新教材2022年高中数学人教B版必修第一册第1章-集合与常用逻辑用语-全章课件.pptx

1、第第1 1课时集合课时集合第一章第一章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.通过实例,理解集合的含义,理解元素与集合的关系.(数学抽象)2.理解集合中元素的特征性质.(直观想象)3.理解空集的含义及其表示方法.(数学抽象)4.理解集合的分类,掌握常用数集的表示方法.(直观想象)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献,蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充.如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?【知

2、识点拨】知识点一、集合的概念(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).集合通常用英文大写字母A,B,C,来表示.(2)元素:组成集合的每个对象都是这个集合的元素.集合中的元素通常用英文小写字母a,b,c,来表示.名师点析 集合概念的三个性质(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物

3、等,即对象形式多样化.微思考 是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?提示 可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.微练习下列判断正确的个数为()所有的等腰三角形构成一个集合;倒数等于它自身的实数构成一个集合;质数的全体构成一个集合;由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.A.1B.2C.3D.4答案 C知识点二、元素与集合的关系 知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素,就说a属于AaAa属于A不属于如果a不是集合A的元素,就说a不属于AaA

4、a不属于A名师点析 概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象英文小写字母a,b,c,aA或aA集合一些对象组成的整体 英文大写字母A,B,C,微思考 设集合M表示“110之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关系?提示 3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8M.微练习集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是()A.MB.0MC.1M D.-M答案 D知识点三、集合中元素的特点集合中元素的三大特性:(1)确定性:集合的元素必须是确定的.(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.(3)无序性:集合中

5、的元素可以任意排列.名师点析 对集合中元素的特点的理解(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能组成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合good中的字母的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为集合good中的字母的元素有3个,分别为g,o,d.微思考(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180 cm的同学能否构成一个集合?

6、说明了什么问题?提示 比较高的同学不能构成一个集合,因为“比较高”标准不确定;身高不低于180 cm的同学能构成集合,因为“身高不低于180 cm”标准确定,对班内任意一个同学,是否“身高不低于180 cm”是明确的.说明集合中元素具有确定性.(2)学校超市一天内进了两次货,第一次进的中性笔、矿泉水、面包,第二次进的火腿肠、矿泉水、方便面,把这天进的货物看作一个集合,集合中有哪几个元素?说明什么?提示 有5个元素,分别是中性笔、矿泉水、面包、火腿肠、方便面.说明集合中元素具有互异性.重复的元素只能算一个.也就是说,集合中的元素是不重复出现的.(3)我们全班同学构成了一个集合,如果在班内调整一次

7、座位,班级这个集合改变了吗?说明什么?提示 集合没有改变,因为元素是一样的.说明集合中元素具有无序性.微练习集合3,x,x2-2x中实数x满足的条件是.答案 x0且x-1且x3知识点四、集合的分类及相等集合(1)有限集:含有有限个元素的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合.(3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作.空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.(4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.微思考 方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?提示 该方程的实数解能构成一个集合,该集合

8、中不含任何元素,因此集合中元素个数为0.知识点五、常见数集及其表示 名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN+或N*ZQR微练习用符号“”或“”填空.答案(1)(2)(3)(4)(5)课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一集合中元素的确定性集合中元素的确定性例1判断下列各组对象能否构成一个集合:(1)2020年9月召开的本校秋季运动会所有的男队员;(2)方程x2-1=0的所有实根;(3)的近似值的全体;(4)大于0的所有整数.解(1)能,因为男队员是确定的.(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.(4)

9、能,因为大于0的整数是确定的.反思感悟 集合的判定方法集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.探究二探究二集合中元素的互异性集合中元素的互异性例2已知集合A含有两个元素1和a2,若aA,求实数a的值.解 由题意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,则a2=1,这与a21相矛盾,故a1.(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实

10、数a的值为0.要点笔记 集合中元素的特征性质集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.延伸探究(1)本例若去掉条件“aA”,其他条件不变,求实数a的取值范围.(2)已知集合A含有两个元素a和a2,若1A,求实数a的值.解(1)由集合中元素的互异性可知a21,即a1.(2)若1A,则a=1或a2=1,即a=1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,满足集合中元素的互异性,所以a=-1.探究三探究三元素与集合的关系元素与集合的关系例3已知-3是由x-2,2x2+5x,12

