高中数学人教A版（课件）必修四 第二章 平面向量 2.3.1 .ppt

1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向 量(重点) 2掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点) 3两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 平面向量基本定理 阅读教材 P93至 P94第六行以上内容，完成下列问题 1定理：如果 e1，e2是同一平面内的

2、两个_向量，那么对于这一平 面内的_向量 a，_实数 1， 2，使 a_ 2基底：_的向量 e1，e2叫做表示这一平面内_向量的一组 基底 不共线 任意 有且只有一对 1e12e2 不共线 所有 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底( ) (2)若 e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则 1e12e2(1， 2为实数)可 以表示该平面内所有向量( ) (3)若 ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则 ac，bd.( ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】

3、(1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作 为该平面内向量的基底 (2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e1，e2 线性表示 (3)错误当 e1与 e2共线时，结论不一定成立 【答案】 (1) (2) (3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 两向量的夹角与垂直 阅读教材 P94第六行以下至例 1 内容，完成下列问题 1.夹角：已知两个_a 和 b，作OA a，OB b，则_ 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图 231 所示) (1)范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是_ (2)当 0 时，a 与 b_；当 180时，a 与 b_

4、2垂直：如果 a 与 b 的夹角是_， 我们说 a 与 b 垂直，记作_ 图 231 非零向量 AOB 0180 同向 反向 90 ab 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 如图 232，在ABC 中，AC ，AB 的夹角与CA ，AB 的夹角的关系为 _ 图 232 【解析】 根据向量夹角定义可知向量AB ，AC 夹角为BAC，而向量CA ， AB 夹角为BAC故二者互补 【答案】 互补 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页

5、下一页下一页 小组合作型 用基底表示向量 (1)已知 AD 是ABC 的 BC 边上的中线，若AB a，AC b，则AD ( ) A1 2(ab) B1 2(ab) C1 2(ab) D1 2(ab) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)如图 233，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若OA a，OB b， 则OP _，OQ _.(用 a，b 表示) 图 233 【精彩点拨】 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角 形法则或平行四边形法则 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)如图所示， 因为AE AB AC 2AD ， 所以AD 1 2(

6、ab) (2)OP AP AO 1 3AB OA 1 3(OB OA )OA 2 3OA 1 3OB 2 3a 1 3b， OQ AQ AO 2 3AB OA 2 3(OB OA )OA 1 3OA 2 3OB 1 3a 2 3b. 【答案】 (1)D (2)2 3a 1 3b 1 3a 2 3b 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 平面向量基本定理的作用以及注意点： (1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表 示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法 运算 (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未 知向量，

7、或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若AB a， AC b 用 a，b 表示AD ，AE ，AF . 图 234 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 AD AB BD AB 1 2BC a1 2(ba) 1 2a 1 2b； AE AB BE AB 1 3(ba) 2 3a 1 3b； AF AB BF AB 2 3BC a2 3(ba) 1 3a 2 3b. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量的夹角问题 (1)(2016 韶

8、关高一检测)已知向量 a，b，c 满足|a|1，|b|2，c ab，ca，则 a，b 的夹角等于_ (2)若 a0，b0，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角 【精彩点拨】 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)作BC a，CA b，则 cabBA (如图所示)， 则 a，b 夹角为 180C 因为|a|1，|b|2，ca， 所以C60， 所以 a，b 的夹角为 120. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 120 (2)由向量运算的几何意义知 ab，ab 是以 a、b 为邻边的平行四边形两 条

9、对角线 如图，|a|b|ab|， BOA60. 又OC ab，且在菱形 OACB 中，对角线 OC 平分BOA， a 与 ab 的夹角是 30. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 两向量夹角的实质与求解方法： (1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角 的角，结合平面几何知识加以解决 (2)求解方法： 利用平移的方法使两个向量起点重合， 作出两个向量的夹角， 按照“一作二证三算”的步骤求出 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2 已知|a|b|2， 且 a 与 b 的夹角为 60， 则ab 与 a 的夹角是_， ab 与 a 的夹角是_. 【导

10、学号：00680045】 【解析】 如图所示， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 作OA a，OB b，则AOB60，以 OA，OB 为邻边作OACB，则OC OA OB ab，BA OA OB ab，BC OA a.因为|a|b|2，所以 OAB 为正三角形，所以OAB60ABC，即 ab 与 a 的夹角为 60. 因为|a|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，所以 OCAB，所以COA90 6030，即 ab 与 a 的夹角为 30. 【答案】 30 60 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 平面向量基本定理的综合应用 探究 1 在向量等式OP xOA yOB

11、 中，若 xy1，则三点 P、A、B 具有 什么样的位置关系？ 【提示】 三点 P、A、B 在同一直线上在向量等式OP xOA yOB 中， 若 xy1，则 P，A，B 三点共线；若 P，A，B 三点共线，则 xy1. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 2 如图 235 所示，有点 O，A，D，B，以 OA 和 OB 为邻边作一 平行四边形 ADBO，将此平行四边形的各边所在直线延长，将平面分成 9 部分， 对于平面上任一向量OC ，存在唯一有序实数对(x，y)，使OC xOA yOB 成立 图 235 对于点 C 的位置与实数 x，y 的取值情况需分几种讨论？ 上一页上一页返回

