山东省青岛市西海岸新区2018届高三数学上学期第二次月考试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 1 山东省青岛市西海岸新区 2018 届高三数学上学期第二次月考试题 理 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 1 , , ( ) ,3 xM y y x x x R N y y x R? ? ? ? ? ? ?，则（ ） A MN? B NM? C RM CN? D RC N M 2. 复数 (1 2 )(2 )z i i? ? ?的共轭复数为（ ） A 5i B 5i C 15i? D 15i? 3. 将函数 ( ) 3 sin (2 )3f x x ?的图像向右平移 ( 0)mm? 个单

2、位后得到的图像关于原点对称， 则 m 的最小值是（ ） A 6? B 3? C 23? D 56? 4. 已知函数 2 2( ) logf x x x? ，则不等式 ( 1) (2) 0f x f? ? ?的解集为（ ） A ( , 1) (3, )? ? ? B ( , 3) (1, )? ? ? C ( 3, 1) ( 1,1)? ? ? D ( 1,1) (1,3)? 5. 已知命题 :,p a b R?， ab? 且 11ab? ，命题 :q x R? ， 3sin cos 2xx?.下列命题是真 命题的是（ ） A pq? B pq? C pq? D pq? 6. 将正方体（如图 1

3、）截去三个三棱锥后，得到如图 2 所示的几何体，侧视图的视线方向如图 2 所示，则该几何体的侧视 图为（ ） ?2 7. 下列说法错误的是（ ） A“函数 ()fx的奇函数”是“ (0) 0f ? ”的充分不必要条件 . B已知 A B C、 、 不共线，若 0PA PB PC? ? ?则 P 是 ABC 的重心 . C命题“ 0xR?， 0sin 1x ? ”的否定是：“ xR? ， sin 1x? ” . D命题“若 3? ，则 1cos 2? ”的逆否命题是：“若 1cos 2? ，则 3? ” . 8. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 10 3010, 130SS?

4、，则 40S? （ ） A 510 B 400 C 400 或 510 D 30 或 40 9. 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍 是 多 项 式 求 值 比 较 先 进 的 算 法 . 已知2 0 1 7 2 0 1 6( ) 2 0 1 8 2 0 1 7 2 1f x x x x? ? ? ? ?，下列程 序框图设计的是求 0()fx 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ） A ni? B 1ni? C n? 2018i? D n? 2017i? 10. 已 知 34? ? ? ，且 1 co s 1 co s 62 2 2?，则 ? （ ） A 10 1133?或 B

5、 37 4712 12?或 C 13 1544?或 D 19 2366?或 11. 已知 ABC 中， ,abc 为角 ,ABC 的对边，( 6 2 ) ( 6 2 ) 0a B C b C A c A B? ? ? ? ?， 则 ABC 的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定 12. 我国古代太极图是一种优美的对称图 .如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数” .下列命题中 错误 命题的 个数是（ ） 3 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一； 2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，

6、那么这两个圆为同心圆； 3:P 圆 22( 1) ( 1) 4xy? ? ? ?的一个太极函数为 32( ) 3 3f x x x x? ? ?； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形 5:P 奇函数都是太极函数； 6:P 偶函数不可能是太极函数 . A. 2 B. 3 C.4 D.5 二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知平面向量 (2,1), (2, ).a b x?且 ( 2 ) ( )a b a b? ? ?，则 x? . 14.曲线 2yx? 与直线 2yx? 所围成的封闭图形的面积为 . 15.已知等差数列 na 是递增数列，且 1 2 3 3

7、a a a? ? ? ， 7338aa?，则 4a 的取值范围为 . 16.已知 ()fx是 R 上的连续可导函数，满足 ( ) ( ) 0f x f x?. 若 (1) 1f ? ，则不等式1() xf x e ? 的解集为 . 三、解答题 （本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（ 12 分）已知向量 3s i n ( ) , 3 s i n ( ) , ( s i n , c o s ) , ( )22a x x b x x f x a b? ? ? ? ? ?. （ 1）求 ()fx的最大值及 ()fx取最大值时 x 的取值集合 M ； （ 2）在 AB