11、三个元素构成的集合中的元素,求x的值.分析-3是集合中的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求解.解 由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;要点笔记 解决元素与集合的关系问题的通法:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性.变式训练 用符号“”或“”填空.答案(1)(2)(3)素养形成素养形成分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运

12、用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学的划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.典例 已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2A,求实数x的值.解 当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.当x2=1时,得x=1.若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.综上可知,符合题意的x的值为-1.方法点睛 x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨

13、论.当堂检测当堂检测1.(多选题)下列对象能构成集合的是()A.所有的正数B.等于2的数C.接近0的数D.不等于0的偶数答案 ABD2.(2020陕西榆林高一期中)设a,bR,集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,b.若A=B,则b-a=()A.2B.-1C.1D.-2答案 A解析 由已知,a0,故a+b=0,则 =-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.3.用符号或填空.(1)设集合A是正整数构成的集合,则0A,A,1A;(2)设集合B是小于 的所有实数构成的集合,则2 B,1+B;(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则3C,5

14、C;(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,则-1D,(-1,1)D.答案(1)(2)(3)(4)解析(1)依次应填,.(3)由于n是正整数,所以n2+13.而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填,.(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1是数,所以-1D.又(-1)2=1,所以依次应填,.4.下列对象构成的集合是空集的是.(填序号)小于1的自然数;2米高的人;方程x2-x+1=0的解集.答案 解析 因为方程x2-x+1=0的判别式=1-40,所以方程无解,即解集为空集.而小于1的自然数为0.2米高的人也存在,所以都不是空集.5.设A表示由a2+2a-

15、3,2,3构成的集合,B表示由2,|a+3|构成的集合,已知5A,且5B,求a的值.解 5A,a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.当a=2时,|a+3|=5;当a=-4时,|a+3|=1.又5B,a=-4.第第2 2课时集合的表示方法课时集合的表示方法第一章第一章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.掌握集合的两种表示方法列举法和描述法.(数学抽象)2.能够利用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(直观想象)3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合等.(直观想象)思维脉络课前篇课前篇 自主预习

16、自主预习【激趣诱思】根据集合的概念,我们知道:1.不等式2x+315的所有自然数解组成集合A;2.不等式2x+31不能写成x1;(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;(3)不能出现未被说明的字母,如xZ|x=2m中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的;(4)所有描述的内容都要写在大括号内,如“xZ|x=2m,mN+”不符合要求,应将“mN+”写进“”中,即xZ|x=2m,mN+;(5)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若xR是明确的,则xR可省略不写,如集合D=xR|x20也可表示为D=x|x20;(6)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关

17、系的词语,如x|x1;(7)“”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为x|x是实数,但如果写成x|x是所有实数、x|x是全体实数、x|x是实数集都是错误的,因为“”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,此处是初学者容易犯的错误,要注意领会.微思考 用列举法与描述法表示集合的区别是什么?提示 表示方法列举法描述法一般形式a1,a2,a3,anxI|p(x)适用范围有限集或规律性较强的无限集 有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括微练习不等式5x2 021在实数范围内的解集可表示为_.知识点三、区间的概念已知ab.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a

18、,bx|axb开区间(a,b)x|axb半开半闭区间a,b)x|aa(a,+)x|xa(-,ax|xa(-,a)R(-,+)取遍数轴上的所有值名师点析(1)区间的左端点的值小于右端点的值.(2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.(3)左、右端点值a,b都能取到的叫闭区间;左、右端点值a,b有一端能取到,另一端不能取到的叫半开半闭区间;左、右端点值a,b都不能取到的叫开区间.(4)几何表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.微思考(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?提示 A=x|-3x2(2)能否用更为简洁的符号表示A=x|-3

19、x2?提示 可以用区间表示为(-3,2.(3)区间与数集有何关系?提示(1)联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达形式;(2)区别:不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数集等.微练习将下列集合用区间及数轴表示出来:(1)x|x2;(2)x|x3;(3)x|-1x5.答案(1)x|x2用区间表示为(-,2),用数轴表示如下:(2)x|x3用区间表示为3,+),用数轴表示如下:(3)x|-1x5用区间表示为-1,5),用数轴表示如下:课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一用列举法表示集合用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)36与60的公约数构

