湖北省荆州市2018届高三数学1月月考试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 1 湖北省荆州市 2018届高三数学 1 月月考试题 理 考试时间： 2018年元月 3日 15： 00-17： 00 试卷满分： 150分 祝考试顺利 考生注意： 本试题卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 ,考生作答时 ,将答案答在答题 卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回 第 卷 （选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合，集合，则集合 P Q的真子集个数是（ ） A 63 B 64 C 127 D 128 2已知 i是虚数单位

2、，若为纯虚数，其中，则对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 “” 是 “” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 九章算术 是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ” 其意思为 “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？ ” （ “ 钱 ” 是古代的一种重量单位）这个问题中，甲的所得比戊的所得多（ ） A B C D 5四棱锥 S-ABCD的底面为正方形，

3、SD 底面 ABCD,则如下结论中不正确的是（ ） A AB B BC 和 SA 所成的角等于 AD和 SC所成的角 C BC平面 SAD D SA 与平面 SBD所成的角等于 SC与平面 SBD所成的角 6已知正数 x， y 满足 ，则的最大值为 （ ） A 5 B 1 C -1 D -5 7已知函数的定义域是（，），函数 是 R上的 奇函数，则 =（ ） A B C 2 D 3 8 定义在 R上的偶函数 f(x)的导函数为 ,若对任意的实数 x，都有 2f（ x） +x 恒成立，则使成立的实数 x的取值范围为（ ） A B (-1,0)(0,1) C (-1,1) D 9过双曲线 =1（

4、0， b 0）的左焦点 F且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 AB 两点，点2 F到双曲线渐近线的距离为 d，若 |AB|=3d，则双曲线离心率为（ ） A B C D 10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ） A B C D 11定义 d（ a， b） =|a-b|为两个向量 a， b间的 “ 距离 ” 若向量 a，b 满足： |b|=； a b； 对任意 t R，恒有 d（ a， tb） d（ a， b），则（ ） A a b B a （ a- b） C b （ a- b） D （ a+b） （ a- b） 12已知函数 ，若曲线 y =f（ x）上的两条切线 l1，

5、l2满足 l1 l2，且 l1 l2=P，记点 P 的坐标为（ a， b），则下列关系正确的是（ ） A a+b =（ 2k+1） （ k Z） B a-b =2k （ k Z） C a+b =4k （ k Z） D a-b =4k （ k Z） 第 卷（非选择题 共 90分） 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 21题为必考题 ，每个试题考生都必须做答第22 23 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13已知 若向量 14若由抛物线 y=与直线 y=x+4围成的封闭图形的面积为 m，则 m= 15已知直线 y =ax 与圆 C：交于 A ， B 两点，

6、且 CAB 为直角三角形，则 CAB 的面积为 16已知函数，若函数的所有零点依次记为， ，? ,且 ? ，则 ? = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12分） 在中，三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知函数 cos(2x+B)为偶函数， b= （ I）求 b； （ ）若 a=3，求 的面积 S 18 （ 本小题满分 12分 ） 已知单调递增的正项等比数列满足 a1+a3+a5 =42，且 a3+9是 a1， a5的等差中项 （ 1） 求数列的通项公式； （ 2）将 an的底数与指数互换得 bn，设数列的前 n 项和为 Tn，求证： T

7、n 3 19（本小题满分 12分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， ACB =90 ，四边形 BCC1B1是边长为 4的正方形， AC =2 （ I）若 D为 BC的中点，在棱 BB1上是否存在一点 E，使 DE 平面 A1EC1 ? （ ）若 F是棱 AA1上的一点，当 AF =时，求二面角 B1-FC-C1的大小20（本小题满分 12分） 已知椭圆 C：（ a b 0）过点（ 1，），左焦点为 F（ -c， 0），且椭圆 C关于直 线 x=c对称的图形过坐标原点 （ I）求椭 圆 C的方程； （ ）已知直线 l： y=kx+m（ m 0）交椭圆 C 于 A， B 两点，若椭圆

8、C 上存在一点 P 满足，求实数 的取值范围 21（本小题满分 12分） 已知函数（ a R）的图象过定点（ 1， -1） （ I）求函数 f（ x） 的单调区间，并求出 f（ x）的极值； （ ）若，证明：当时，函数的图象恒在函数图象的上方 请考生在第 22、 23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22（本小题满分 10分）选修 4 -4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为 ，以坐标原点 O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 （ I）求直线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； 4 （ ）判断直线 C1与曲线