8、C 中， ,abc 是角 ,ABC的对边若 24C M? 且 1c? ， 求 ABC 的周长的取值范围 . 18.（ 12 分）已知数列 na 满足 1 2 2 11 , 4 , 4 4n n na a a a a? ? ? ?. （ 1）求证： 1 2 nnaa? ? 是等比数列； 4 （ 2）求 na 的通项公式 . 19. （ 12 分 ） 四 棱 锥 S ABCD? 中， AD BC ，,BC CD? 060SDA SDC? ? ? ?， AD DC? 1122BC SD?， E为 SD 的中点 . （ 1）求证：平面 AEC? 平面 ABCD ； （ 2）求 BC 与平面 CDE 所

9、成角的余弦值 . 20.（ 12 分） 如图所示，直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 2AB AC?， D 为 1CC 的中点， E为 11AB 的中点 . （ 1）求证： 1CE 面 1ABD ； （ 2）若 1AB? 面 1ADB ，求二面角 11B AD B?的余弦值 . 21.（ 12 分）已知函数 2( ) ( 2 ) , 1xf x x e a x b x x? ? ? ? ?是 ()fx的一个极值点 . （ 1）若 1x? 是 ()fx的唯一极值点，求实数 a 的取值范围； （ 2）讨论 ()fx的单调性； （ 3）若存在正数 0x ，使得 0()f x a? ，求实数

10、a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。 22.（ 10 分）已知曲线 1C 的极坐标方程为22cossin ? ?， 2C 的参数方程为222222xtyt? ? ?（ t 为参数） . 5 （ 1）将曲线 1C 与 2C 的方程化为直角坐标系下的普通方程； （ 2）若 1C 与 2C 相交于 AB、 两点，求 AB . 23.（ 10 分）已知 ( ) 2 1 1f x x x? ? ? ?. （ 1）求 ()fx在 ? ?1,1? 上的最大值 m 及最小值 n . （ 2） ,ab R? ，设 1am bn?，求 22ab? 的最

11、小值 . 2018 届高三第二次月考 数学参考答案（理） 一、选择题 C A B C A D A B C D B C 二、填空题 13. 12? 14.43 15.? ?4,11? 16. (1,+ ) 三、解答题 17.（ 1） (c os 3 c os )a x x? ， 2( ) s i n c o s 3 c o sf x a b x x x? ? ? ? 1 3 3 3s i n 2 c o s 2 s i n ( 2 )2 2 2 3 2x x x ? ? ? ? ? ()fx? 的最大值为 31 2? ? 4 分 此时 2 2 ,32xk? ? ? 即 512xk ? kz? 5

12、 ,12M x x k k z? ? ? ? ? 6 分 （ 2） 24C M? 52 4 12C k? ? ? ? 2 3Ck?, (0, )C ? 3C ? ? 7 分 1c? 由 2 2 2 2 c o sc b a ab c? ? ? 得 2 2 2c a b ab? ? ? 2222 3 ( ) ( )( ) 3 ( ) 44a b a ba b a b a b ? ? ? ? ? ? ? 2ab? ? ? ? 10 分 又 1ab? ? 11 分 6 故 23a b c? ? ? ?，即周长 的范围为 ? ?2,3? . ? ? 12 分 18.（ 1）由 2144n n na a

13、 a?得 2 1 1 12 2 4 2 ( 2 )n n n n n na a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 12 ( 2 ) 2 ( ) 0nnna a a a? ? ? ? ? ? 2112 22nnaa? ? ?1 2nnaa?是等比数列 . ? 6 分 （ 2）由（ 1）可得 11 2 12 2 ( 2 ) 2nnnna a a a? ? ? ? ? 11 12 2 2nnaa? ? ? 2nna?是首项为 12 ，公差为 12 的等差数列 22nnan? 12nnan? . ? 12 分 19.（ 1） E 为 SD 的中点， 01 , 6 02A D D

