气体动力学lecture4课件.ppt

1、内容提要 基本原则 连续性方程 动量方程 能量方程 基本方程组 声速与马赫数定义、可压缩性概念 IV：理想气体运动方程IV-1:基本原则 需要知道所描述的物理量（6个）：物性参数：密度 ，压力 ，温度 运动参数：速度 构造方程的基本定律：质量守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 定解问题的四个方面：状态方程泛定方程初始条件边界条件 pT),(321VVVV IV-1：基本原则推导基本方程的原则续系统选取：(1)流体团（随体观点即拉格朗日法，封闭系统）或控制体（当地观点即欧拉法，开口系统），它们在任意时刻所包含的流体物质处于准静态过程。(2)依据系统的微观性和宏观性，又可以选取微分法（需要连续性

2、假设）和积分法（对间断也成立）。要点：六个参数，五个微分方程，四个方面，三种定律，两种观点和形式，一个目标。IV-1：基本原则本节授课原则 参阅连续介质力学课程、流体力学课程，详细推导忽略。简单回忆。IV-1：基本原则物质导数 定义：封闭系统中的流体在运动过程中其所携带的物理量随时间的变化率。微分形式（也称质点导数）：积分形式（也称随体导数）：导数迁移导数当地VttxtttVxtxttt),(),(lim),(dd0 边界运动引起的变化当地变化)()()(ddttttnVtIV-1：基本原则IV-2:连续性方程 也称质量守恒方程 微分形式 积分形式(）对于拉格朗日方法，取0ddor 0VtVt

3、 0dd)()(ttnVVt所包围的体积运动的边界由以速度VVVIV-2：连续性方程连续性方程两种形式的统一 微分形式到积分形式：直接积分 积分形式到微分形式（可微假设）：利用 得 再利用高斯定理 ，得 边界运动引起的变化当地变化)()()(ddttttnVtVnVtt)()(0)()(tttnV 00)()(VVtttIV-2：连续性方程连续性方程的利用 已知 化简 答案0ddor 0VtVt为任意标、矢量 VtJtVtVtVtJdd IV-3:动量方程 原理：牛顿第二定律 微分形式 积分形式pftVfIpVVtV1ddor dd)()()()(ttttnpfnVVVVtIV-3：动量方程含

4、涡量的方程 涡量定义 兰姆(Lamb H.，A Treatise of Hydrodynamics,1932;看完兰姆的水动力学，不觉得水是液体)方程，由动量方程导出（p.42）克罗柯(Crocco)方程:将 写成 ，带入兰姆方程得V21 2VpfVtV/dddphsT/phsTtVsTVhV 总焓2 2IV-4：动量方程克罗柯方程的意义 对于定常 、均能 ，方程简化为 因此 无旋 均熵0tV022VhsTV IV-4：动量方程IV-4:能量方程 基本形式：总能方程 动能方程：内能方程：e 温度方程（量热完全气体）焓方程h、熵方程221Ve221VKIV-4：能量方程能量方程：基本形式 原理：

5、总能量守恒 积分形式：微分形式：)()()()()(ddtttttqnVpVfnVVtqVfVptqVfVpVt dd 即IV-4：能量方程动能方程 将动量方程 两端点乘以 得 于是IV-4：能量方程pftV1d/dV dtdKVVdtddtVdVpVVfdtdK21 1 pVVfVKdtdKdtdKdtKd内能方程 将总能方程 减去动能方程 ，并利用 得内能方程 即qVpteddqVpVft dd pVVfdtdKpVVpVp)(qVpeVte)()(IV-4：能量方程温度方程 对于量热完全气体 利用内能方程得 TcevqcVcpTVtTvv)()(IV-4：能量方程焓方程 由内能方程 和连

6、续性方程 得 由焓得定义 得qVptedd0dd Vtqtptedddd/peh dd1dd dd1dd1dddddd2qtpthtpqtptpteth即IV-4：能量方程量热完全气体焓方程 温度方程 量热完全气体焓定义 因此焓方程为qcVcpTVtTvv)()(TchpqVpthqVphVthdd)()(即IV-4：能量方程绝热流动 对于绝热流动 对于量热完全气体因此 积分得等熵关系式 d1dphpTRTchpd11ddd0dd d1dppppconstpIV-4：能量方程熵方程 由热力学基本关系式 得即 对于绝热流动pdvTdsdedtd1dtddtddtdpqVppesT qsTdtdI

