新教材2022年高中数学人教B版必修第一册第2章-等式与不等式-全章课件.pptx

1、2.1.12.1.1等式的性质与方程的解集等式的性质与方程的解集第二章第二章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.了解等式的性质并会应用.(数学抽象)2.会用十字相乘法进行因式分解.(数学运算)3.会求一元一次方程及一元二次方程的解集.(数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】对于方程5x-2=2x-2,甲同学的解题步骤是首先等式两边同时加上2,得5x-2+2=2x-2+2,即5x=2x,然后等式两边同时除以x,得5=2.甲同学的解题过程正确吗?【知识点拨】知识点一、等式的性质与恒等式1.等式的性质文字语言符号语言性质1等式的两边同

2、时加上同一个数或代数式,等式仍成立.如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c.性质2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.要点笔记 等式性质的延伸:对称性:等式左右两边互换,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么b=a;传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换).2.恒等式一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行代数变形的依据之一.(1)平方差公式、两数和(差)的平方公式.a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式)(a+b)2=a2+2ab+b2

3、(两数和的平方公式)(a-b)2=a2-2ab+b2(两数差的平方公式)(2)“十字相乘法”对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用右图表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法被称为“十字相乘法”.要点笔记 运用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解时需满足的条件:分解因式的多项式是二次三项式;二次项

4、系数是1,常数项可以分解为两个数的积,且一次项系数是这两个数的和.微思考(1)下列各式是否正确?若x+a=y-a,则x=y;若x=y,则ax=by.(2)什么是立方差与立方和公式?提示(1)正确;错误.(2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).微练习分解因式:x2+2xy+y2-4=.答案(x+y-2)(x+y+2)解析 x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2).知识点二、方程的解集(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.微练习求方程

5、x2-3x+2=0的解集.解 x2-3x+2=0,(x-1)(x-2)=0,x=1或x=2,方程的解集为1,2.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一公式法分解因式公式法分解因式例1分解因式:(1)x2-25;(2)a2-6a+9;(3)4m(x-y)-8n(y-x);(4)(a2+4)2-16a2.分析掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.解(1)x2-25=(x+5)(x-5);(2)a2-6a+9=(a-3)2;(3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n);(4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.要点笔记 分解

6、因式的常用方法(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;(3)提取公因式法;变式训练 1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-26(a+b)+36=(a+b-6)2.探究二探究二十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式例2把下列各式因式分解.(1)x2+3x+2;(2)6x2-7x-5;(3)5x2+6xy-8y2.解(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2).(2)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).(3)5x2+6xy-8y

7、2=(x+2y)(5x-4y).要点笔记 十字相乘法分解因式易错点用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误:一是没有验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.变式训练 2(1)x2+10 x+16分解因式为()A.(x+2)(x+8)B.(x-2)(x+8)C.(x+2)(x-8)D.(x-2)(x-8)(2)x2-13xy-30y2分解因式为()A.(x-3y)(x-10y)B.(x+15y)(x-2y)C.(x+10y)(x+3y)D.(x-15y)(x+2y)(3)6x2-29x+35分解因式为()A.(2x-7)(3x-5)B.(3x-7)(2

8、x-5)C.(3x-7)(2x+5)D.(2x-7)(3x+5)答案(1)A(2)D(3)B解析(1)x2+10 x+16=(x+2)(x+8).(2)x2-13xy-30y2=(x-15y)(x+2y).(3)6x2-29x+35=(3x-7)(2x-5).探究三探究三求方程的解集求方程的解集例3求方程x(x-2)+x-2=0的解集.分析将方程左边整理化成两个一次因式乘积的形式,进而求解.解 把方程左边因式分解,得(x-2)(x+1)=0,从而,得x-2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=-1.所以方程的解集为-1,2.反思感悟 因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的一般步骤

9、是:将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.延伸探究请用求根公式求解本例方程的解集.解 原方程可化为x2-x-2=0,x1=2,x2=-1,方程的解集为-1,2.素养形成素养形成数形结合思想的应用数形结合思想的应用典例 二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图像与y轴交于点(0,3).(1)求出m的值并画出此二次函数的图像.(2)求此二次函数的图像与x轴的交点及函数图像顶点的坐标.(3)x取什么值时,函数图像在x轴上方.解(1)由二次函数y=-x2+(m-1)

