2023年12月全国T8联考数学答案.doc

1、届高三第一次学业质量评价(T联考)数学试题参考答案及多维细目表题号 答案 C B A C B D C D ABD AC ABD ACD【解析】g(x)为 偶 函 数,g(x)g(x),即f(x) xf(x) x,两边同时对x 求导得f(x) f(x) , 【答案】C 即f(x)f(x),【解析】由 zizi i 可得(i )z令x,则f(),z i ,故选 Ci f(x)为奇函数,f(x) f(x),又f(x)f(x),即f(x)f(x), 【答案】B 联立f(x) f(x)得f(x)f(【解析】M x|x ,N x|x ,故 Mx),即f(x)f(x), Nx x,故选 Bf( )f( )f

2、() 【答案】A ,故选 C【解析】若an ,则 Sn Sn, S 是 递 增 数n 【答案】D列, “an”是“S 是递增数列”的充分条件;n【解析】依 题 意,设 P(x,y),Q(x,y),若S 是递 增 数 列,则 Sn Sn,an (nnB(x,y),A(x, ),直线 PQ、QB (QA ) 、BP 的 ),但 是 a 的 符 号 不 确 定, “an ”不 是“S 是递增数列”的必要条件,故选 An ( y )斜率分别为k,k,k,则kx ( x )yx 【答案】C【解析】选项 A:有 可 能 出 现 点 数 ,例 如 ,;选项 :有可能出现点数 ,例如 ,; B 选项 :不 可

3、 能 出 现 点 数 , C ( ) ,如果出现点数 ,则方差大于或等于 ,不 可能是 ; 选项 :有可能出现点数 ,例如 ,故选 D C k,kk ,k, k x y x y , ,两 式 相 减 得a b a bxx y y ,a b(yy) (yy) b b ,即k ,x) k (xx) (x a ab ,b c b ,e , a a a a 【答案】B【解析】 sin( ) cos sin cos 椭圆的离心率e ,故选 D 【答案】ABD sin( ),【解 析 】连 接 AC,AD, 则 NP 是 sin( ) sin ( ) ,故选 Bsin ()( ) cos 【解析】设圆台的

4、上底面半径为 ,下底面半径 , r R母线长为 ,球的半径为 , l R 球与圆台的两个底面和侧面均相切, , , lrRR S侧 圆 台 的 侧 面 积 与 球 的 表 面 积 之 比 为 S表 【答案】DACD 的 中 位 线,NP DC,故 选 项A 正确;连 接 BD,BA,则MNAD,MN 平面 ACD,即 MN平面 ACP,故选项 B正确;连接 BD,BA,AD,则 平 面 MNP 即 为 平 面BAD,显然 DC 不垂直平面BAD,故选项 C错误;PM BD, DBC 即 为 PM 与BC 所 成 的(rR)l (),故选 D R 角, DBC ,故选项 D 正确故选 ABD 【

5、答案】A C 【答案】C【解析】方法一:将f(x) sin (x)的图像向数学试题参考答案第页共页左 平 移 个 单 位 得 到 g (x ) 累加得 S Snn n(n),解 得 S n nsin (x ) sin(x 图像,)的n(n,nN ) ,当n 时,S n n满足上式,S ,ng(x)的 图 像 与 f(x)的 图 像 关 于 y 轴 对 称,g()f( ),即cossin, , ,经检验,满足题意,故选项 A 正确,选项 B不正确;n n当n时,a ,nSnSna,故选项 A 正确;n n当n时,a 单调递增,又an 设f(x)的周期为 T,g(x)的 图 像 是 f(x)的S

6、,aSS ,图像 向 左 平 移 T个 得 到,g(x)的 对 称 轴 过an单调递增,且a aaaaaaaaa,当n时, Sn单调递减,当nf(x)的对称中心,故选项 C 正确;时, Sn单调递增,且SS,当n 时,Sn当 m 时,f (m )的 值 域 为, , 时,g(n)的值域为, , , , 取得最小值,故选项 B正确;又 S ,S , 当 Sn 时,n 的 最小值为,故选项 C 错误;选 AC 方法二:由题意可得g(x) sin (x ) sin(x),g(x)的 图 像 与 f(x)的 图 像 关 于 y 轴 对 Sn Sn当n,时, ;当n,时, an an Sn ;当n时,

