湖南省长沙市2018届高三数学上学期第二次阶段性测试试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 - 1 - 2018届高三第二次阶段性测试 数学（理）试题 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ? ? ? ? ? ?2 , 1 , 0 , 1 , 2 , | 1 3 0A B x x x? ? ? ? ? ? ?，则 AB?I （ ） A ? ?2, 1,0? B ? ?0,1 C ? ?1,0,1? D ? ?0,1,2 2.若复数321z i? ?，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是（ ） A -1 B i? C 1 D i 3.已知 ,?均为第一象 限的角，那么 ? 是

2、 sin sin? 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.若 ,xy满足约束条件 10040xxyxy? ? ?，则 1yx? 的取值范围为（ ） A. 10,2?B. 1,12?C. ? ?0,2 D.? ?1,2 5. 已知双曲线 x2a2y25 1的右焦点为 (3,0)，则该双曲线的离心率等于 ( ) A.3 1414 B.3 24 C.32 D.43 6、 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “ 更相减损术 ” 执行该程序框图，若输入 的 a， b分别为 14， 18，则输出的 a ( ) A 0 B 2 C 4 D

3、14 7、 若 ABC中， AC 3， A 45 ， C 75 ，则 BC （ ） A 1 B 2 C 3 D 2 - 2 - 8.设首项为 1，公比为 23的等比数列 an的前 n项和为 Sn，则 ( ) A Sn 2an 1 B Sn 3an 2 C Sn 4 3an D Sn 3 2an 9 设 a log32， b log52， c log23，则 ( ) A acb B bca C cba D cab 10.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1），则这个几何体的体积（ ） A 323 B 643 C 16 D 32 11.抛物线 2 8yx? 的焦点为 F ，设 1

4、1( , )Ax y ， 22( , )Bx y 是抛物线上的两个动点，若12 234 3x x AB? ? ?，则 AFB? 的最大值为（ ） A 3? B 34? C 56? D 23? 12、已知对任意 x1， f(x)=lnx+3xk +1-k大于零恒成立，若 k z，则 k的 最大值为（ ） A. 2 3 C. 4 D. 5 二 、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.在多项式 6(1 2)x? 的展开式中， 2x 项的系数为 14. 观察下列不等式 1 12232， 1 122 132 53， 1 122 132 142 74， ? 照此规律， 第五个 不等式

5、为 _ 15.若 tan 3tan? ，其中 0 2? ? ? ，则 ? 的最大值为 . 16、点 A、 B、 C、 D 在同一个球的球面上， AB=BC=2， AC=2 2 ，若四面体 ABCD 体积的最大值- 3 - 为 43 ，则该球的表面积为 。 三 、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知等差数列 an的公差不为零， a1 25，且 a1， a11， a13成等比数列 (1)求 an的通项公式； (2)求 a1 a4 a7 ? a3n 2. 18. 如图，四棱锥 P ABCD? 中，平面 PAD? 平面 ABCD ，底面

6、ABCD 为等腰梯形，/AB CD ， 2AD DC BC? ? ?， 4AB? ， PAD? 为正三角形 . （ 1）求证： BD? 平面 PAD ； （ 2）设 AD 的中点为 E ，求直线 PE与平面 PDC 所成角的正弦值 . 19. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300） 空气质量指数 (0,50(50,100(100,150 (150,200 (200,250 (250,300 空气质量等级 1级优 2 级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染 该社团将该校区在 201

7、6年 100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率 . （ 1）请估算 2017年（以 365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）； （ 2）该校 2017年 6月 7、 8、 9日将作为高考考场，若这三天中某天出现 5级重度污染，需- 4 - 要净化空气费用 10000 元，出现 6级严重污染，需要净化空气费用 20000元，记这三天净化空气总费用 X 元，求 X 的分布列及数学期望 . 20.已知椭圆 22:1xyC ab?（ 0ab?）的左、右顶点分别为 12,AA，左、右焦点分别为 12,FF，离心率为 12 ，点 (

8、4,0)B ， 2F 为线段 1AB的中点 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若过点 B 且斜率不为 0的直线 l 与椭圆 C 的交于 ,MN两点，已知直线 1AM 与 2AM相交于点 G ，判断点 G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由 . 21. 已知函数 ? ? 2 12x mf x e x m x? ? ? ?. （ 1）当 1m? 时，求证：对 ? ?0,x? ? ? 时， ? ? 0fx? ； （ 2）当 1m? 时，讨论函数 ?fx零点的个数 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.（本题满分 10

9、分）选修 4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 5 cos5 sinxy? ?（ ? 为参数），以 坐标原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . （ 1）求曲线 1C 的极坐标方程； （ 2）若直线 2C 的极坐标方程为 ? ?3 R?，设 2C 与 1C 交于点 ,PQ,求 PQ 的值 . 23.（本题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 （ 1）求不等式 1 2 3 0xx? ? ? ? ?的解集； - 5 - （ 2）已知 12, , , na a a R?L ，且 12 1na a a? ? ? ?L ，求证： ? ?