10、x+m的图像与y轴交于点(0,3),得m=3.二次函数为y=-x2+2x+3.图像如图所示.(2)由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3.二次函数图像与x轴的交点为(-1,0),(3,0).y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.函数图像的顶点坐标为(1,4).(3)由图像可知:当-1x0时,解集为 ;当t=0时,解集为0;当t0时,解集为 ;当t=0时,解集为k;当t0时,解集为 .2.公式法 3.因式分解法对一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),左边若能因式分解,变成(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式,根据几个因式之积为0,则至少有一个因式为0,名师点析(1)因式分解

11、法是解一元二次方程的特殊方法.用因式分解法解一元二次方程是通过因式分解把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解,它在解符合某些特点的方程时很方便,当不能用因式分解法求解时,还需要利用公式法求解.(2)用因式分解法解一元二次方程应注意的问题.有些一元二次方程需要变形后(如移项,去括号,合并同类项等),才能用因式分解法求解;用因式分解法解一元二次方程时,方程的一边必须为零;不能在方程的两边同除以含有未知数的整式.微思考(1)方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗?提示 不一定,a0时为一元二次方程,a=0,b0时为一元一次方程.(2)任意一元二次方程ax2+bx+c=

12、0(a0)都可以化为(x-k)2=t的形式吗?微练习关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是()A.两个不等的实数根B.两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定答案 C解析 x2+x+1=0,=12-411=-30,方程有两个不相等的实根.(2)设方程的另一个根为x2,-1x2=-3,解得x2=3.-1+3=m,m=2.反思感悟 一元二次方程根的情况1.一元二次方程的判别式方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数,且a0):当=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;当=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当=b2-4ac0时,方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数

13、的关系(1)若方程ax2+bx+c=0(a0)的两实数根分别为x1,x2,则有:x1+x2=-,x1x2=.(2)以两个实数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.变式训练 2已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.解(1)依题意得0,即-2(k-1)2-4k20,解得k .(2)依题意,得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.又由(1)知k ,x1+x2=2(k-1)0,x1+x2=-(x1x2-1),即2(k-1)=-(k2-1),解得k1=

14、1,k2=-3.k ,k=-3.素养形成素养形成整体代入法求代数式的值整体代入法求代数式的值典例 若a是方程x2+x-2 019=0的一个实数根,则2a2+2a-1的值是.解析 a是方程x2+x-2 019=0的根,a2+a-2 019=0,即a2+a=2 019.2a2+2a-1=22 019-1=4 037.答案 4 037方法点睛 根据一元二次方程解的定义得到a2+a=2 019,然后利用整体代入法计算即可,不需求出方程的根.当堂检测当堂检测1.下列方程中,无实数根的方程是()A.x2+1=0B.x2+x=0C.x2+x-1=0D.x2=0答案 A解析 A.=-41=-40,方程有两个不

15、相等实数根;C.=12-41(-1)=50,方程有两个不相等实数根;D.=0,方程有两个相等实数根.故选A.2.已知关于x的方程x2+mx+m=0有两个实数根,则m的取值范围为()A.4,+)B.(-,0)(4,+)C.(-,04,+)D.(0,4)答案 C解析 由题意知,=m2-4m0,解得m4或m0.故选C.3.已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1,则k=.答案 2解析 依题意,得212-3k1+4=0,即2-3k+4=0,解得k=2.答案-13 5.已知关于x的方程x2-2x+m-1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;(2)若方程有一个实数根是5

16、,求此方程的另一个根.解(1)方程有两个不相等的实数根,=(-2)2-4(m-1)0,即4-4m+40,解得mb,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若ab与a=b之中有一个正确,则ab正确.(2)不等式ab应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者ab,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若aba0aba-b0ab,ab三种关系中有且仅有一种关系成立名师点析 比较两个实数大小的方法1.数轴比较法:在数轴上分别标出两个数,右边的数总比左边的数大.2.比差法:设两个实数分别为a,b.若a-b0,则a0,则ab.微思考(1)怎样比较a2+b2与2ab的大小关系?提示(作差法)a2+b2-2a

