辽宁省庄河市2018届高三数学上学期开学考试试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 1 辽宁省庄河市 2018 届高三数学上学期开学考试试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. iiz ? 21 ，则 ?z （ ） A i31? B i31? C i31? D i31? 2. 已知集合 0lg| ? xA ， 42| ? xxB ， 0)2)(4(| ? xxxC ，则“ BAx ? ” 是 “ Cx? ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D即不充分也不必要条件 3.古代名著九章算术中有这样一段话：“ 今有金锤，

2、长五尺，斩本一尺 ，重四斤斩末一尺，重二斤 ” 意思是： “ 现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列 .” 则下列说法错误的是 （ ） A.该金锤中间一尺重 3 斤 B.中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3倍 C.该金锤的重量为 15斤 D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5斤 4.已知某次数学考试的成绩服从正态分布 )4,102( 2N ，则 114 分以上的成绩所占的百分比为（ ） （附 6826.0)( ? ? XP ， 9544.0)22( ? ? XP ，9974.0)33( ? ? XP ） A %3.0

3、 B %23.0 C. %3.1 D %13.0 5.已知函数?3),1(3,)31()(xxfxxf x ，则 )2log2( 3?f 的值为 （ ） A 272? B 541 C 272 D 54? 2 6.已知函数 )2sin()( ? xxf 为实数，若 |)6(|)( ?fxf ? 恒成立，且 )()2( ? ff ? 的单调递增区间是 （ ） A )(,6,3 Zkkk ? ? B )(,2, Zkkk ? ? C. )(,32,6 Zkkk ? ? D )(,2 Zkkk ? ? 7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为 （ ） A 32? B 3? C

4、. 92? D 916? 8.若 x 表示不超过 x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 （ ） A 4 B 5 C 7 D 9 9.已知三棱锥 ABCP? 的四个顶点都在同一个球面上，底面 ABC? 满足 090? BCBA ，若该三棱锥体积最大值为 3，则其外接球的表面积为（ ） 3 A ?21 B ?332 C. ?316 D ?16 10.设椭圆 E ： )0(12222 ? babyax 的右顶点为 A ，右焦点 为 F ， B 为椭圆在第二象限内的点，直线 BO 交椭圆于点 C ， O 为原点，若直线 BF 平分线段 AC ，则椭圆的离心率为 （ ） A 21

5、B 31 C. 41 D 51 11.已知 ACAB? ， tACtAB ? |,1| ，若点 P 是 ABC? 所在平面内的一点，且|4| ACACABABAP ?，则 PCPB? 的最大值等于 （ ） A 13 B 15 C. 19 D 21 12.已知定义域为 R 的奇函数是一条连续不断的曲线， afxfxf ? )1(),1()1( ，且当10 ?x 时， )(xf 导函数 )()( xfxf ? ，则 )( xf 在区间 2018,2017 上的最小值为 （ ） A a B 0 C. a? D 2016 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题

6、纸上） 13.设变量 yx, 满足约束条件?)0(0202mmyyxyx ，则目标函数yxz 2? 的最大值为 14. 若 10 件产品包含 2 件次品 ，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为 15.设 443322104 )1()1()1()1()21( xaxaxaxaax ?，则 42 aa? 的值是 16.在 ABC? 中，角 CBA , 的对边分别为 cba, .已知 272co s2s in4 2 ? CBA ，且 2?c ，则 ABC? 的面积的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

7、.） 17. nS 为数列 na 的前 n 项和，已知 0?na ， 3422 ? nnn Saa . （ 1）求 数列 na 的通项公式； 4 （ 2）设11? nnn aab，求数列 nb 的前 n 项的和 . 18.某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于 80 小时的社区服务才合格 .教育部门在全市随机抽取 200 位学生参加社区服务的数据，按时间段100,95),95,90),90,85),85,80),80,75 （单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示 . （ 1）求抽取的 200 为学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人

8、，其参加社区服务时间 不少于 90 小时的概率； （ 2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取 3 为学生，记 ? 为 3 为学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人数 .试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 ?E 和方差 ?D . 19.如图，四棱锥 ABCDP? ，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是 ?60?ABC 的菱形， M 为棱 PC 上的动点，且 )1,0( ? ?PCPM . （ 1）求证： PCBC? ； 5 （ 2）试确定 ? 的值，使得二面角 MADP ? 的平面角余弦值为 552 . 20.已知椭圆 )0(1:22221 ? bab

9、yaxC的两个焦点 21,FF ，动点 P 在椭圆上，且使得021 90? PFF 的点 P 恰有两个，动点 P 到焦点 1F 的距离的最大值为 22? . （ 1）求椭圆 1C 的方程； （ 2）如图，以椭圆 1C 的长轴为直径作圆 2C ，过直线 22?x 上的动点 T 作圆 2C 的两条切线，设切点分别为 BA, ，若直线 AB 与椭圆 1C 交于不同的两点 DC, ，求 |CDAB 的取值范围 . 21.已知函数 )(2ln)( 2 Raxaxxxf ? . （ 1）若 2?a ，求曲线 )(xfy? 在点 )1(,1( f 处的切线方程； （ 2）若 xaxfxg )1()()( ?