7、, anSn当n,时,考虑 的最小值,an称,g(x)f(x),即sin(x) sin ( x),又当n,时,恒为正且单调递减,Sn 恒an为负且单调递增, xxk,kZ,Sn Sn单调递增,当n时, 取得最小值,故an an 解得k ,kZ, ,故 选项 D 正确,故选 ABD 【答案】ACD选项 A 正确,选项 B不正确;f(x) sin(x ),令x k,kZ,得f(x)的对称中心为(k ,),kZ,g(x) 【解析】由题意得 f(x) xsinxx ,e ex设F(x)f(x)xsinxx ,则F(x) x ,e e易得当x时,F(x),当x时,F(x),sin(x ),令x,kZ,得

8、k 函数 F(x)在 ( ,)上 单 调 递 减,在 (,)上单调递增,g(x)的对称轴为xk,kZ,g(x)的 对称轴过f(x)的对称中心,故选项 C 正 确;选项 D 的判断同上 【答案】ABD【解 析 】由 nSn (n)Sn (n)n F()F( ),即f() f(),f() e,选 e e项 A 正确; sinf()f( ) ,e( ) n,nN( ) 得 S Snnn n nnf()f( ),选项 B错误;S S S S(n,nN ) , , , , 设h(x)f(x)f(x)xsinxx ,eSn Sn n,n n则h(x)(x sixnx)cosxxsinx x ,x ,e e

9、数学试题参考答案第页共页设r(x)cosxxsinx,则当x时,r(x) (x) (sinxcosx) (); 【答案】【解析】方法一:作向量OAa,ABb,则OBab,由题意OAOB,且 AB OB ,当x时,sinxx,且cosx,r(x);当x时,r(x)sinxcosx sin(x ), ,a,b 的夹角为 OAB 方 法 二:由 b ab 平 方 得 b 当x( ,)时,r(x) ,r(x)单 调 递 增,( ab b ) , (ab)a,ab a a,代 入 b ( a ab b )当x(,)时,r(x) ,r(x)单调递减,又r(),r(), x(,),使得r(x),即当x (,

10、x)时,r(x) ,当x (x, )时,r(x);综上:当x(,x)时,r(x) ,即h(x)a ,cos a,b ab得 b a b ,a,b 的夹角为 【答案】ln ,ln)【解析】令f(x)lnx,则f(x)lnx ,x x,h(x)单调递增;当x (,e)时,f(x),f(x)单调递增;当x (x, )时,r(x),即h(x), 当x (e, )时,f(x) ,f(x)单 调h(x)单调递减, 递减,h(),当x时,h(x)h(),且当x (,)时,f(x),当x(, )时,当x时,易证xsinx,h(x), f(x),且当x时,h(x),方 法 一: 原 不 等 式 等 价 于 (

11、,),h( ) 又x e ex, x, 或lnx lnx a, a, x x ,方程h(x) 有两个解,即方程f(x)e ef(x) 有两个解,选项 C 正确;e由F(x)f(x)x 可 得f(x) exF(x),f(x)ex F(x)F(x) ,e有且只有一个整数解,f()af( ),即实数a 的取值范围为ln ,ln )方法二:原不等式等价于(lnx alnxx),x若a,则lnxa 或lnx,lnx显然没有x x x令u(x)F(x)F(x),则u(x)F(x) 整数解, xsinxF(x) x exsinxxsinxe ex x要满足lnxa 有且只有一个整数解,又f( )xcosx(

12、xsinx)r(x)x , x e e由以上分析可知,当x( ,)时,r(x) ,即u(x),ln ln f()f( ),则f()af( ),可 得ln ln ;a 若a,则lnx或lnxa,lnx有无数多x x xu(x)单 调 递 增,u(x)u()F( )F(),f(x),个整数解,lnxa没有整数解;xf(x)在 区 间(,)上 单 调 递 增,选 项 D 正确故选 ACD 若a,不等式显然有无穷多个整数解,综上,实数a的取值范围为ln ),ln 【答案】【解析】(x ) (x) (x) (x),x展开式中x 的系数为 C C 【答案】 ;x y y ,则有tanb【解析】方法一:设P