17、b=(a-b)20,a2+b22ab.(2)已知 ,如果cd,那么ab是否一定成立?请说明理由.提示 不一定成立.如当c=1,d=-1时,cd,此时若a=-1,b=1,也满足 ,但不满足ab.微练习(1)已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是()A.tsB.ts C.tQD.Pb,那么a+cb+c;(2)性质2:如果ab,c0,那么acbc;(3)性质3:如果ab,c0,那么acb,bc,那么ac.(5)性质5:abbc,则ac-b;(2)推论2:如果ab,cd,那么a+cb+d;(3)推论3:如果ab0,cd0,那么acbd;(4)推论4:如果ab0,那么 anbn(nN,

18、n1);(5)推论5:如果ab0,那么 .名师点析 1.对不等式性质的理解(1)性质5和性质4,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识.(2)性质1(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.(3)性质2,3(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(4)推论2(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.(5)推论3和推论4(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.(6)性质1和性质5是双向推导,其他是“单向”推导.2.不等

19、式性质的适用条件(1)在应用不等式的性质4时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如ab,bc,则ab,则ac2bc2;若无c0这个条件,即若ab,则ac2bc2就是错误的.(3)若ab0,则anbn0(nN,n1)的成立条件是“n为大于1的自然数,ab0”.假如去掉n为大于1的自然数这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就会出现3-12-1,即 的错误结论,假如去掉b0这个条件,取a=3,b=-4,n=2,那么就会出现32(-4)2的错误结论.不等式相乘时,不等式不仅要同向,而且还要各数都为正.微思考 利用不等式性质应注意哪些问题?提示 在使用不等式时,

20、一定要弄清不等式(组)成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符号”等都需要注意.微练习用不等号填空:(1)若ab,则ac2bc2;(2)若a+b0,bb,cd,则a-cb-d;(4)已知x1,则x2+23x.答案 (1)(2)(4)解析(1)当c20时,有ac2bc2,当c2=0时,有ac2=bc2,故应填“”;(2)a+b0,b0,ba,故应填“”;(3)c-d,又ab,a-cb-d,故应填“”;(4)x2-3x+2=(x-2)(x-1),而x1,x-20,x-10,即x2-3x+20,x2+23x,故应填“”

21、.微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)若ab,cb-d.()(4)已知ab,ef,c0,则f-ace-bc.()答案(1)(2)(3)(4)知识点三、直接证明与间接证明1.直接证明(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件

22、(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件2.间接证明反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.微练习 答案 C 课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一应用不等式的性质证明不等式应用不等式的性质证明不等式反思感悟 证明不等式的解题策略1.利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加

23、以应用.2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.3.除了熟练掌握不等式的性质外,还应掌握一些常用的证明方法.如作差比较法、作商比较法、分析法等.探究二探究二利用不等式的性质求范围利用不等式的性质求范围例2已知1a4,2b8,试求2a+3b与a-b的取值范围.分析先根据a,b的取值范围得出2a,3b,-b的取值范围,再根据同向不等式的可加性求出2a+3b与a-b的取值范围.解 1a4,2b8,22a8,63b24.82a+3b32.2b8,-8-b-2.又1a4,1+(-8)a+(-b)4+(-2),即-7a-b0,证

24、明:3a3+2b33a2b+2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)证明(方法一)综合法:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为ab0,所以a-b0,3a2-2b20,从而(3a2-2b2)(a-b)0,所以3a3+2b33a2b+2ab2.(方法二)分析法:要证3a3+2b33a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)0,只需证(3a2-2b2)(a-b)0,ab0,a-b0,3a2-2b22a2-2b20,(3a2-2b2)(a-b)0成立,原不等式得证.要点笔记 分析综合法的解题思路分析法和综合法

25、的解题思路是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.探究四探究四不等式性质的实际应用不等式性质的实际应用例4建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于 ,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.反思感悟 一般地,设a,b为正实数,且a0,则 .利用这个不等式,可以解释很多现象,比如b g糖水中有a g糖(ba0),若再添上m g糖(m0且未达到饱和状态),则糖水变甜了.延伸探究现

26、有A,B,C,D四个长方体容器,A,B的底面积均为a2,C,D的底面积均为b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且ab.现在规定一种游戏规则:每人一次从四种容器中取两个,盛水总和多者为胜.请研究对于先取者是否有必胜的方案?如果有,有几种?解 设A,B,C,D四个容器的容积依次为VA,VB,VC,VD.由题意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.将A,B,C,D两两一组进行比较有下列三种可能:(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)(a+b)2,(VA+VC)-(VB+VD)=a3+ab2-a2b-b3=(a-b)(a2+b2),(VA+VD)