7、V-4：能量方程0d s量热完全气体压力方程 利用 有qVpthdd dd1ddqtpthqVptp)1(ddIV-4：能量方程IV-5:一维定常绝热流的积分型方程 积分形式的优点：不需要可微性和连续性假设，特别适应于有间断（激波等）的流动描述111,pV12222,pVIV-5：一维定常问题质量方程 一般形式 特殊情况：定常、边界固定 只有左右两个截面对积分有贡献 0dd)()(ttnVVt 0)(tnV01122VV22V右边界：11V左边界：IV-5：一维定常问题动量方程 一般形式 特殊情况：定常、边界固定、不考虑体积力 只有左右两个截面对积分有贡献 dd)()()()(ttttnpfn

8、VVVVt 0)(tnpnVV2222pV右边界：1211pV 左边界：12112222pVpVIV-5：一维定常问题能量方程 一般形式 特殊情况：定常、边界固定、不考虑体积力、绝热 只有左右两个截面对积分有贡献，并且有)()()()()(ddtttttqnVpVfnVVt 021)(2)(ttnVpVenVp)(2121211222总焓守恒VhVh1122VVIV-5：一维定常问题2222221VhV右边界：1112121VhV左边界：hIV-6:理想气体基本方程组 微分形式基本方程组：称为欧拉方程 定解条件 求解思路IV-6：方程组微分形式方程组：非守恒形式 连续性方程 动量方程 能量方程

9、 热状态方程 和量热状态方程 封闭性：7个方程，7个未知数 0dd1or 0dd VtVtpfVVtVtV1)(dd qVfVpVet 21dd2 ),(Tpp),(pTee 321,VVVeTpIV-6：方程组微分形式方程组：守恒形式 连续性方程 动量方程 能量方程 热状态方程 和量热状态方程 封闭性：7个方程，7个未知数0Vt fIpVVtVqVfVpVt),(Tpp),(pTee 321,VVVTpIV-6：方程组方程组 由 和 得 方程组的一般形式 5个微分方程，5个未知数 ),(Tpp),(pTee),(),(VpeppJzHyGxFtW,321VVVIV-6：方程组守恒变量 也称未

10、知数321VVVW总能动量分量动量分量动量分量密度321IV-6：方程组通量函数 方向方向方向zyxVpVVVVVVHVVVpVVVVGVVVVVpVVF323231332322212213121211 ,IV-6：方程组源项qVffffJ3210体力功热释放体力分量体力分量体力分量neverIV-6：方程组守恒形式与非守恒形式 二者对于古典解是等价的；对于有间断得解，二者不等价。它们的区别主要应用在计算流体力学上（吴子牛，计算流体力学基本原理，科学出版社，2019）。对于数值计算，针对守恒形式进行离散得差分方法可以自动捕获激波等间断；而针对非守恒形式构造得格式需要添加特殊运算才能计算有激波得

11、情况。IV-6：方程组问题提法 确定问题：泛定方程个数等于未知数个数，如前者多则称为超定问题，如前者少则称为欠定问题 定解问题：泛定方程定解条件 定解条件：边界条件初始条件 柯西问题（初始值问题，没有边界）：泛定方程初始条件 边值问题（分狄利克莱、牛曼和劳平，没有初始条件）：定常泛定方程边界条件 混合初边值问题：泛定方程初始条件边界条件 适定问题：定解问题解存在、唯一且稳定。IV-6：方程组边界条件回忆 无限远场（扰动未传播到）：固体壁面：对于理想流体，流体法向速度为0（无穿透条件，也称滑移边界条件）激波条件：Rankine-Hugoniot关系式 库塔条件：绕流物体尖后缘处，上下流体在此会合

12、，一侧流体不能绕过尖缘流动（否则梯度无穷大，从而粘性起主导作用）切向间断面条件：滑移面、尾涡面、射流自由面上，切向速度不连续，但两侧法向速度和压力相等)(),(xtxxIV-6：方程组库塔条件IV-6：方程组求解思路 方程组是非线性、彼此耦合的，一般情况下只能求数值解，也因此计算流体力学成为一门单独学科（划时代的计算方法是Godunov于1959年在军令状压力下6个月内完成的）。对流动模型做不同层次的简化，求近似解 （1）一维定常流和非定常流 （2）特殊问题的精确解 （3）对特殊几何问题采用线化方法 （4）找出相似参数，求相似规律IV-6：方程组IV-7:其它坐标系中的方程 笛卡尔坐标系 正交