14、 C S D S D A S D C? ? ? ? ? ? .ED EC AD D C? ? ? ? 设 O 为 AC 的中点，连接 ,EODO 则 EO AC? / ,AD BC BC CD? .AD BC? 又 OD OA OC? EOC EOD? ? ? 从而 EO OD? AC ABCD? DO? 面 ABCD 0AC DO? EO?面 ABCD EO? 面 AEC ?面 EAC? 面 ABCD ? 6 分 （ 2）设 F 为 CD 的中点 ,连接 OF EF、 ,则 OF 平行且等于 12AD AD BC EF? BC 不难得出 CD? 面 OEF （ EO CD? FO CD? ）

15、 7 ?面 ECD? 面 OEF OF 在面 ECD 射影为 EF ， EFO? 的大小为 BC 与面 ECD 改成角的大小 设 AD a? ，则 2aOF? 32EF a? 3os 3OFc E F O EF? ? ? 即 BC 与 ECD 改成角的余弦值为 33 .（亦可 以 建 系 完成） ? 12 分 20. 解：（ 1）设 1AB 与 1AB交于 F ，连接 DF EF、 ， 11EF BB CC ，则 EF 与 1CD平行且相等 . 四边形 1ECDF 为平行四边形 . 1CE DF ，又 DF? 面 1ADB ， 1CE? 面 1ADB ， 1CE 面 1ABD . （ 2）以

16、BC 的中点 O 为原点，分别以 OB OA、 方向为 x 轴和 z 轴正方向，以 1CC 方向为 y轴正方向，建系如图，设 CO x? ， 1AA y? ，则有 ? ?,0,0Bx ， ? ?20, 0, 4Ax? ， ? ?1 , ,0B x y ， ? ?21 0, , 4A y x? ， , ,02yDx? 2 , , 02yBD x?uuur， ? ?21 , , 4BA x y x? ? ?uuur， ? ?21 , , 4AB x y x? ? ?uuur由 1AB? 面 1ADB ，则 1 1 10 , 0B A B A B A B D? ? ? ?uuur uuur uuur

17、 uuur. 则? ?222 2 212 0 ,24 0 ,xyx y x? ? ? ? ? ? ?解得 12xy? ?. 所以面 1ABD 的法向量为 ? ?1 1, 2, 3AB ?uuur， 8 又 设面 11ABD 的法向量为 ? ?,n abc?r ， ? ?1 2,1,0DB ?uuur ， ? ?11 1, 0, 3AB ?uuuur， 11 0AB n?uuuur r ， 1 0DB n?uuur r ，所以 2030abac? ? ，令 3a? ， 则 ? ?3, 2 3,1n ?r ， 1 3 5 3 6c o s , 484B A n ? ? ?u u ur r . 所以

18、二面角 11B AD B?的余弦值为 64 . 21.（ 1） ( ) ( 1 ) 2xf x x e ax b? ? ? ? ?， 1x? 是极值点 ( ) 0fx? ，故 20ab? ， 2ba? ( ) ( 1)( 2 )xf x x e a? ? ? ? 1x? 是唯一的极值点 20xea? ? ? 恒成立或 20xea?恒成立 由 20xea?恒成立得 2 xae? ，又 0xe? 0a? 由 20xea?恒成 立得 2 xae? ，而 xe? 不存在最小值， 20xea? ? ? 不可能恒成立 . 0a? ? 4 分 （ 2）由（ 1）知，当 0a? 时， 1x? ， ( ) 0fx? ? ； 1x? ， ( ) 0fx? ? . ()fx? 在 ( ,1)? 递减，在 (1, )? 上递增 . 当 02e a? ? ? 时， ln( 2 ) 1a? ln( 2 )xa? ， ( ) 0fx? ? ； ln( 2 ) 1ax? ? ? ， ( ) 0fx? ? ； 1x? ， ( ) 0fx? ? . ()fx