27、-(VB+VC)=a3+b3-a2b-b2a=(a+b)(a-b)2.由题设知,a0,b0,ab,因此只有(VA+VD)-(VB+VC)=(a+b)(a-b)2能判断其大于0,而其他两组结果的正负依赖于a,b的取值.ab时为正,ab0,则下列结论正确的是()A.ac2bc2B.C.a2abD.abb0,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;因为 ,故B正确;a2-ab=a(a-b)0,即a2ab,故C错误;ab-b2=b(a-b)0,故D错误.故选B.2.(多选题)(2020海南高一期末)已知a,b,c为非零实数,且a-b0,则下列结论正确的有()A.a+cb+cB.-a-bC.a2b2D.答

28、案 ABD解析 因为a-b0,所以ab.根据不等式的性质可知A,B正确;因为a,b的符号不确定,所以C不正确;3.设m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,则m,n的大小关系是.答案 mn解析 m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a20.2.2.22.2.2不等式的解集不等式的解集第二章第二章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.理解不等式及不等式组的解集的概念,会利用不等式的性质解不等式或不等式组.(数学运算)2.理解绝对值的几何意义,并会解绝对值不等式.(数学抽象,数学运算)3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式,并会简单应用.(数学抽象

29、,数学运算)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】如图为某三岔路口交通环道的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出车辆数相等).问题1:你能用x3,x1,x2分别表示出x1,x2,x3吗?问题2:你能判断出x1,x2,x3的大小吗?【知识点拨】知识点一、不等式的解集与不等式组的解集一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.名师点析 求不等式组解

30、集的方法(1)求每个不等式的解集;(2)把各个不等式的解集表示在数轴上,找出公共部分.不等式组的解集有4种情况(ab):记忆口诀同大取大,同小取小,大小取中,两背皆空.微思考 方程的解与方程的解集是一样吗?提示 不一样.方程的解集是方程的解构成的集合.微练习A.x|x-2B.x|-20,则|ax+b|c等价于-cax+bc,|ax+b|c等价于ax+bc或ax+b-c,然后根据a,b的值解出即可.(2)若c0),|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法(1)零点分区间法零点分区间法的一般步骤:令每个绝对值号内的代数式为零,并求出相应的根;将这些根按从小到大的顺序排列,把实数集分为若干个区

31、间;在所分区间内去掉绝对值号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集;取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义求解由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|c(c0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.微思考 方程|x|=3的解是什么?提示 方程|x|=3的解是x=3.微练习不等式|x+1|5的解集为.答案(-6,4)解析 由|x+1|5,得-5x+15,解得-6x1,得x-1,解不等式x-20,得x2,则不等式组的解集为x|

32、-1x2.将解集表示在数轴上如下:解不等式x+83,则不等式组的解集为x|x3,将不等式组的解集表示在数轴上如下:要点笔记 一元一次不等式组的求解策略熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键.延伸探究求出例1(1)中所有整数解.解 因为不等式组的解集为x|-1x2,所以其整数解为0,1.探究二探究二解绝对值不等式解绝对值不等式解绝对值不等式解绝对值不等式例2解不等式3|x-2|4.分析此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.由,得x-2-3,或x-23,x-1,或x5.由,得-4x-24,-2x6.如图所示,原不等式

33、的解集为x|-2x-1或5x6.例3解不等式:|x+7|-|x-2|3.分析利用分类讨论思想脱去绝对值符号进行求解.解(方法一)|x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1(如图所示).从图易知不等式|x+7|-|x-2|3的解为x-1,即x(-,-1.(方法二)令x+7=0,x-2=0,得x=-7,x=2.当x-7时,不等式变为-x-7+x-23,-93成立,x2时,不等式变为x+7-x+23,即93不成立,x.原不等式的解集为(-,-1.(方法三)将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-30,作出函数的图

34、像(如图),从图可知,当x-1时,有y0,即|x+7|-|x-2|-30,原不等式的解集为(-,-1.反思感悟 含有绝对值的不等式的解题策略解含有绝对值的不等式,总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式,但要根据所求不等式的结构,选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号,故可用绝对值的几何意义来求解,或用分区间讨论法求解,还可构造函数利用函数图像求解.变式训练 1(1)关于x的不等式|x-a|8的解集为.答案(1)2(2)(-,-4)(4,+)解析(1)|x-a|1,-1x-a1,即a-1xa+1.又关于x的不等式|x-a|1的解集为(1,3),a-1=1,且a+1=3,a=2.(2)(方法一)由

