河北省石家庄市行唐县三中、正定县三中、正定县七中2017届高三数学12月联考试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 1 行唐县第三中学、正定县第三中学、正定县第七中学 2016 2017 学年第一学期 12 月联考试卷高三数学（理科） 时间 :120 分钟 满分 :150 分 第 卷 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项 1已知集合 A x|x2 2x 30 ， B x| 2 x 2，则 A B ( ) A 2， 1 B 1,2) C 1,1 D 1,2) 2 设 z 11 i i， 则 |z| ( ) A.12 B. 22 C. 32 D 2 3设向量 a， b 满足 |a b| 10， |a b| 6，则 a b ( ) A

2、1 B 2 C 3 D 5 4抛物线 y2 8x 的焦点到直线 x 3y 0 的距离是 ( ) A 2 3 B 2 C. 3 D 1 5 设 m， n 是两条不同的直线 ， ， 是两个 不同的平面 ( ) A 若 mn ， n ， 则 m B 若 m ， ， 则 m C 若 m ， n ， n ， 则 m D 若 mn ， n ， ， 则 m 6 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A.18 B.38 C.58 D.78 7 若变量 x， y 满足约束条件?x y8 ，2y x4 ，x 0，y 0，且 z 5y x 的最大值为

3、 a， 最小值为 b， 则 ab 的值是 ( ) A 48 B 30 C 24 D 16 8将函数 y 3sin? ?2x 3 的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数 ( ) A在区间 ? ?12， 712 上单调递减 2 B在区间 ? ?12， 712 上单调递增 C在区间 ? ? 6 ， 3 上单调递减 D在区间 ? ? 6 ， 3 上单调递增 9设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3，则 m ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 10 由曲线 y x， 直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( ) A.103 B 4

4、 C.163 D 6 11已知抛物线 C： y2 8x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 ，则 |QF| ( ) A.72 B.52 C 3 D 2 12已知函数 f(x) ax3 3x2 1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 a 的取值范围为( ) A (2， ) B ( ， 2) C (1， ) D ( ， 1) 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 直线 x 2y 5 5 0 被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的弦长为 _ 14 在 ABC 中 ， 内角 A， B， C 所对的边分别是

5、 a， b， c.已知 b c 14a， 2sin B 3sin C， 则 cos A 的值为 _ 15 若数列 an的前 n 项和 Sn 23an 13，则 an的通项公式是 an . 16已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC 2，则此棱锥的体积为 _ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (12 分 ) C? 的内角 ? ， ? ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 向量 ? ?,3m a b? 与 ? ?cos ,sinn ? ? ?平行 （ I）求 ? ； （ II）若

6、 7a? ， 2b? 求 C? 的面积 18. (12 分 )如图 ， 四棱锥 PABCD 中 ， 底面 ABCD 为矩形 ， PA 平面 ABCD， E 为 PD 的中点 3 (1)证明： PB 平面 AEC； (2)设二面角 D AEC 为 60 ， AP 1， AD 3， 求三棱锥 EACD 的体积 19. (12 分 )端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。 （ 1）求三种粽子各取到 1 个的概率 ； （ 2）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望 20

7、 (12 分 )已知点 A(0， 2)，椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为32 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2 33 ， O 为坐标原点 (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 21 (12 分 )设函数 f(x) 3x2 axex (a R) (1)若 f(x)在 x 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)若 f(x)在 3， ) 上为减函数，求 a 的取值范围 请考生在第 22、 23 题中任选一题

8、作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22. (10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为? x 4 5cos t，y 5 5sin t， (t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标 (0,0 2) 23. (10 分 )选修 4 5：不等式选讲 4 已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x) x 3. (1)当 a 2 时，求不等式 f(x) 1，且当 x ? ? a2， 12 时，

9、f(x) g(x)，求 a 的取值范围 高三数学理科答案 1解析：选 A A x|x 1 或 x3 ，故 A B 2， 1 2 解析：选 B z 11 i i 1 i（ 1 i） （ 1 i） i 1 i2 i 12 12i， 则 |z| ?122 ? ?122 22 3解析：选 A 由条件可得， (a b)2 10， (a b)2 6，两式相减得 4a b 4，所以 a b 1. 4解析：选 D 抛物线 y2 8x 的焦点 F(2， 0)到直线 x 3y 0 的距离是 d 2 02 1 5 解析：选 C 选项 A、 B、 D 中 m 均可能与平面 平行、垂直、斜交或在平面 内 6解析：选 D