20、成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合;(3)一次函数y=x-1与 的图像的交点构成的集合.分析(1)要明确公约数的含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式.解(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为1,2,3,4,6,12.(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示为2,4.探究二探究二用描述法表示集合用描述法表示集合例2用描述法表示以下集合:(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合;(2)使 有意义的实数x组成的集合;(3)200以内的正奇数组成的集合;(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.分析用描

21、述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“xN”等条件.解(1)集合可表示为xR|2x20.(2)要使该式有意义,需有 解得x2,且x0.故此集合可表示为x|x2,且x0.(3)x|x=2k+1,x0;所有奇数组成的集合为x|x=2n+1;集合(x,y)|y=1-x与x|y=1-x是同一集合.其中正确的有()A.1个B.2个 C.3个 D.0个答案 A探究三探究三含参数问题含参数问题例3若集合A=x|kx2-8x+16=0只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.分析明确集合A的含义对k加以讨论求出k的值写出集合A解 当k=0时,原方程变为-

22、8x+16=0,x=2.此时集合A=2,满足题意.当k0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A=4,满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A=2;当k=1时,A=4.反思感悟 1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果

23、.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.延伸探究(1)本例中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.(2)本例中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.探究四探究四区间概念的理解及应用区间概念的理解及应用例4(1)若集合M是一个数集,且可应用区间(a,3a-1)表示,则实数a的取值范围用区间表示为;(2)使函数 有意义的实数x的范围用区间表示为;(3)若区间(5,a)的长度是12,则实数a的值是.变式训练 3(1)若区间2,a的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为;解析(1)由题意可知a-25,且a2,所以2a7,即实数a的取值范围是(2,7.素养形成素养

24、形成元素分析法元素分析法解决集合问题,应对集合的概念有深刻理解,解题时能不能把集合转化为相关的数学知识是解决问题的关键,而集合离不开元素,所以分析元素是解决问题的核心.元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?具备哪些性质?是否满足元素的三个特征?(即确定性、互异性、无序性)典例 下列四个集合:x|y=x2+1;y|y=x2+1;(x,y)|y=x2+1;y=x2+1.(1)它们各自的含义是什么?(2)它们是不是相同的集合?分析在解答用描述法表示的集合的问题时,不能只关注条件中的关系式,而不注意“代表元素”的含义.元素是集合的基本组成部分.看到一个集合,先要关注元素是什么,再关注元素的基本

25、特征.解(1)x|y=x2+1中的代表元素是x(二次函数y=x2+1中的自变量),表示的是该函数自变量的取值范围.显然xR,该集合表示实数集R.y|y=x2+1中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示的是该函数的函数值构成的集合.由图易知(图略),y1,该集合就是y|y1.(x,y)|y=x2+1中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足y=x2+1的有序实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.集合y=x2+1表示的是以方程y=x2+1(或函数解析式y=x2+1)为元素的集合.(2)由(1)知,集合是实数集,集合是不小于1的

26、实数集,集合是抛物线上的点构成的点集,集合是单元素集.故它们是互不相同的集合.方法点睛 元素分析法是解决集合问题时常用的基本方法.本题的分析始终关注集合中代表元素及其满足的条件.集合是后面要学到的函数定义域,集合是函数的值域.当堂检测当堂检测1.(2020广东乐昌第二中学高一期中)集合xN|x-32用列举法表示是()A.1,2,3,4B.1,2,3,4,5C.0,1,2,3,4,5D.0,1,2,3,4答案 D2.不等式x-20的所有解组成的集合表示成区间是()A.(2,+)B.2,+)C.(-,2)D.(-,2答案 B解析 不等式x-20的所有解组成的集合为x|x2,表示成区间为2,+).3

