内蒙古乌兰察布2018届高三数学上学期第二次调研考试试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期第二次调考 高三年级数学（理科）试题 分值： 150分 时间： 120分钟 一、选择题（本题共 12 小题 ,每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 1项是符合题意的。） 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. “ ”是“直线 ： 与直线 ： 垂直”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 ，则下列命题中的假命题是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 相交，则 相交 D. 若 相交，则 相交 4. 等差数

2、列 中的 、 是函数 的两个极值点，则A. 6log42?B. 4 C. 3log42?D. 3log32?5. 已知扇形 OAB的面积为 1，周长为 4，则弦 AB 的长度为 A. 2 B. C. D. 6. 已知角 且 ，则 的值为 A. 31- ? B. C. 31? D. 231?7. 函数 的零点所在的大致区间是 A. B. C. D. 8. 若函数 的导函数是 ，则 A. 1 B. 2 C. D. - 2 - 9. 将函数 的图象向右平移 个单位 后，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值为 A. B. C. D. 10. 已知函数 的部分图象如图所示，则 分别为 A. B. B.

3、 C. D. 11. 函数 是定义在 内的可导函 数，且满足： ，对于任意的正实数 ，若 ，则必有 A. B. C. D. 12. 函数 有两个零点，则 a的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分） 13.若 满足约束条件 ，则函数 的最大值是 14.在 中， 边上的高等于 ，则 COSA= 15.已知 是正数，且 ，则 的最小值是 16.已知圆 ，直线 l： ，若圆 上恰有 4个点到直线 l的距离都等于 1，则 b的取值范围为 三、解答题 (本大题共 6 个小题，满分 70分， 17-21题 ,每题 12分 ,22题和 23 题各 10分 ,其中解答应

4、写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.已知： 的三个内角 的对边分别为 ，且满足 求角 B的大小； 若 的面积为 ，求 b边的长 18.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”比赛成绩共有 90 分， 70分， 60 分， 40分， 30 分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了 30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E 成绩 分 90 70 60 40 30 - 3 - 人数 名 4 6 10 7 3 根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“

5、 A 或 B”的概率； 根据 的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生 参赛人数很多 中任选 3人，记 X 表示抽到成绩等级为“ A或 B”的学生人数，求 X的分布列及其数学 期望 E（ X） ； 19.如图所示，在直四棱柱 中， 底面 ABCD是矩形， 是侧棱 的中点 (1) 求证： 平面 AED； (2) 求二面角 的大 小 20.如图，已知椭圆 C： 的离心率是 ，一个顶点是 求椭圆 C的方程； 设 是椭圆 C上异于点 B 的任意两点，且 试问：直线 PQ 是否恒过一定点？若 是， 求出该定点的坐标；若不是，说明理由 21.已知函数 若函数 的图象在 处的切线的斜率为 ，求 的极值；

6、当 时， 的图象恒在 x轴下方，求实数 a的取值范围 请在 22题和 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所选的第一题给分 . - 4 - 22.在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l的参数方程为 为参数 ，以原点 O为极点，以 x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 写出直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程； 若点 P的直角坐标为 ，曲线 C与直线 l交于 两点，求 的值 23.已知函数 当 时，求不等式 的解集； 若 的解集包含 ，求实数 a的取值范围 - 5 - 高三二调理科数学答案 一、 选择题： 1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C

7、8.D 9.B 10.A 11.D 12.D 二、选择题： 13. 6 14. 15. 16 16. 三、简答题： 17.解：（）由已知得 cos2B+cosB=0，可得 2cos2B+cosB-1=0， 即（ 2cosB-1）（ cosB+1） =0，解得 cosB= 或 cosB=-1 因为 0 B ，故舍去 cosB=-1，所以， B= （ ）由 sinA=3sinC 利用正弦定理可得 a=3c， 而 ABC 的面积为 acsinB= ，将 a=3c和 B= 代入上式，得出 c=1，且 a=3，再由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，解得 b= 18.解：（ I）根据统计数据可知

8、，从本地区参加 “数独比赛”的 30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ A 或 B”的概率为 = ， 即从本地区参加 “ 数独比赛 ” 的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为 “A 或B” 的概率为 （ II）由题意知随机变量 X可取 0， 1， 2， 3， P （ X=0） =C （ ） 0（ ） 3= ； P（ X=1） =C （ ） 1（ ） 2= ； P（ X=2） =C （ ） 2（ ） = ； P（ X=3） =C （ ） 3（ ） 0= ； 所以 X的分布列为（必须写出分布列，否则扣 1分） X 0 1 2 3 P 故 E=0 +1 +2 +3 =1，所求期望值为 1 19.