10、 由题知所求概率 P 24 224 78 7 解析：选 C 约束条件?x y8 ，2y x4 ，x 0，y 0表示以 (0， 0)， (0， 2)， (4， 4)， (8， 0)为顶点的四边形区域 ， 检验四个顶点的坐标可知 ， 当 x 4， y 4 时 ， a zmax 54 4 16；当 x 8，y 0 时 ， b zmin 50 8 8， a b 24 8 解析：选 B 将 y 3sin? ?2x 3 的图象向右平移 2 个单位长度后得到 y3sin? ?2? ?x 2 3 ，即 y 3sin? ?2x 23 的图象，令 2 2k2x 23 2 2k ，k Z，化简可得 x ? ?12

11、k ， 712 k (k Z)，即函数 y 3sin? ?2x 23 的单调递增区间为 12 k ， 712 k(k Z)，令 k 0，可得 y 3sin? ?2x 23 在区间 ? ?12， 712 上单调递增 9解析： 选 C 由 Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3，得 am Sm Sm 1 2， am 1 Sm 1 Sm 3，所以等差数列的公差为 d am 1 am 3 2 1， 5 由?am a1（ m 1） d 2，Sm a1m 12m（ m 1） d 0， 得?a1 m 1 2，a1m 12m（ m 1） 0， 解得 ?a1 2，m 5， 10 解析：选 C 作出曲线 y x

12、和直线 y x 2 的草图 (如图所示 )， 所求面积为阴影部分的面积 由 ?y x，y x 2 得交点 A(4， 2) 因此 y x与 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ?04 x（ x 2） dx?04( x x 2)dx (23x32 12x2 2x)|40 23 8 12 16 24 163. 11解析：选 C 过点 Q 作 QQ l 交 l 于点 Q ，因为 ，所以 |PQ| |PF| 34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以 |QF| |QQ| 3. 12解析：选 B 当 a 0 时， f(x) 3x2 1 有两个零点，不符合题意，故 a0. f( x) 3ax2

13、 6x 3x(ax 2)，令 f( x) 0，得 x 0 或 x 2a，由题意得 a0，解得a ，所以 3c= . 故 ? ABC 的面积为1 3 3b c s in A22= .7 18. 解： (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O， 连接 EO. 因为 ABCD 为矩形 ， 所以 O 为 BD 的中点 又 E 为 PD 的中点 ， 所以 EO PB. 因为 EO?平面 AEC， PB?平面 AEC， 所以 PB 平面 AEC. (2)因为 PA 平面 ABCD， ABCD 为矩形 ， 所以 AB， AD， AP 两两垂直 可取 n1 ? ?3m ， 1， 3 . 又 n2 (1， 0

14、， 0)为平面 DAE 的法向量 ， 8 由题设 |cos n1， n2 | 12， 即 33 4m2 12， 解得 m 32. 因为 E 为 PD 的中点 ， 所以三棱锥 EACD 的高为 12， 三棱锥 EACD 的体积 V 13 12 3321238 . 19解： (1)令 A 表示 事件 “ 三种粽子各取到 1 个 ” ，则由古典概型的概率计算公式有 P(A) C12C13C15C310 14. (2)X 的所有可能值为 0， 1， 2，且 P(X 0) C38C310715， P(X 1)C12C28C310 715， P(X 2) C22C18C310 115. 综上知， X 的分

15、布列为 X 0 1 2 P 715 715 115 故 E(X) 0 715 1 715 2 115 35(个 ) 20 解析 ： (1)设 F(c,0)， 由条件知 ， 2c 2 33 ， 得 c 3. 又 ca 32 ， 所以 a 2， b2 a2 c2 1. 故 E 的方程为 x24 y2 1. (2)当 l x 轴时不合题意，故设 l： y kx 2， P(x1， y1)， Q(x2， y2) 将 y kx 2 代入 x24 y2 1 得 (1 4k2)x2 16kx 12 0. 当 16(4k2 3)0，即 k234时， x1,2 8k2 4k2 34k2 1 . 从而 |PQ| k2 1|x1 x2| 4 k2 1 4k2 34k2 1 . 又点 O 到直线 PQ 的距离 d 2k2 1. 所以 OPQ 的面积 S OPQ 12d| PQ| 4 4k2 34k2 1 . 9 设 4k2 3 t，则 t0， S OPQ 4tt2 4 4t 4t. 因为 t 4t4 ，当且仅当 t 2，即 k 72 时等号成立，