27、.用列举法表示集合A=y|y=x2-1,-2x2,且xZ是.答案-1,0,3解析 x=-2,-1,0,1,2,对应的函数值y=3,0,-1,0,3,集合A用列举法可表示为-1,0,3.4.若A=2,3,4,B=x|x=n-m,m,nA,mn,则集合B中的元素个数为.答案 4解析 当n=2,m=3时,n-m=-1;当n=2,m=4时,n-m=-2;当n=3,m=4时,n-m=-1;当n=3,m=2时,n-m=1;当n=4,m=2时,n-m=2;当n=4,m=3时,n-m=1.所以集合B中的元素共4个:-2,-1,1,2.5.用另一种形式表示下列集合:(1)A=(x,y)|x+y=5,x,yN;解

28、(1)由x+y=5得y=5-x.又x,yN,x=0,1,2,3,4,5,y对应的值为5,4,3,2,1,0,A=(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0).(2)观察集合中的元素,不难发现,若令分子为n,则分母为n+2,且nN+,n5,1.1.21.1.2集合的基本关系集合的基本关系第一章第一章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集.(数学抽象)2.能使用维恩图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.(逻辑推理)3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出

29、有限集的子集、真子集与非空真子集.(逻辑推理)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.银河系约有2 000多亿个恒星.银河系侧看像一个中心略鼓的大圆盘,整个圆盘的直径约为10万光年,鼓起处为银心,是恒星密集区,故望去白茫茫的一片.银河系俯视像一个巨大的旋涡,这个旋涡由四个旋臂组成.而我们的地球所属的太阳系位于其中一个旋臂(猎户座臂),距离银河系中心约2.3万光年.如果我们把银河系所包含的所有行星和恒星所构成的集合叫集合A,把太阳系包含的行星和恒星所构成的集合叫集合B,那么集合A与集合B有怎样的关系?【知

30、识点拨】知识点一、维恩图如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.要点笔记 对维恩图的理解(1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件.(2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点是集合中元素的特征性质不明显.微思考 集合能用直观图形来表示吗?提示 能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.知识点二、子集、真子集、集合相等的概念 名师点析 1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意xA,能推出xB.(2)如果集合A中存在着不是集合

31、B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作AB或BA.(3)若AB,则A有以下三种情况:A是空集;A是由B的部分元素组成的集合;A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若AB,则A是由B的部分元素组成的集合”.2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合AB,存在元素xB且xA,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:集合A是集合B的子集;存在元素xB,且xA.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况.(4)任

32、何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.微思考 下列写法哪些是正确的?0=0;00;00;00.提示 只有写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等.微练习用适当的符号填空(,=,).(1)0,1N;(2)2x|x2=x;(3)2,1x|x2-3x+2=0.答案(1)(2)(3)=微拓展对集合相等的理解(1)A=B的图形表示:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若ab且ba,则a=b”,即“若AB且BA,则A=B”.(4)

33、若A=B,则有AB且BA.知识点三、子集、真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,A;(2)任何一个集合是它自身的子集,即AA;(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由AB,BC可得 AC;(5)对于集合A,B,C,由AB,BC可得 AC.名师点析 1.与、a与a、0与的区别(1)与的区别:表示元素与集合之间的关系,因此,有 Q,Q等;表示集合与集合之间的关系,因此,有QR,R等.(2)a与a的区别:一般地,a表示一个对象,而a表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合a的一个元素.因此,有22,不能写成2=2.(3)0与的区别:0

34、是含有一个元素的集合,是不含任何元素的集合.因此,有0,不能写成=0,0.2.有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:集合A的子集的个数为2n;集合A的真子集的个数为2n-1;集合A的非空子集的个数为2n-1;集合A的非空真子集的个数为2n-2.如,集合1,2的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为,1,2,1,2;真子集个数为22-1=3,真子集分别为,1,2;非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为1,2,1,2;非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为1,2.微思考 与的关系如何?提示 与的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把看成集合

35、中的元素来考虑.微练习若1,2A1,2,3,4,5,则集合A的个数是()A.8B.7C.4D.3答案 A解析(方法一)列举法:满足条件1,2A1,2,3,4,5的集合A有1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5,共8个.(方法二)计数法:因为集合A满足1,2A1,2,3,4,5,所以,集合A一定含有元素1,2(可不考虑),可能含有元素3,4,5,故集合A的个数即集合3,4,5的子集个数,即23=8(个).课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一集合的子集、真子集问题集合的子集、真子集问题例1已知集合A=x|1x4,则集合A