10、? ? ? ?121 1 1 2 .nna a a? ? ? ? ?L - 6 - 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D C C B B D D A D C 二、填空题 :本大题共 4小题 ,每小题 5分，满分 20分 13 60; 14. 1 122 132 142 152 162116. 15. 30度 ; 16. 9? 12题解： 即 xlnx+x kx+3k 0，令 g（ x） =xlnx+x kx+3

11、k， 则 g （ x） =lnx+1+1 k=lnx+2 k， x 1， lnx 0，若 k 2， g （ x） 0恒成立， 即 g（ x）在（ 1， + ）上递增； g（ 1） =1+2k 0，解得， k ；故 k 2， 故 k的最大值为 2；若 k 2，由 lnx+2 k 0解得 x ek 2， 故 g（ x）在（ 1， ek 2）上单调递减，在（ ek 2， + ）上单调递增； gmin（ x） =g（ ek 2） =3k ek 2， 令 h（ k） =3k ek 2， h （ k） =3 ek 2， h（ k）在（ 1， 2+ln3）上单调递增，在（ 2+ln3， + ）上单调递减；

12、h（ 2+ln3） =3+3ln3 0， h（ 4） =12 e2 0， h（ 5） =15 e3 0； k的最大取值为 4， 综上所述， k的最大值为 4 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 . 17.已知等差数列 an的公差不为零， a1 25，且 a1， a11， a13成等比数列 (1)求 an的通项公式； (2)求 a1 a4 a7 ? a3n 2. 17 解： (1)设 an的公差为 d.由题意， a211 a1a13， 即 (a1 10d)2 a1(a1 12d)， 于是 d(2a1 25d) 0. 又 a1 25，所以 d 0(

13、舍去 )， d 2. 故 an 2n 27. (2)令 Sn a1 a4 a7 ? a3n 2. 由 (1)知 a3n 2 6n 31，故 a3n 2是首项为 25，公差为 6的等差数列从而 Sn n2(a1 a3n 2) n2( 6n 56) 3n2 28n. 18.【解析】 （ ） 在等腰梯形 ABCD 中，过点 D 作 DE AB? 于点 E ， 如图所示：有 1, 3 , 2 3AE D E BD? ? ? - 7 - 在 ABD? 中，有 2 2 2AB AD BD?，即 AD BD? 又因为平面 PAD? 平面 ABCD 且交线为 AD ， BD? 平 面 PAD . （ ） 由

14、平面 PAD? 平面 ABCD ，且 PAD? 为正三角形 ,E 为 AD 的中点， PE AD? ， 得 PE? 平面 ABCD 如图所示，以 D 为坐标原点， DA 所在直线为 x 轴， DB 所在直线为 y 轴，过点 D 平行于 PE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 . 由条件 2AD DC BC? ? ?， 则 1AE DE?， 3PE? ， 23BD? 则 (0,0,0)D ， (1,0,0)E ， (1,0, 3)P - 6分 在等腰梯形 ABCD 中，过点 C 作 BD 的平行线交 AD 延长线于点 F 如图所示： 则在 Rt CDF? 中，有 3CF? ， 1DF? ，

15、 ( 1, 3,0)C? - 8 - （ 另解 :可不做辅助线，利用 2AB DC? 求点 C 坐标 ） (1, 3,0)CD? ， ( 1,0, 3)PD ? ? ? ， 设平面 PDC 的法向量 1 1 1 1( , , )n x y z? 则 1 1 11 1 13030n CD x yn PD x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，取 1 3x? ，则 1 1y? ， 1 1z? ， 面 PDC 的法向量 11( 3 ,1, 1)5sin cos ,5nn EP? ? ? ? ?ur (0,0, 3)EP? ? 1 5sin cos , 5n EP? ? ? ? ?即平面 PE

16、B 与平面 PDC 所成二面角 的余弦值为 76565 19.【解析】 （ ） 由直方图可 估算 2017 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数为 ( 0 .1 0 .2 ) 3 6 5 0 .3 3 6 5 1 0 9 .5 1 1 0? ? ? ? ? ?（天） （ ）由题可知， X 的所有可能取值为： 0 ， 10000， 20000 ， 30000 ， 40000 ， 50000 ， 60000 ， 则： 34 64( 0) ( )5 125PX ? ? ?， 123 1 4 2 4( 1 0 0 0 0 ) ( )1 0 5 1 2 5P X C? ? ? ? ?2 2 1

17、 2331 4 1 4 1 0 8 2 7( 2 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 5 1 0 5 5 0 0 1 2 5P X C C? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 1321 1 1 4 4 9( 3 0 0 0 0 ) ( )1 0 1 0 1 0 5 1 0 0 0P X C C? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2331 1 1 4 2 7( 4 0 0 0 0 ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0 5 1 0 0 0P X C C? ? ? ? ? ? ? ? 223 1 1 3( 5 0 0 0 0 ) ( )1 0 1 0 1 0 0 0P X C? ? ? ? ? 311( 6 0 0 0 0 ) ( )1 0 1 0 0 0PX ? ? ? ? X 的分布列为 X 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 P 64125 24125 271