9、（ 1）证明：在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形， 以 D1 为原点， D1A1 为 x轴， D1C1为 y轴， D1D为 z轴， - 6 - 建立如图所示空间直角坐标系 AB=1 ， BC= ， AA1=2， E是侧棱 BB1的中点， D （ 0， 0， 2）， A（ ， 0， 2）， E（ ， 1， 1）， ， C1（ 0， 1， 0）， =（ ， 0， 0）， =（ 0， 1， -1）， =（ 0， 1， 1）， =0， ， A1EDA ， A1E AE， A1E 平面 AED （ 2）解：设 是平面 A1DE的一个法向量， ， =（ - ， 0， 2）， ，

10、 取 x=1，得 =（ ， -1， 1）， 平面 AA1D， 平面 AA1D的一个法向量为 =（ 0， 1， 0）， cos = =- ， 结合图形，可判别得二面角 A-A1D-E是锐角，它的大小为 20.（）解：设椭圆 C的半焦距为 c依题意，得 b=1，（ 1分） 且 ，（ 3分） 解得 a2=4（ 4分） 所以，椭圆 C的方程是 （ 5分） （）证法一：易知，直线 PQ的斜率存在 ，设其方程为 y=kx+m（ 6分） 将直线 PQ的方程代入 x2+4y2=4， 消去 y，整理得 （ 1+4k2） x2+8kmx+4m2-4=0（ 8分） 设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），

11、 则 ， （ 9分） 因为 BP BQ，且直线 BP， BQ的斜率均存在， 所以 ，整理得 x1x2+y1y2-（ y1+y2） +1=0（ 10 分） 因为 y1=kx1+m， y2=kx2+m， 所以 y1+y2=k（ x1+x2） +2m， 将代入，整理得 将代入，整理得 5m2-2m-3=0 - 7 - 解得 ，或 m=1（舍去） 所以，直线 PQ恒过定点 （ 12分） 证法二：直线 BP， BQ 的斜率均存在，设直线 BP 的方程为 y=kx+1（ 6分） 将直线 BP的方程代入 x2+4y2=4，消去 y，得 （ 1+4k2） x2+8kx=0（ 8 分） 解得 x=0，或 （ 9

12、分） 设 P（ x1， y1），所以 ， ， 所以 （ 10分） 以 替换点 P坐标中的 k，可得 从而，直线 PQ的方程是 依题意，若直线 PQ过定点，则定点必定在 y 轴上 在上述方程中，令 x=0，解得 所 以，直线 PQ恒过定点 （ 12分） 21.解：（） f（ x） = +alnx-（ 2x+a） =alnx-2x+ ， x 0， f （ e） =a-2e+ = -2e， a=0 ， f （ x） =2lnx-x2+ f （ x） = -2x= =- ， 令 f （ x） 0，解得 0 x 1，函数 f（ x）递增， 令 f （ x） 0，解得 x 1，函数 f（ x）递减， f

13、（ x）极大值 =f（ 1） =0，无极小值， （ 2）由（ 1）可知 f （ x） =alnx-2x+ ， x 0， 令 g（ x） =alnx-2x+ ， g （ x） = -2- = （ a-2x- ）， 当 x 1时， x+ 2，有 a-2x- a-4， 若 a-40 ，即 a4 时， g （ x） 0，故 g（ x）在区间（ 1， + ）上单调递减， 则当 x 1时， g（ x） g（ 1） =0，即 f （ x） 0，故 f（ x）在区间（ 1， + ）上单调递减， - 8 - 故当 x 1时， f（ x） f（ 1） =0， 故当 a4 ， x 1 时， f（ x）的图象恒在 x

14、轴的下方， 若 a-4 0，即 a 4 时，令 g （ x） 0，可得 1 x ， 故 g（ x）在区间（ 0， ）上单调递减， 故当 1 x 时， g（ x） g（ 1） =0， 故 f（ x）在区间（ 1， ）上单调递增， 故当 1 x 时， f（ x） f（ 1） =0， 故当 a 4， x 1 时，函数 f（ x）的图象不可恒在 x轴下方， 综上可知， a的取值范围是（ - ， 4 22.解：（）直线 l的参数方程为 （ t 为参数），消去参数， 可得直线 l的普通方程为： x+y- =0 ? （ 2分） 曲线 C的极坐标方程为 =6cos ，即 2=6cos ，化为直角坐标方程为 x

15、2+y2=6x， 即圆 C的直角坐标方程为：（ x-3） 2+y2=9? （ 5分） （ ）把直线的参数 方程代入圆 C的方程，化简得： t2+2t-5=0? （ 8分） 所以， t1+t2=-2， t1t2=-5 0 所以 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= = ? （ 10分） 23.解：（ 1）当 a=-4时，求不等式 f（ x） 6，即 |x-4|+|x-2| 6， 而 |x-4|+|x-2|表示数轴上的 x对应点到 4、 2对应点的距离之和， 而 0和 6对应点到 4、 2对应点的距离之和正好等于 6，故 |x-4|+|x-2|6 的解集为x|x0 ，或 x6 （ 2）原命题等价于 f（ x） |x -3|在 0， 1上恒成立，即 |x+a|+2-x3 -x在 0， 1上恒成立， 即 -1x+a1 ，即 -1-xa1 -x在 0， 1上恒成立，即 -1a0