13、坐标系 柱坐标系 球坐标系 一般运动变形坐标系中的守恒形式 时-空变换坐标系统(Wu,2019)统一欧拉拉格朗日系统(Hui et al,2019)IV-7：其它坐标系坐标变换 笛卡尔坐标系 一般正交坐标系 柱坐标系 球坐标系 一般运动变换 运动变形变换 时空变换 欧拉拉各朗日系统),(tzyx),(t,sin),(rytrx,cossin),(rxtr),(),(tzyxt),(tzyx,d/d1hVt IV-7：其它坐标系坐标系变换的原则 流动参数随坐标系进行变换：此时，可以将微分方程写成矢量形式，然后按新坐标系展开成各种分量形式。注意 是客观不变量 流动参数不变化：此时，可以将微分方程写

14、成笛卡尔坐标系的形式，然后进行坐标变换，即将对 的偏导数经过连锁求导法则，转换成对 的求导VVVTp,zyxVVVTp,tzyx,Tp,IV-7：其它坐标系变流动参数变换 将流动方程写成向量形式qVfVpVtfIpVVtVVt)()(0)(IV-7：其它坐标系笛卡尔坐标系 利用z)y,(x,ji,0),(jezeyexeVVVVizyxtrzyxIV-7：其它坐标系笛卡尔坐标系续qVfzVyVxVtzpfzVVyVVxVVtVypfzVVyVVxVVtVxpfzVVyVVxVVtVzVyVxVtzyxzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxxzyx 0IV-7：其它坐标系非惯性笛卡尔坐标

15、系 体积力形式的惯性力存在 参阅 （1）张兆顺、崔桂香，流体力学，清华出版 社，2019；（2）吴子牛，计算流体力学基本原理，科学 出版社，2019柱坐标系 利用ji,0,),(其它 jeeeeererexeVVVVirrrxtrrx球坐标系和一般正交坐标系 利用 参阅（张兆顺、崔桂香，流体力学，清华出版社，2019）?reV固定流动参数变换 基本变换 基本变换关系式IV-7：其它坐标系),(),(),(tzyxtzyxtzyxt001xxxxxxxxxxxxzzzzyyyyxxxx100010zzzzzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyzzzzyyyyxxxxzzzzyyyyxxxx固定

16、流动参数变换 基本关系式的解)()()(det111yxyxjxzxzjzyzyjzzzyyyxxxjzyxtztytxttztytxttztytxtzyxzyxzyxzyxzyxyxyxjxzxzjzyzyjyxyxjxzxzjzyzyj)()()()()()(111111IV-7：其它坐标系偏微分与方程的变换 求导连锁法则 方程变换zzzzyyyyxxxxttttJzHyGxFtWJHGFWHGFWHGFWWzyxtzyxtzyxt)()()(IV-7：其它坐标系变换方程的守恒形式)()()()(非守恒形式JHGFWHGFWHGFWWzyxtzyxtzyxt（守恒形式）JHGFW)()()

17、(,HGFWjHHGFWjGHGFWjFjJJjWWzyxtzyxtzyxt）（1975 Viviand,IV-7：其它坐标系坐标变换与基本解及基本类型 坐标变换能否改变基本解的类型？可以 坐标变换能否改变方程的类型？可以 以上属于前沿研究问题 第一项成果将刊登在最古老的欧洲力学学报上V:声速与马赫数、可压缩性 声速的定义：自己回忆（p25）声速传播的性质:自 己回忆(p26)声速公式的一般形式:自己回忆（p26)热完全气体的声速:自己回忆（p26)马赫数定义:自己回忆(p27)气流速度的划分:自己回忆(p27-28)可压缩性定义与性质V：声速、马赫数、可压缩可压缩性定义 给流体微团的压力增加其体积将缩小 体积弹性模量定义为压力的改变量与比容的相对变化量 压缩性系数dd dd/lim0pvpvvvpKppppmVv/mVVvv/）（流体微团流体微团pVdpd11KV：声速、马赫数、可压缩等温压缩与等熵压缩 等温压缩 等熵压缩 对于热完全气体 ，因此在1大气压下有 对于水TTdpd1SSdpd1pT1牛顿米/1025T牛顿米/105210TV：声速、马赫数、可压缩可压缩条件 对于工程问题，需要考虑可压缩性的临界条件为 从声速定义和伯努利原理有%5p3.0:2121/2121 2222222MMaVVaVppa可压缩性条件3.0M%5V：声速、马赫数、可压缩谢谢谢谢