10、 在 1?x 处取得最小值，求实数 a 的取值范围 . 22.已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 xOy 的 原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线 C 的参数方程为?sin21cos21yx （ ? 为参数 ），直线 l 过点)0,1(? ，且斜率为 21 ，射线 OM 的极坐标方程为 43? . （ 1）求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程； （ 2）已知射线 OM 与圆 C 的交点为 PO, ，与直线 l 的交点为 Q ，求 线段 PQ 的长 . 6 试卷答案 一、选择题 1-6： AABDBC 7-12： DCDBAC 二、填空题 13 2 14 114 15

11、40 16 3 三、解答题 17.（ 1）由题知， nS 为数列 na 的前 n 项和， 0?na ， 3422 ? nnn Saa 则 342 112 1 ? ? nnn Saa 两式相减可得， 1122 1 422 ? ? nnnnn aaaaa 整理可得， )(2 122 1 nnnn aaaa ? ? 又 0?na ，则 01 ? nn aa ， 则有 21 ? nn aa ， 当 1?n 时， 342 1121 ? aaa ，解得 31?a 或 11 ?a （舍去） 则数列 na 是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列， 则 12)1(23 ? nna n 综上所述，结论是： 数列

12、 na 的通项公式为 12 ? nan ； （ 2）由（ 1）得， 12 ? nan ，则 )32 112 1(21)32)(12( 11 1 ? ? nnnnaab nnn则数列 nb 的前 n 项的和为： 3231)32131(21)32 112 171515131(2121?nnnnnbbb n ? 综上所述，结论是：数列 nb 的前 n 项的和为)32(3 ?nn. 7 18. 解： （ 1）根据题意，参加社区服务时间在时间段 )95,90 小时的学生人数为605060.0200 ? （人），参加社区服务时间在时间段 100,95 小时的学生人数为205020.0200 ? （人），所

13、以抽取的 200 为学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人，所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90小时的概率估计为 5220080200 2060 ?P . （ 2）由（ 1）可知，从全市高中生中任意选取 1 人，其参加社区服务 时间不少于 90 小时的概率为 52 ，由已知得，随机变量 ? 的可能取值为 0， 1， 2， 3. 所以 12527)53()52()0( 3003 ? CP ?； 12554)53()52()1( 2113 ? CP ?；12536)53()52()2( 1223 ? CP ? ； 1258)53()52()3(

14、 0333 ? CP ? . 随机变量 ? 的分布列为 )52,3(B? ，所以 56523 ? npE? ， 251853523)1( ? pnpD ? . 19. 解： (1)取 AD 中点 O ，连结 ACOCOP , ，依题意可知 ACDPAD ? , 均为正三角形，所以 ADOC? ， ADOP? ，又 OOPOC ? ， ?OC 平面 POC ， ?OP 平面 POC ，所以 ?AD 平面 POC ，又 ?PC 平面 POC ，所以 PCAD? ，因为 ADBC/ ，所以PCBC? . (2) 由（ 1）可知， POAD? ，又平面 ?PAD 平面 ABCD ，平面 ?PAD 平面

15、ADABCD? ， ?PO 平面 PAD ，所以 ?PO 平面 ABCD . 以 O 为原点，建立空间直角坐标系 xyzO? 如图所示， 则 )0,0,3(),0,1,0(),0,1,0(),3,0,0( CDAP ?， 8 )3,0,3( ?PC ，由 )3,0,3( ? ?PCPM ，可得点 M 的坐标为)33,0,3( ? ? ， 所以 )33,1,3(),33,1,3( ? ? DMAM ， 设平面 MAD 的法向量为 ),( zyxn? ，则?00DMnAMn 即?0)33(30)33(3zyxzyx? 解得?01yzx ? ，令 ?z ，得 ),0,1( ?n ，显然平面 PAD

16、的一个法向量为)0,0,3(?OC . 依题意5 523)1( |)1(3| |,c o s| 22 ? ? ? ?OCn OCnOCn， 得 31? 或 1? （舍去） 当 31? 时，二面角 MADP ? 的平面角余弦值为 552 . 20. （ 1） 124 22 ?yx （ 2）圆 2C 的方程为 422 ?yx ，设直线 22?x 上动点 T 的坐标为 ),22( t ，设),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 则 直 线 AT 的 方 程 为 411 ? yyxx ， 直 线 BT 的 方 程 为422 ? yyxx ，又 ),22( tT 在直线 AT 和 BT 上，

17、即 ?4224222211 tyx tyx ，故直线 AB 的方程为 422 ? tyx . 由原点 O 到直线 AB 的距离284 td ? 得 8442| 2222 ? ttdrAB ， 联立?12442222 yxtyx ，消去 x 得 0168)16(22 ? ytyt ，设 ),( 33 yxC ， ),( 44 yxD ， 则 1616,168243243 ? tyyt tyy，从而 )8(82 ? mmt ， 9 则3323 25612125612|mmmmmCDAB ?，又设 )810(1 ? yym ， 所以 3256121| yyCDAB ? ，设 3256121)( yyyf ? ， 所以由