湖南省长沙市2018届高三数学上学期第三次(11月)月考试题 [理科](有答案,word版).doc
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1、 - 1 - 湖南省长沙市 2018 届高三数学上学期第三次( 11 月)月考试题 理 时量: 120 分钟 满分: 150 分 第 卷 一、选择题:本大题共 12 小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 , 在每小题的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 (1)复数 21 i ( )1 i2的共轭复数是 (B) (A)1 3i (B)1 3i (C) 1 3i (D) 1 3i (2)已知集合 A x|y log2( 5 x) , B y|y 2x 1 , 则 A B (C) (A)0, 5) (B)(0, 5) (C)R (D)(0, ) (3)张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数
2、学名著 , 书中有如下问题: “ 今有女不善织 , 日减功迟 , 初日织五尺 , 末日织一尺 , 今共织九十尺 , 问织几日? ” , 已 知 “ 日减功迟 ” 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布 , 则此问题的答案是 (C) (A) 10 日 (B) 20 日 (C) 30 日 (D) 40 日 【解析】易知每日织布数量构成一个等差数列 , 设此数列为 an , 则 a1 5, an 1, Sn90. 所以 n( 5 1)2 90, 解得 n 30, 选 C. (4)已知函数 f(x)?x2, 0 x0; P3: ? ( )x, y D, x y0 成立 又 an是公比大 于 0 的等比
3、数列 , 且 a5a6a7 1, 所以 a6 1. 故 a2a10 a3a9 a4a8 a5a7 a6 1; 故 f(a2) f(a3) ? f(a10) f(a2) f(a10) f(a3) f(a9) ? f(a5) f(a7) f(a6)0, 所以 f(a1) f(a2) ? f(a10) f(a1) a1, 若 a11, 则 a1ln a1 a1, 则 a1 e; 若 00, 则 cos C 12, 又 C(0 , ), 所以 C 3.(5 分 ) () 令 ABC 的内切圆半径为 R, 有 12absin 3 123 R, 则 R 36 ab, 由余弦定理得 a2 b2 ab (3
4、a b)2, 化简得 3 ab 2(a b), (8 分 ) 而 a b2 ab, 故 3 ab4 ab, 解得 ab3 或 ab1.(10 分 ) 若 ab3 , 则 a, b 至少有一个不小于 3, 这与 ABC 的周长为 3 矛盾; 若 ab1 , 则当 a b 1 c 时 , R 取最大值 36 . 综上 , 知 ABC 的内切圆最大面积值为 Smax ? ?362 12.(12 分 ) (18)(本小题满分 12 分 ) 如图 , 四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 为 矩形 , 侧面 PAD 为正三角形 , 且平面 PAD 平面ABCD, E 为 PD 中点 , AD 2
5、. () 求证: 平面 AEC 平面 PCD. () 若二面角 A PC E 的平面角大小 满足 cos 24 , 求四棱锥 P ABCD 的体积 【解析】 () 取 AD 中点为 O, BC 中点为 F, 由侧面 PAD 为正三角形 , 且平面 PAD 平面 ABCD 知 PO 平面 ABCD, 故 FO PO, 又 FO AD, 则 FO 平面 PAD, 所以 FO AE, 又 CD FO, 则 CD AE, 又 E 是 PD 中点 , 则 AE PD, 由线面垂直的判定定理知 AE 平面 PCD, 又 AE? 平面 AEC, 故平面 AEC 平面 PCD.(6 分 ) - 6 - ()
6、如图所示 , 建立空间直角坐标系 O xyz, 令 AB a, 则 P(0, 0, 3), A(1, 0, 0), C( 1, a, 0) 由 () 知 EA ? ?32, 0, 32 为平面 PCE 的法向量 , 令 n (1, y, z)为平面 PAC 的法向量 , 由 于 PA (1, 0, 3), CA (2, a, 0)均与 n 垂直 , 故?n PA 0,n CA 0,即 ?1 3z 0,2 ay 0, 解得?y 2a,z 33 ,故 n ? ?1, 2a, 33 , 由 cos ?EA n| |EA | |n?13 43 4a2 24 , 解得 a 3.(10分 ) 故四棱锥 P
7、 ABCD 的体积 V 13SABCD PO 132 3 3 2.(12 分 ) (19)(本小题满分 12 分 ) 一只袋中放入了大小一样的红色球 3 个 , 白色球 3 个 , 黑色球 2 个 () 从袋中随机取出 (一次性 )2 个球 , 求这 2 个球为异色球的概率; () 若从袋中随机取出 (一次 性 )3 个球 , 其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为 a、b、 c, 令随机变量 表示 a、 b、 c 的最大值 , 求 的分布列和数学期望 【解析】 () 设事件 A 表示 “ 从袋中随机取出 (一次性 )2 个 球 , 这 2 个球为异色球 ” , 则 P(A) 1 C23 C2
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