36、与B是什么关系?答案 AB,且BA.答案 AB 要点笔记 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.A.A=BCB.AB=CC.ABCD.BCA答案 B 当aZ时,6a+1表示被6除余1的数;bZ时,3b-2表示被3除余1的数;cZ时,3c+1表示被3除余1的数,所以AB=C.探究二探究二确定集合的子集、真子集确定集合的子集、真子集例3(1)(2020浙江台州高一检测)已知集合A=x|x2+x=0,xR,则集合A=.若集合B满足0BA,则集合B=.(2)已知集合A=(x,y)|x+y=2,x,yN,试写出A的所有子集.答案(1)-1,0-1,0解析

37、因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A=x|x2+x=0,xR=-1,0,因为集合B满足0BA,所以集合B=-1,0.(2)解 因为A=(x,y)|x+y=2,x,yN,所以A=(0,2),(1,1),(2,0).所以A的子集有:,(0,2),(1,1),(2,0),(0,2),(1,1),(0,2),(2,0),(1,1),(2,0),(0,2),(1,1),(2,0).反思感悟 1.求集合子集、真子集的步骤 2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.变式训练 2(1)(202

38、0河南驻马店高一期末)已知集合M满足1,2M1,2,5,6,7,则符合条件的集合M有个.(2)设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由2个元素组成的子集数为T,则 的值为.解析(1)根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件1,2M1,2,5,6,7的集合M有1,2,1,2,5,1,2,6,1,2,7,1,2,5,6,1,2,5,7,1,2,6,7共7个.(2)含有4个元素的集合的全部子集数S=24=16,其中由2个元素组成的子集探究三探究三两个集合相等及其应用两个集合相等及其应用例4已知集合A=2,x,y,B=2x,2,y2,若A

39、=B,求x,y的值.分析A=B列方程组解方程组求x,y反思感悟 1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.1,a,0=0,a2,a.所以a2=1,a=1.当a=1时,不满足互异性,所以a=-1.所以a2 021+b2 020=(-1)2 021+0=-1.探究四探究四由集合间的关系求参数的范围由集合间的

40、关系求参数的范围例5已知集合A=x|-5x2,B=x|2a-3xa-2.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若AB,求实数a的取值范围.分析(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.解(1)若a=-1,则B=x|-5x-3.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,BA.(2)由已知AB.当B=时,2a-3a-2,解得a1.显然成立.当B时,2a-3a-2,解得a1.由已知AB,如图在数轴上表示出两个集合,解

41、得-1a4.又因为a1,所以实数a的取值范围为-1a1.综上,a的取值范围为-1,+).反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.(2)涉及“AB”或“AB,且B”的问题,一定要分A=和A两种情况进行讨论,其中A=的情况容易被忽略,应引起足够的重视.延伸探究本例(2)中,是否存在实数a,使得AB?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.解 因为A=x|-5x2m-1,即m2,此时满足BA.由得

42、m3.所以m的取值范围为(-,3.方法点睛 空集是任何集合的子集,因此在解AB(B)的含参数的问题时,要注意讨论A=和A两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.当堂检测当堂检测1.设集合A=x,y,B=0,x2,若A=B,则2x+y等于()A.0B.1C.2D.-1答案 C所以2x+y=2.2.(2021北京期末)已知集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,2,3,集合A与B的关系如图所示,则集合B可能是()A.2,4,5B.1,2,5C.1,6D.1,3答案 D解析 由图可知BA,A=1,2,3,由选项可知1,3A,故选D.3.(2020浙江高一检测)已知集合M=x|x2-2x-8=0,

43、N=x|ax+4=0,且NM,则由a的取值组成的集合是.答案 0,-1,2解析 M=x|x2-2x-8=0,M=4,-2,若a=0,则N=,满足NM.解得a=2或a=-1.满足条件的a的取值为0,-1,2.4.已知集合M=x|x2,且xN,N=x|-2x2,且xZ.(1)试判断集合M,N之间的关系;(2)写出集合M的所有子集和集合N的所有真子集.解 M=x|x2,且xN=0,1,N=x|-2x2,且xZ=-1,0,1.(1)MN.(2)M的子集有:,0,1,0,1;N的真子集有:,-1,0,1,-1,0,-1,1,0,1.第第1 1课时交集与并集课时交集与并集第一章第一章内容索引课前篇课前篇

