华中农业大学数学建模AB-课件.ppt

1、-数学建模基地系列课件数学建模基地系列课件-数学建模数学建模 微分与模糊专题微分与模糊专题2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2专题板块系列专题板块系列概率统计专题概率统计专题1优化专题优化专题2模糊方法及微分方程专题模糊方法及微分方程专题3图论专题图论专题4精品资料 你怎么称呼老师？如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？教师的教鞭“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘”“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早”2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大

2、学数学建模基地5模糊方法及微分方程专题模糊方法及微分方程专题Part1:微分方程微分方程模糊微分模糊微分Part2:模糊数学模糊数学2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地6part1：微分方程微分方程模型微分方程模型差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地7 在研究实际问题时在研究实际问题时,我们常常不能直接我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程变量导数在内的关系式，这就是微分方程.在现实社会中，又有许多变量是离散变在现实社

3、会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性而且离散的运算具有可操作性,差分正是联差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁系连续与离散变量的一座桥梁.2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地8 不管是微分方程还是差分方程模型，有时不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解无法得到其解析解 (必要时，可以利用计算机必要时，可以利用计算机求其数值解求其数值解 )，既使得到其解析解，尚有未知，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计参数需要估计 (这时可利用第二章参数估计方这时可利用第二

4、章参数估计方法法).).而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论加以讨论.2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地9如果如果0)(limxtxt则称平衡点则称平衡点x0是是稳定稳定的的.)14()(ddxftx称代数方程称代数方程 f(x)=0 的实根的实根x=x0为方程为方程(4-1)的的平平衡点衡点(或奇点或奇点).它也是方程它也是方程(4-1)的解的解.设设一维微分方程模型平衡点的稳定性一维微分方程模型平衡点的稳定性2020/12/12华中农

5、业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地10由于由于),)()(00 xxxfxf在讨论方程在讨论方程(4-1)的的)24()(dd00 xxxftx来代替来代替.稳定性时，可用稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性一阶微分方程模型平衡点的稳定性2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地11 易知易知 x0也是方程也是方程(4-2)的平衡点的平衡点.(4-2)的通解为的通解为,e)(0)(0 xCtxtxf关于关于x0是否稳定有以下结论：是否稳定有以下结论：若若,0)(0 xf则则x0是稳定的；是稳定的；若若则则x0是不稳定的是不稳定的.,0)(0 xf这个结

6、论对这个结论对于于(4-1)也是也是成立的成立的.一阶微分方程模型平衡点的稳定性一阶微分方程模型平衡点的稳定性2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地12)34().,(dd),(ddyxgtyyxftx代数方程组代数方程组.0),(,0),(yxgyxf的实根的实根x=x0,y=y0称为方程称为方程(4-3)的的平衡点平衡点,记作记作P0(x0,y0).它也是方程它也是方程(4-3)的解的解.微分方程组的平衡点的稳定性微分方程组的平衡点的稳定性2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地13如果如果,)(lim,)(lim00ytyxtxt

7、t则称平衡点则称平衡点P0是是稳定稳定的的.微分方程组的平衡点的稳定性微分方程组的平衡点的稳定性2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地14 下面给出判别平衡点下面给出判别平衡点P0是否稳定的是否稳定的判别准则判别准则.设设,)()(00yPgxPfpyPgxPgyPfxPfq)()()()(0000 则当则当p0且且q0时，平衡点时，平衡点P0是稳定的；是稳定的；当当p0或或q0时，平衡点时，平衡点P0是不稳定的是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性微分方程组的平衡点的稳定性2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地15稳定性模型稳定性模

8、型建模目的是研究时间充分长以后过程的变建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势化趋势 平衡状态是否稳定。平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。理论研究平衡状态的稳定性。2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地16 再生资源（渔业、林业等）与非再生再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）资源（矿业等）再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。前提下实现最大产量或最佳效益。问题问题及及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制捕的

9、条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场渔场鱼量将保持不变鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景实例：实例：捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地17ExNxrxxFtx)1()()()1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF 记记假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下渔场鱼量满足捕捞情况下渔场

10、鱼量满足r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量，渔场鱼量，产量模型产量模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地180)(xF0),1(10 xrENxErxFrExF )(,)(10平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断0)(,0)(10 xFxFrE0)(,0)(10 xFxFrEx0 稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx产量模型产量模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模

11、基地19图解法图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点2/*0*rxhEm y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标 h产量产量)4/,2/(*0*rNhNxPm 产量最大产量最大f 与与h交点交点P稳定0 xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半产量模型最大产量产量模型最大产量2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地20cErEpNEESETER)1()()()()1(4222NpcrNhR cEpExSTR效

12、益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润)/1(0rENx稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22 )1(rENxRR 渔场渔场鱼量鱼量2*rE收入收入 T=ph(x)=pEx支出支出 S=cE2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地21对于对于k阶差分方程阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (4-6)若有若有xn=x(n),满足满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称则称xn=x(n)是差分方程是差分方程(4-6)的的解解,包含包