12、首页返回首页下一页下一页 【提示】 需分 12 种情况 (1)点 C 与点 O 重合，则 xy0. (2)点 C 与点 A 重合，则 x1，y0. (3)点 C 与 D 重合，则 xy1. (4)点 C 与点 B 重合，则 x0，y1. (5)点 C 在直线 OA 上，则 xR，y0. (6)点 C 在直线 AD 上，则 x1，yR. (7)点 C 在直线 BD 上，则 xR，y1. (8)点 C 在直线 OB 上，则 x0，yR. (9)点 C 在直线 OD 上，则 xy. (10)点 C 在直线 AB 上，则 xy1. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (11)点 C 在区域上，则

13、 x1；点 C 在区域上，则 0x1；点 C 在区域上，则 x0. (12)点 C 在区域上，则 y0；点 C 在区域上，则 0y1. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 如图 236 所示，在OAB 中，OA a，OB b，点 M 是 AB 的靠近 B 的一个三等分点， 点 N 是 OA 的靠近 A 的一个四等分点 若 OM 与 BN 相交于点 P，求OP . 图 236 【精彩点拨】 可利用OP tOM 及OP ON NP ON sNB 两种形式来表 示OP ，并都转化为以 a，b 为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性 求得 s，t，进而求得OP . 上一页上一页返回首页返回首

14、页下一页下一页 【自主解答】 OM OA AM OA 2 3AB OA 2 3(OB OA )1 3a 2 3b. 因为OP 与OM 共线，故可设OP tOM t 3a 2t 3 b. 又NP 与NB 共线，可设NP sNB ，OP ON sNB 3 4OA s(OB ON )3 4(1 s)asb，所以 3 4（1s） t 3， s2 3t， 解得 t9 10， s3 5， 所以OP 3 10a 3 5b. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1任意一向量基底表示的唯一性的理解： 条件一 平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1，e2 条件二 a1e11e2且 a2e12e

15、2 结论 12， 12 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2.任意一向量基底表示的唯一性的应用： 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不 共线向量 e1，e2的线性组合 1e12e2.在具体求 1，2时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理 (2)利用待定系数法，即利用定理中 1，2的唯一性列方程组求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3如图 237 所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且AN 1 2NC ， BN 与 CM 相交于 E，设AB a，AC b，试用基底 a，b 表示向量AE . 图 2

16、37 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 易得AN 1 3AC 1 3b，AM 1 2AB 1 2a， 由 N，E，B 三点共线，设存在实数 m， 满足AE mAN (1m)AB 1 3mb(1m)a. 由 C，E，M 三点共线，设存在实数 n 满足：AE nAM (1n)AC 1 2na (1n)b. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以1 3mb(1m)a 1 2na(1n)b， 由于 a，b 为基底，所以 1m1 2n， 1 3m1n， 解之得 m3 5， n4 5， 所以AE 2 5a 1 5b. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一

17、页返回首页返回首页下一页下一页 1(2016 黄石高一检测)已知平行四边形 ABCD，则下列各组向量中，是该 平面内所有向量基底的是( ) AAB ，DC BAD ，BC CBC ，CB DAB ，DA 【解析】 由于AB ，DA 不共线，所以是一组基底 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2已知向量 ae12e2，b2e1e2，其中 e1，e2不共线，则 ab 与 c 6e12e2的关系是( ) A不共线 B共线 C相等 D不确定 【解析】 ab3e1e2， c2(ab)， ab 与 c 共线 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3如图 238，在矩形

18、 ABCD 中，若BC 5e1，DC 3e2，则OC ( ) 图 238 A1 2(5e13e2) B1 2(5e13e2) C1 2(3e25e1) D1 2(5e23e1) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 OC 1 2AC 1 2(BC AB ) 1 2(BC DC )1 2(5e13e2) 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4 (2016 福州市八县一中高一联考)已知 A， B， D 三点共线， 且对任一点 C， 有CD 4 3CA CB ，则 ( ) 【导学号：00680046】 A2 3 B1 3 C1 3 D2 3 上一页上一页返回首页返回

19、首页下一页下一页 【解析】 A，B，D 三点共线， 存在实数 t， 使AD tAB ， 则CD CA t(CB CA )， 即CD CA t(CB CA ) (1t)CA tCB ， 1t4 3， t， 即 1 3. 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知 e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c 7e14e2，试用向量 a 和 b 表示 c. 【解】 a，b 不共线， 可设 cxayb， 则 xaybx(3e12e2)y(2e1e2) (3x2y)e1(2xy)e27e14e2. 又e1，e2不共线， 3x2y7， 2xy4，解得 x1， y2， ca2b. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入