35、代数式|x+3|,|x-3|知,-3和3把数轴分为三个区间:x-3,-3x3,x3.当x8,即x-4,此时不等式的解集为(-,-4);当-3x8,此时不等式无解;当x3时,原不等式变形为x+3+x-38,即x4,此时不等式的解集为(4,+).取的并集得原不等式的解集为(-,-4)(4,+).(方法二)不等式|x+3|+|x-3|8表示数轴上与A(-3),B(3)两点距离之和大于8的点,而A,B两点的距离为6,因此线段AB上的每一点到A,B的距离之和都等于6.如图,要找到与A,B距离之和为8的点,只需由点B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位),即移到点B1(4),或由点A向左移1个单位,即

36、移到点A1(-4),可以看出,数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(-4)向左的点到A,B两点的距离之和均大于8.原不等式的解集为(-,-4)(4,+).探究三探究三数轴上的基本公式及应用数轴上的基本公式及应用例4已知数轴上的三点A,B,P的坐标分别为A(-1),B(3),P(x).(1)点P到A,B两点的距离都是2时,求P(x),此时P与线段AB是什么关系?(2)在线段AB上是否存在一点P(x),使得P到A和B的距离都是3?若存在,求P(x),若不存在,请说明理由.分析根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解.点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点.(2)不存在这样的P(x),理由如下

37、:AB=|1+3|=46,在线段AB上找一点P使|PA|+|PB|=3+3=6是不可能的.反思感悟 数轴上基本公式的应用(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离,若已知两点间的距离,也可用距离公式求相应点的坐标;(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题.其中已知两点坐标,可用公式求第三点的坐标.变式训练 2已知数轴上三点P(-8),Q(m),R(2).(1)若其中一点到另外两点的距离相等,求实数m的值;(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1,求实数m的取值范围.素养形成素养形成分类讨论或数轴法比较大小分类讨论或数轴法比较大小 当堂检测当堂检测答案 C A.x|x-2B.x|x2C

38、.x|-2x3D.x|-2x3答案 A答案 2,3 答案 6 解 解不等式x-3(x-2)-4,得x5.解不等式x-1 ,得x4.则不等式组的解集为x|x0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a0.一元二次不等式中的不等号也可以是“0或a0两种,注意a0.当a0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+0;(2)x3+5x-60;(3)-x-x20;(4)x20;(5)mx2-5y0;(6)ax2+bx+c0;(7)x-

39、0.提示 题号是否是一元二次不等式理由(1)不是a=0时,不符合一元二次不等式的定义(2)不是x的最高次数为3(3)是符合一元二次不等式的定义(4)是符合一元二次不等式的定义(5)不是m=0时,为一元一次不等式.m0时,含有x,y两个未知数(6)不是a=0时,x的最高次数不是2(7)不是不是整式不等式知识点二、一元二次不等式的解法1.因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1x2,则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-,x1)(x2,+).2.配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)2k的形式,然后根据k的正负等知识,

40、就可以得到原不等式的解集.名师点析 1.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解.2.含有参数的不等式的解法解含有参数的一元二次型不等式应注意以下几点:(1)要以二次项系数与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零,不等式右边为零)后,再以判别式与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(3)如果判别式大于零,但两根的大小还

41、不能确定,此时再以两根的大小关系作为分类标准进行分类讨论.我们在解决以上问题时,最优的处理次序应先看二次项系数的正负,其次考虑,最后分析两根的大小.分类讨论应注意以下问题:对参数分类时要目标明确,讨论时要不重不漏.最后结果要分类回答,切不可取并集,解集为时,也是其中一类,不要随便丢掉.弄清分类原因,能更好地、合理地对参数分类.并不是所有含参数的问题都需要分类讨论.微练习(1)(2021甘肃宁县第二中学高二期末)不等式2+x-x20,即(x-2)(x+1)0,解得x2,所以不等式2+x-x20(0)或 0(0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0).2.分式不等式的解法解分式不等式的

42、思路转化为整式不等式求解.化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式.将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:微练习 答案 C 课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念例1x2+x+10,mx2-5x+10,-x3+5x0,(a2+1)x2+bx+c0(m,aR).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是.(请把正确的序号都填上)答案 解析 是;不是;不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;不是,因为未知数的最高次数是3;是,尽管x2的系数含有字母,但a2+10,所以与不同,故答案为.反思感悟 1.形如ax2+bx+