13、OF ,又a数学试题参考答案第页共页bFP 垂直于渐近线y x, |OP|a,|PF |axx yy过 M 点的切线PQ: , a bb,b,cosa, sinc cb xx b即y , ya y代入bxay,化简得(aybx )xP 中,由 正 弦 定 理: a在 OFsin ( )c,sin a bxxab,bxxab,又bx ay ab,a bxabxxab,bxabxxab,bca c,a ba, a a c 即x xxa,x,xabSPOQ axx abbb ,b,a b,ec aab , a方 法 二:依 题 意 可 得 P(a c ),ab,F ( c,) ,cb ,b,a ,故

14、双曲线的方程为x y 【解 析 】( )由 题 意 得 lna lna lna,F (c,) ,a aa,aa, PF (a c)(acb) c a c ,又 PO a,OF c,在OPF 中,OF PF PO PO PF cosF c, POac 即cacaa a ,化简得ca,又S 是等比数列,na (Sa ) (Sa) (S ) , a (Sa ) (Sa) (S ) ,a,aa,( )(aa ) , aa a,又an,故a,a,又an,故a,又lna 是等差数列,故 a 为等比数列,首项n na ,公比 ,a q a ce a ,an的通项公式为a n 分 nan的通项公式为a n 分

15、()an,nbn logan logan logn lognnnn,x y a b令Cn ()nb,则C bnnCn bnn(bn bn)(bn bn)(bn bn)(n ),记 的前 项和为 , C n T nNn ( ) ( ) (T C C C C b b 如 图,过 P 点 的 切 线 PQ 与 双 曲 线 切 于 点M(x,y),设P(x,y) ,Q(x,y),又 P,Q 均 在 双 曲 线 的 渐 近 线 上,故 设 P(x,()b) ,数列()nb 的前项和为 n 分bx),Q(x x),ba ab又tan b, sin tanaa tan (ab ) ab ,ab 【解析】(

16、)由 ABC,ACB,cosB cos (AC),cos (AC)cos (AC) , sinAsinC , 又a,b,c成等比数列,故bac, SPOQ OP OQ sin , sin BsinAsinC(b x )xa(bx ) xa ab ab ,sinBbaxx ,方法一: cosB ,又cosBacb ac数学试题参考答案第页共页acac acac ,当且仅当ac时,等ac ac A A) A 号成立,ac,又B,cosB , P(X)P(A A A A AA AA A AA A A AA AA A A ABC 分方法二:若B,则cosB,代入cos (AC) ,则cos (AC),

17、cosBA,C,AC若B ,则 cosB ,代 入 cos (AC) A A AA AAAA A AAA AA AA AAA A) A AA AAA A) ; P(X)P(X)P(X)P(X,则cos (AC) (舍),cosB) ; 分 综上ABC 分X 的分布列为:( )b,|AB|,X |AB|BD|sin ,SABD P即 |BD| , |BD|,|CD| ,由余弦定理:在ACD 中,|AD|AC|CD| |AC|CD|cos DCA ( ),又 由 正 弦 定 理: |AD|sin |CD|,sin CADE(X) E(X) 分 【解 析 】() 菱 形ABCD 中,ABC ,故 A

18、 ,ABAD, , sin CAD sin CAD 分 ABD 是 等 边 三角形,又EFDB, EF BD, PEF 也是等边三角形,平面 PEF平面 BCDEF,取 EF 的中点O,则 POEF,且 PO 平 面 BCDEF,连 接 DO, 【解析】记Ai(i,)表示“第i局甲获胜”,由BFPD,而 POBF,DOPO,( )设 A 表示“比赛一共进行了四局并且甲班最BF平面 POD,BFOD,终获胜”,则事件 A 包 括 三 种 情 况:AAAA,延长 DO 交AB 于点N ,则 DNAB,A AAA,AA AA,这 三 种 情 况 互 斥,且又AOBD,O 为ABD 的重心,A,A,A

19、,A 相互独立,P(A)P(A AAA A AAA AAAAA A AAA AAAA)P(AAAA)P(A AAA)又O 点 在EF 上,EFBD,EF DB,即 分P(A AAA) AAA) 分( )由题意,X 的所有可能取值有,P(X)P(A A A) A A) , P(X)P(A A A AAA A AAA A AAA A AA( )方 法 一:由 ( )连 接 CO,设 ABD 边 长 为a,则|PO| a,|CO| ()a, PO平面BCDEF,直线 PC 与 平 面BCDEF 所 成 角 为 PCO,|PO| ,解得,tanPCO |CO| EF 是ABD 的中位线,数学试题参考答