9、 C2的位置关系，若相交，求出弦长 23（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （ I）当 a=1 时，求不等式的解集； （ ）当 a=2时，函数的最小值为 t，求 m+n 的最小值 5 数学（理科）参考答案 一、选择题 ABBD BACD CACD 二、填空题 13.1 14.1815.1 16. 三、 解答题 17.解：（）在 ABC 中， 由 f(x)为偶函数可知 ，所以 B= 又因为 （ 0， ，所以 B=. 故 f(x)=2sin(2x+)=2cos2x,b=.? ? ? 6分 （）因为 B=， b=，由正弦定理得 sinA=，所以 A= 当 A=时， C=， AB

10、C的面积 S=； 当 A=时， C=， ABC的面积 S=. ? ? ? 12 分 18.解：（）设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，依题意有 2（ a3+9） =a1+a5,代入 a1+a3+a5=42得 a3=8,a1+a5=34,故 ,解得 . 因 为数列 an为单调递增的正项等比数列，所以 a1=2， q=2. 于是 数列 an的通项公式为 ? ? ? 6分 （）由（）知， bn=n2，所以 。 所以当 n=1时， T1=1;当 n=2 时， T2=1; 当 n时， Tn= . ? ? ? 12分 19.解：（）因为四边形 BCC1B1是边长为 4的正方形，所以 BC=BB1=

11、4, 又因为 D为 BC的中点，所以 BD=2，因为 ,则 AC BC, 由已知 CC1 平面 ABC,则 CC1 AC,所以 AC 平面 BCC1B1. 因为 A1C1AC,所以 A1C1 平面 BCC1B1,而 DE BCC1B1,所以 DE A1C1. 6 若在棱 BB1上存在一点 E，使得 DE 平面 A1EC1,则需 DE EC1,则此时应有 EBD. 设 BE=x，则 ,即 ，所以 x2-4x+8=0，而 , 故此方程无实数根，即 DE EC1不可能成立 . 于是在棱 BB1上不存在一点 E，使得 DE 平面 A1EC1. ? ? ? 6分 （）以 C为原点， CA， CB， CC

12、1所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系， C（ 0， 0， 0）， B1(0,4,4),F(2,0,2), 设平面 B1CF 的法向量为 ,由得 ， 令 z=-1得 . 又平面 CFC1的法向量为 ，则 cos=60， 即二面角 B1-FC-C1的大小为 60 . ? ? ? 12 分 20.解：（）依题意知椭圆 C过点（ 1，），则 ,又因为椭圆 C关于直线 x=c对称的图形过坐标原点，所以 a=2c.又因为 a2=b2+c2,所以 a2=4,b2=3,于是椭圆的方程为 .? 4分 （）设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由 得 x1+x2= x0, y1+

13、y2= y0， 且 . 联立 ,消去 y，得 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 则 =64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)0,即 m21时， ,f(x)单调递减， 所以函数 f(x)的单调递增区间为（ 0， 1），单调递减区间为 . 所以当 x=1时， f(x)极大值 =f(1)=-1,没有极小值 .? 5分 （）由（）知，即证 lnx-x0时， ,即 h(x)在单调递增，所以 h(x)h(0)=0, 即当 x0时， 恒成立， 于是当时，函数的图象恒在函数图象的上方 .? 12分 22.解： （）由 ，消去 t得 x+y-3=0,即直线 C1的普通方程为 x+y-3=0

14、。 由 得 x2+y2=8y,即曲线 C2的直角坐标方程为 x2+（ y-4） 2=16. ? 5分 （）由（）知， 曲线 C2： x2+（ y-4） 2=16表示圆心为（ 0， 4），半径为 4的圆 . 则圆心（ 0， 4）到直线 x+y-3=0的距离为 ， 故直线 C1与圆 C2相交 , 其弦长为 . ? 10 分 23解：（）当 a=1 时，不等式为 2|x-1|-|x+2|,即 2|x-1| |x+2|， 两边平方得 x2-4x 解得 , 所以 f(x)的解集为 ? ? 5分 （）当 a=2时， f（ x） =2|x-2|-|x+2|=, 由此可知 ， f(x)min=t=f(2)=-4. 所以 ， 于是 m+n=(m+n)()=, 当且仅当时取等号 . 所以 m+n的最小值为 . ? 10 分