13、含k个任个任意常数的解称为意常数的解称为(4-6)的的通解通解,x0,x1,xk-1为已为已知时称为知时称为(4-6)的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为由初始条件确定后的解称为(4-6)的的特解特解.差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地22 若若x0,x1,xk1已知已知，则形如则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(4-6)的解的解，即即F(n;a,a,a)=0,则称则称

14、 a是差分方程是差分方程(4-6)的的平衡点平衡点.又对差分方程又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的任意由初始条件确定的解的解 xn=x(n)都有都有xna(n),则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的.差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地23 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中其中a,b为常数，且为常数，且a-1,0)的通解为的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当是其平衡点，由上式知，当且仅当且仅当|a|1时，时，b/(a+1)是稳

15、定的平衡点是稳定的平衡点.差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地24 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中其中a,b,r为常数为常数.当当r=0时，它有一特解时，它有一特解x*=0；当当r 0，且，且a+b+1 0时，它有一特解时，它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，不管是哪种情形，x*是其平衡点是其平衡点.设其特征设其特征方程方程 2+a +b=0的两个根分别为的两个根分别为 =1,=2.差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基

16、地25 当当 1,2 是两个不同实根时，是两个不同实根时，二阶常系数二阶常系数线性差分线性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当当 1,2=是两个相同实根时，是两个相同实根时，二阶常系二阶常系数线性差分数线性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;则则差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地26 当当 1,2=(cos +i sin )是一对共轭复根是一对共轭复根时，时，二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知，当且

17、仅当特征方程的任一特征根易知，当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时时,平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的.差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地27对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x=f(x)解出解出.为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性,将上述差分方程近将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程似为一阶常系数线性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxnn1|*)(|xf时时,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程的非线性差分方程的稳

18、定性相同稳定性相同.因此因此当当时时,x*是稳定的；是稳定的；当当1|*)(|xf时时,x*是不稳定的是不稳定的.当当1|*)(|xf差分方程模型差分方程模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地28问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡市场经济

19、中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地29gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0)(1kkyhx)(1kkxgy模型建立模型建立2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地30设设x1偏离偏离x0322

20、11xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk 蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP 稳定性分析稳定性分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地31xy0fgy0 x0P0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4gfKKxy0y0 x0P0fggfKK曲线斜率曲线斜率稳定性分析稳定性分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地32)(kkxfy)(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近

21、用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致稳定性分析稳定性分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地33)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对

22、价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地341.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直结果解释政府干预结果解释政府干预2020/12/12华中农

23、业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地352/)(0101yyyxxkkk 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程)(1kkyhx211kkkyyhx模型的推广模型的推广2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3648)(22,1方程通解方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定

24、)1,2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定平衡点稳定的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122,1x0为平衡点为平衡点 研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件模型的推广模型的推广2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地37模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊聚类分析模糊聚类分析模糊综合评判模糊综合评判模糊线性规划模糊线性规划Part2:模糊数学模糊数学2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地38一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集

25、合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的的元素元素。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地39在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：Au A

26、u),(1,0:uuUAA 其中其中 AuAuuA ,0 ,1)(函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。A 模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地40 罗素（罗素（Russell）悖论：）悖论：在一个孤岛上唯一的一在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子人刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？取论域取论域U=全岛刮胡子的人全岛刮胡子的人，集合集合A=不给自己刮胡子的人不给自己刮胡子的人，用特征函数刻画

27、为，用特征函数刻画为 某人给自己刮胡子某人给自己刮胡子某人不给自己刮胡子某人不给自己刮胡子某人某人 ,0 ,1)(A 问题：问题：显然理发师显然理发师 ，那么理发师是否属于，那么理发师是否属于A？U 模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地41二、模糊集合及其运算二、模糊集合及其运算美国控制论专家美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的教授正视了经典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单，而概念的差异常以那么

28、简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊现象。的模糊现象。基于此，基于此，1965年，年，Zadeh教授在教授在Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志着模糊数学的诞生。标志着模糊数学的诞生。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地421、模糊子集、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射1,0)(,1,0:xxUAA 确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。

29、映射 称为称为 隶属函隶属函AA A数数，称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。)(xA xA模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者AA 是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。AA 模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地43模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是

30、。iixxA)(ix)(ixA如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为4032.028.011 A可省略可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地44（3）向量表示法）向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA（2）序偶表示法）序偶表示法)(,(,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为：UxxxAA)(模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模

31、基地452、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：UxxBxABA ),()(包含：包含：UxxBxABA ),()(并：并：UxxBxAxBA ),()()(交：交：UxxBxAxBA ),()()(余：余：UxxAxAc ),(1)(表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地46几个常用的算子：几个常用的算子：（1）Zadeh算子算子),(,min,maxbabababa （2）取大、乘积算子）取大、乘积算子),(ab