20、案第页共页在棱锥 PBCDEF 中,设 OC 与BD 相 交 于 M点,连接 PM,又设平面 PEF平面 PBD 于直p (yy) y y线l,则l过点P,EFBD,EF平面 PBD,EF平面 PBD,又平面 PEF平面 PBD 于直线l,EFl,同理lBD,由上可知 POEF,COEF,EF平面 POM,l平面 POM, OP M 就是平面PEF 和平面PBD 所成二面角的平面角,又 POOM,且 POOM, OP M ,即平面 PEF 与平面PBD 的夹角为 方法二:以 为 坐 O分p p p p ,当时,SHAB 取最小值p,p,p,抛物线C 的方程为:y x 分()假 设 存 在 E

21、(x,y ) ,设 M (x,y ) , N (x,y ) ,由题意,MN 斜率不为零,设 MN 的方程为xt(y) 代入yx,代入yx,yyt,可得ytyt,yyt,yy yy ,xx xx ,(yy) (yy)标 原 点,以 OF,yy)yyy,OC,OP 为x 轴,yy轴,z 轴 建 立 空 间直角 坐 标 系 (如 图即t(y)yy,y所 示 ),设 菱 形ABCD 边 长 为 , ,故存在定点E( ,)满 足 题解得 y则 P(,) ,E(, , ),F(, , ),B(, , ),D(, , ),C(, 意 分 【解析】( ) f(x) ex ,当 x 时,ex,),PO 平 面

22、BDEF, PCO 即 为 f(x),f(x)在(, )单调递增,PC 与平面BCDEF 所成的角,tanPCOPO OC ,解 得 ,OC平面 PEF, a aee ,f()e e( ),f()ee ae ee e, OC(,)即为平面 PEC 的法向量设平面 PBD 的法向量为n (x,y,z) ,x,nBD, 则 即nPB,x z, y n取n (,) ,则 cos OC,n OCOC nf(x)存在唯一的零点x,且x 分 时,g(x)x axa 当 x x x ,eg(x) xaexxax x ,x,e ea,ex,xa,g(x), g(x)在( ,x)单调递增,x, , OC,n ,

23、平面 PEF 与平面PBD 的夹角为 分 【解析】( )由题意,AB 斜率不为零,设 AB:xyp代入y px(p),y pyp,设 A (x,y ) ,B (x,y ) ,则 y y )g()a a g(x e ee ,e 又g()aa a(e ) e e e( )( e)ee e ep,y,ypp|ySHAB y| ,eg(x)在 ,x 有唯一的零点,(注:取g( )数学试题参考答案第页共页也可以); a(x)xlnx,当xx 时,g(x) lnxa lnxx设h(x)lnxa(x)xlnx,则 h(x)h(ex ), a ln ln x ,g(x)在(x, )单调递减,xxx, ex e

24、,xxe,而xe时,h(x) a lnx ax e e e ,g() lna ln( )eln , ,eg(e)(e)a(e )(e) ) e(e , g(x)在(x, )有唯一的零点,综上,函数g(x)有两个零点 分( )由( )可知g(x)g(x) ,其中xxaxx,由g(x)得x x ,即 axx,由g(x)得x x ,即e ( ) ,由 ( ) 得 x xx a e x g x lnx eh(x)在(e, )单调递减,x x , eh(x)在(e, )单调递减,x x ,要证ex x xx ,即 证ex exeex x xxxx ,即e证e xx xxx exxx,即证 e e xxx

25、exxx,设 t,则即证etett,设h(t) etett,t,则h(t) etet,当t时,h(t)单调递增,h(t)h(),即证 分数学试题参考答案第页共页多维细目表难易度 题型 题号 考查知识板块 考查知识方法 分值简单 中等 较难 复数 复数运算、模的运算 集合 集合运算,指数对数不等式 简易逻辑 充要条件 统计平 均 数,中 位 数,众 数 与 方 差 的运算 三角恒等变换 三角恒等变换 选择题 立体几何 圆台侧面积与球的表面积 函数与导数 函数基本性质综合 解析几何 椭圆中的斜率计算、离心率 立体几何 平行与垂直的判断 三角函数 图像变换,三角函数的性质 数列 数列递推式 函数与导数 构造法、函数的性质及其应用 二项式定理 二项式展开式 向量 向