， 63， 84. 不存在 同时满足此方程组，a 与 b 不共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 2 已知 e1，e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，则 a 与 b 是 否共线？ 【提示】 e1，e2共线， 存在 R，使 e1e2. a3e14e23e

11、24e2(34)e2， b6e18e26e28e2(68)e2， a34 68 b 4 3 ， a 与 b 共线 当 4 3时，b0，a 与 b 共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 3 设两非零向量 e1和 e2不共线，是否存在实数 k，使 ke1e2和 e1 ke2共线？ 【提示】 设 ke1e2与 e1ke2共线， 存在 使 ke1e2(e1ke2)， 则(k)e1(k1)e2. e1与 e2不共线， 只能有 k0， k10，则 k 1. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知非零向量 e1，e2不共线 如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)

12、，求证 A、B、D 三点共线 【精彩点拨】 欲证 A、B、D 共线，只需证存在实数 ，使BD AB 即可 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 证明：AB e1e2， BD BC CD 2e18e23e13e2 5(e1e2) 5AB . AB ，BD 共线，且有公共点 B， A、B、D 三点共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a0)共线ba，因此用它 既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值 2向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相 表示，从而判断共线 上一页上一页返回首页返回

13、首页下一页下一页 再练一题 3设两个非零向量 e1，e2不共线，已知AB 2e1ke2，CB e13e2，CD 2e1e2.问：是否存在实数 k，使得 A、B、D 三点共线，若存在，求出 k 的值； 若不存在，说明理由 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 设存在 kR，使得 A、B、D 三点共线， DB CB CD (e13e2)(2e1e2)e14e2，AB 2e1ke2. 又A、B、D 三点共线，AB DB ， 2e1ke2(e14e2)， 2 k4 ，k8， 所以存在 k8，使得 A、B、D 三点共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首

14、页返回首页下一页下一页 1下列各式中不表示向量的是( ) A0a Ba3b C|3a| D 1 xye(x，yR，且 xy) 【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2下列计算正确的个数是( ) (3) 2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0. A0 B1 C2 D3 【解析】 因为(3) 2a6a 故正确；中左2a2b2ba3a 成 立，故正确；中左a2b2ba00，故错误 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3. 3a1 2bc 2a3 4bc 等于( ) Aa1 4b2

15、c B5a1 4b2c Ca5 4b2c D5a5 4b 【解析】 3a1 2bc 2a3 4bc (3a2a) 1 2b 3 4b (cc)a 1 4b 2c.故选 A 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4O 为平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1，BC 6e2，则 3e22e1 _ 【解析】 设点 E 为平行四边形 ABCD 的 BC 边中点，点 F 为 AB 边中点， 则 3e22e1BE BF BO OD . 【答案】 OD (或BO ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5在四边形 ABCD 中，AB a2b，BC 4ab，CD 5a3b，证明： 直线 ADBC 【导学号：00680043】 【证明】 AD AC CD AB BC CD (a2b)(4ab)(5a 3b)8a2b2(4ab)2BC ，AD 与BC 共线 又 AD 与 BC 不重合，直线 ADBC 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入