32、bababa ,max（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子),(abbaabbaba ,模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地47（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子),(,min),(1babababa （5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子),(abbababa ),(1（6）Einstain算子算子),()1)(1(1,1baabbaabbaba 模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地483、模糊矩阵、模糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。,1

33、0,)(ijnmijrrR当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。ijr当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，nnijrR )(ijr称称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地49并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmiji

34、jbaBA )(余：余：nmijcaA )1(例：例：则则设设,2.03.004.0,3.02.01.01 BA 3.03.01.01BA 2.02.004.0BA 7.08.09.00cA 8.07.016.0cB模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地50（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(为为A与与B的合成，其中的合成，其中 。1)max(skbackjikij 例：例：则则设设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.

35、05.01.04.0 BA 3.03.06.05.0BA 5.05.04.03.03.03.02.02.01.0AB模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地51（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的,)(nmijaA nmTijTaA )(转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。jiTijaa（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称,)(nmijaA ,1,0 nmijaA )()(为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中 ijijijaaa ,0 ,1)

36、(模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地52例：例：则则设设,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01 A 11001100001100115.0A 11001100001000018.0A模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地53三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合中的一个

37、随机运动集合;*A（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着制约着 的运动。的运动。可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。0u模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地54特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出nAuAu的次数的次数的隶属频率的隶属频率对对*00 （2）随着

38、）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的的次次数数*00lim)(0u对对A的隶属度：的隶属度：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地552、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评

39、分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地56模糊聚类分析模糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地57模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地58例：设

40、对于模糊等价矩阵例：设对于模糊等价矩阵,54321xxxxxU 16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01R模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地59模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地60例：设有模糊相似矩阵例：设有模糊相似矩阵 13.02.03.011.02.01.01R213.02.03.012.02.02.01RRR ).(13.02.03.012.02.02.01222RtRRR 模糊聚类

41、分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地61二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地62（1）标准差标准化）标准差标准化模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地63（2）极差正规化）极差正规化minmaxminijijijijijxxxxx （3）极差标准化）极差标准化minmaxijijiijijxxxxx （4）最大值规格化）最大值规格化jijijMxx 其中：其中：),m

42、ax(21njjjjxxxM 模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地64、建立模糊相似矩阵、建立模糊相似矩阵（1）相似系数法）相似系数法夹角余弦法夹角余弦法 mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相关系数法相关系数法 mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地65（2）距离法）距离法Hamming距离距离 mkjkikjixxxxd1),(Euclid距离距离 mkjkikjixxxxd12)(),(C

43、hebyshev距离距离jkiknkjixxxxd 1max),(模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地66（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()(算术平均最小法算术平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(几何平均最小法几何平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11.)(模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地673 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法）模糊传递闭包

44、法步骤：步骤：模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地68模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地69解：解：由题设知特性指标矩阵为由题设知特性指标矩阵为 43271510406469046150261080*X采用最大值规格化法将数据规格化为采用最大值规格化法将数据规格化为 67.05.029.0110.02.011.044.0157.060.0167.086.010.056.033.086.0189.0X模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学

45、建模基地70用最大最小法构造用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵得到 138.037.053.024.038.0156.070.063.037.056.0155.062.053.070.055.0154.024.063.062.054.01R 153.053.053.053.053.0162.070.063.053.062.0162.062.053.070.062.0163.053.063.062.063.01)(4RRt用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地71取取 ，得，得1 100000

46、1000001000001000001)(1Rt模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地72取取 ，得，得7.0 1000001010001000101000001)(7.0Rt取取 ，得，得63.0 1000001011001000101101011)(63.0Rt模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地73取取 ，得，得62.0 1000001111011110111101111)(62.0Rt取取 ，得，得53.0 1111111111111111111111111)(53.0Rt模糊

47、聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地74画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：54321 xxxxx0.70.630.620.531模糊聚类分析模糊聚类分析2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地75模糊聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地76模糊模式识别模糊模式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊

48、模式识别，是指在模式识别中，模式是模所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地77一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地78按最大隶属原则，按最大隶属原则，该人属于老年。该人属于老年。解：解：模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地79模糊模式识别模糊模式识别

49、2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地80模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地81阈值原则：阈值原则：模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地82二、择近原则二、择近原则1、贴近度、贴近度),(BA 表示两个模糊集表示两个模糊集A，B之间的之间的贴近贴近程程度度。模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地83 C=4.04.06.06.09.0 C=1.08.04.06.01.0 65.0)1.01(4.02

50、1),(0 CB 45.0)4.01(3.021),(0 CA 故故B比比A更贴近于更贴近于.模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地84模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地85模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地862、择近原则、择近原则模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地87模糊模式识别模糊模式识别2020/12/12华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地88模糊