44、自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.理解两个集合的交集与并集的概念.(数学抽象)2.会求两个集合的交集与并集.并能利用交集与并集的性质解决相关问题.(数学运算)3.能使用维恩图或数轴表示集合之间的运算,体会数形结合思想对理解抽象概念的作用.(直观想象)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】某单位食堂第一天买菜的品种构成的集合记为A=黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子;第二天买菜的品种构成的集合记为B=黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆.问:1.两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?2.两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?【知识

45、点拨】知识点一、交集 微思考 两个非空集合的交集可能是空集吗?提示 两个非空集合的交集可能是空集,即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时AB=.反之,若AB=,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如:A=1,3,5,7,9,B=2,4,6,8,10,此时AB=.名师点析 1.对交集概念的理解(1)对于“AB=x|xA,且xB”,包含以下两层意思:AB中的任一元素都是A与B的公共元素;A与B的公共元素都属于AB,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A=1,2,3,B=2,3,4,则AB=2,3,而不是2或3.(2)并不是任意两个集合总有公共元素,

46、当集合A与集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是AB=.(3)当A=B时,AB=A和AB=B同时成立.2.求两集合交集的注意点(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显化,然后根据交集的含义写出结果.(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应重点考虑.微练习(2021重庆北碚西南大学附中高一期末)已知集合A=x|x|2,B=-2,0,1,2,则AB=.答案 0,1解析 由题得A=x|x|2=x|-2x0,B=x|1x0解析 AB,AB=A=x|x0.(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.若AB=,则

47、A=或B=.()AB=BAB.()AB=AAB.()AB=,则A=B=.()答案 课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一两个集合的交集运算两个集合的交集运算例1设A=x|x2-7x+6=0,B=x|4x9,xN,求AB.分析首先明确集合A,B中的元素,集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是满足不等式4x9的自然数集,然后直接观察或借助于维恩图写出交集.解 A=1,6,B=5,6,7,8,用维恩图表示集合A,B,如图所示,依据交集的定义,观察可得AB=6.反思感悟 集合求交集的解题策略求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合中的元素,使集合中的元素明

48、朗化,最后再依据交集的定义写出结果.有时要借助于维恩图或数轴写出交集.变式训练 1已知集合A=x|2x4,B=x|ax3a.(1)若AB=,求a的取值范围;(2)若AB=x|3x0,B在A的左边,B在A的右边,如图.B或B位置均使AB=成立.当3a=2或a=4时也符合题意,事实上,2A,4A,则AB=成立.所以,要求3a2或a4,解得a 4,+).另一类是B=,a0时,显然AB=成立.综上所述,a的取值范围是 4,+).探究二探究二两个集合的并集运算两个集合的并集运算例2设集合A=x|x+10,B=x|-2x0的解集,然后借助于数轴写出AB.解 A=x|x-1,在数轴上分别表示集合A,B,如图

49、所示,由数轴可知AB=x|x-2.要点笔记 求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中的元素是什么,有时直接观察可写出并集,有时则需借助图示写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于维恩图写出并集.延伸探究本例条件不变,如何求AB?(用区间表示)解 AB=(-1,2).探究三探究三集合运算性质的运用集合运算性质的运用例3设A=x|x2-2x=0,B=x|x2-2ax+a2-a=0.(1)若AB=B,求a的取值范围;(2)若AB=B,求a的值.分析先化简集合A,B,再由已知条件得AB=B和AB=B,转化为集合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.解

50、由x2-2x=0,得x=0或x=2.A=0,2.(1)AB=B,BA,B=,0,2,0,2.当B=时,=4a2-4(a2-a)=4a0,a0;综上所述,得a的取值范围是a|a=1或a0.(2)AB=B,AB.A=0,2,而B中方程至多有两个根,A=B,由(1)知a=1.反思感悟 利用交、并集运算求参数的思路(1)涉及AB=B或AB=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,这时要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到