43、c0(a0)的不等式,叫做一元二次不等式,不等号也可以是“0;(2)-x-x25;(3)ax22;(4)x3+5x-60;(5)mx2-5y0.解(1)(2)是,(1)(2)符合一元二次不等式的概念.(3)不是,因为当a=0时,不等式化为02,不符合一元二次不等式的概念.(4)不是,因为x的最高次数为3,不符合一元二次不等式的概念.(5)不是,因为当m=0时,它为一元一次不等式;当m0时,它含有两个未知数.(6)不是,因为当a=0时,不等式化为bx+c0,不符合一元二次不等式的概念.探究二探究二一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法例2解下列不等式:(1)-2x2-x+60;(2)x2+x+

44、10;(3)(3x-1)(x+1)4.分析(1)(3)利用因式分解法求解;(2)用配方法解不等式即可.反思感悟 一元二次不等式的解题策略1.因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式.2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)通过配方总可以化为(x-h)2k或(x-h)2k的形式,然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.变式训练 2解下列不等式:(1)x2-4x-50;探究三探究三分式不等式的解法分式不等式的解法A.(-,-1)(2,+)B.(-,-2)(2,+)C.(-2,2)D.(-1,2)分析(1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再

45、求解;(2)根据不等式及解集,可判断a的符号及 =2.将所求不等式变形,结合一元二次不等式解法即可求得解集.答案(1)x|-4x0,-2a0,a=-2,a-2时,不等式的解集是(-,-2a,+);当a-2时,不等式的解集是(-,a-2,+).素养形成素养形成求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a0),则当未说明不等式为一元二次不等式时,有 2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.典例若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x

46、-10时,y0在区间,上恒成立二次函数在区间两个端点处的函数值均小于零;(2)a0在区间,上恒成立二次函数在区间两个端点处的函数值均大于零;(3)y0在区间,上恒成立,A,其中A是y0的解集.变式训练 已知y=3x2+bx+c,不等式y0的解集为(-,-2)(0,+).(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的x-2,2,y+m3恒成立,求实数m的最大值.解(1)易知-2和0是y=0的两个根,可得y=3x2+6x.(2)y+m3即m-3x2-6x+3,而x-2,2时,函数t=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,开口向下,所以函数的最小值在x=2时取得,此时tmin=-21,m-21,实数m的最

47、大值为-21.当堂检测当堂检测1.(2020山东滕州一中高一月考)不等式-x2+3x-20的解集是()A.(-,1)B.(2,+)C.(1,2)D.(-,1)(2,+)答案 C解析 原不等式可化为x2-3x+20,即(x-1)(x-2)0,解得1x0的解集为(-1,2),则a-b=.答案-2解析 不等式ax2+bx+20的解集是(-1,2),方程ax2+bx+2=0的两根为x1=-1,x2=2,则x1+x2=-=1,x1x2=-2,解得a=-1,b=1,a-b=-2.2.2.42.2.4均值不等式及其应用均值不等式及其应用第二章第二章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习

48、探究学习课标阐释1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式.(数学抽象)2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.(逻辑推理、直观想象)3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.(逻辑推理、数学运算)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的重量a和b,然后就把两次称得的重量的算术平均数 作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑,那么这样计算的重量相对

49、于原来的真实重量到底是大了还是小了呢?你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗?知识点一、均值不等式【知识点拨】名师点析 1.重要不等式对于任意实数a,b,有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.不等式a2+b22ab的变形这两个变形体现了两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.3.均值不等式与不等式a2+b22ab的异同 4.均值不等式的变形第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.微思考 均值不等式与不等式a2+b22ab的关系如何?请对此进行讨论.提示(1)在a2+b22a

50、b中,a,bR;在a+b2 中,a,b0.(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).(3)证明的方法都是作差比较法.(4)都可以用来求最值.微练习 答案 B(2)已知a,bR,且a2+b2=4,则ab()A.有最大值2,有最小值-2B.有最大值2,但无最小值C.有最小值2,但无最大值D.有最大值2,有最小值0答案 A解析 因为a,bR,则由a2+b2=4,a2+b22|ab|,得|ab|2,所以-2ab2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.名师点析 利用均值不等式求最值注意事项在应用均值不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三