[数学]53样条插值课件.ppt

1、5.3 样条插值样条插值 一、样条函数一、样条函数 二、三次样条插值问题二、三次样条插值问题三三、B样条样条四、以四、以B样条为基底的三次样条插值函数样条为基底的三次样条插值函数（自学）（自学）（自学）（自学）复习：分段多项式插值复习：分段多项式插值 1、分段线性插值、分段线性插值 2、分段二次插值、分段二次插值 分段多项式插值分段多项式插值（1）分段线性插值的定义）分段线性插值的定义 1、分段线性插值、分段线性插值（2）分段线性插值的）分段线性插值的误差估计误差估计2、分段二次插值、分段二次插值（1）定义）定义（2）分段二次插值的）分段二次插值的误差估计误差估计分段多项式插值分段多项式插值设

2、设y=f（x）为定义在）为定义在a,b上的实值函数，已知上的实值函数，已知f（x）在该）在该区间中区间中n+1个互不相同的点个互不相同的点),2,1,0(),(nixfyii1、分段线性插值、分段线性插值（1）分段线性插值的定义）分段线性插值的定义.xyo)(xfy 分段多项式插值分段多项式插值1、分段线性插值、分段线性插值 0 x1x2xix1ixnixfyii,2,1,0),(1111,1)(iiiiiiiiiyxxxxyxxxxxP分段多项式插值分段多项式插值设设y=f（x）为定义在）为定义在a,b上的实值函数，已知上的实值函数，已知f（x）在该）在该区间中区间中n+1个互不相同的点个互

3、不相同的点),2,1,0(),(nixfyii,1iixx在子区间在子区间作线性插值作线性插值)(,1xPi),2,1(ni1111,1)(iiiiiiiiiyxxxxyxxxxxP1、分段线性插值、分段线性插值（1）分段线性插值的定义）分段线性插值的定义（2）分段线性插值的）分段线性插值的误差估计误差估计)(max)(max8)()(112,1 iinibxaixxhxfhxpxf其中定理定理:).,2,1,0(,)(,)(2niyxfbaCxfii)(,1xpi是是a,b上以上以nxxx,10为节点的分段线性为节点的分段线性插值函数插值函数,则对任意则对任意,bax有有),2,1(ni10

4、10100101,)(xxxyxxxxyxxxxx8.01),8.0(2.01)1(2.08.0)(xfxfxx)1(2941.0)8.0(1923.0 xx04253.0)96.0()96.0(f04253.0)96.0()96.0(f(1)(2)(max8)()(2xfhxxfbxa 22)251(50)(xxxf322)251(17550)(xxxf 100)(xf2225)()(hxxf0028.0h04253.0)96.0()96.0(f(1)(2)0028.0h分段多项式插值分段多项式插值（1）分段线性插值的定义）分段线性插值的定义 1、分段线性插值、分段线性插值（2）分段线性插值

5、的）分段线性插值的误差估计误差估计2、分段二次插值、分段二次插值（1）定义）定义（2）分段二次插值的）分段二次插值的误差估计误差估计2、分段二次插值、分段二次插值（1）定义）定义),2,1,0(),(nixfyii,2iixx在子区间在子区间作二次插值作二次插值)(,2xPi22121121122121,2)()()()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxPn为偶数为偶数（2）分段二次插值的）分段二次插值的误差估计误差估计)(max)(max12)()(113,2 iinibxaixxhxfhxpxf其中分段多项式插

6、值分段多项式插值（1）分段线性插值的定义）分段线性插值的定义 1、分段线性插值、分段线性插值（2）分段线性插值的）分段线性插值的误差估计误差估计2、分段二次插值、分段二次插值（1）定义）定义（2）分段二次插值的）分段二次插值的误差估计误差估计分段插值算法简单，且能保证收敛性，但其光滑性差。分段插值算法简单，且能保证收敛性，但其光滑性差。不适用于光滑性要求高的外形设计。不适用于光滑性要求高的外形设计。为了提高其光滑性，人们提出了三次样条插值。为了提高其光滑性，人们提出了三次样条插值。5.3 样条插值样条插值 一、样条函数一、样条函数 二、三次样条插值问题二、三次样条插值问题三三、B样条样条四、以

7、四、以B样条为基底的三次样条插值函数样条为基底的三次样条插值函数（自学）（自学）（自学）（自学）spline function 一类分段（片）光滑、并且在一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数。简称样条。各段交接处也有一定光滑性的函数。简称样条。一、样条函数（spline function）样条一词来源于工程绘图人员为了将一些指定点样条一词来源于工程绘图人员为了将一些指定点连接成一条光顺曲线所使用的工具，即富有弹性连接成一条光顺曲线所使用的工具，即富有弹性的细木条或薄钢条。的细木条或薄钢条。由这样的样条形成的曲线在连接点处具有连续的由这样的样条形成的曲线在连接点处具有连续的坡

8、度与曲率。坡度与曲率。5.3 样条插值样条插值 样条理论已成为函数逼近的有力工具。样条理论已成为函数逼近的有力工具。它的应用范围也它的应用范围也 在不断扩大，不仅在数据处理、在不断扩大，不仅在数据处理、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数值解等数学领域有广泛的应用，而且与最优控值解等数学领域有广泛的应用，而且与最优控制、变分问题、统计学、计算几何与泛函分析制、变分问题、统计学、计算几何与泛函分析等学科均有密切的联系。等学科均有密切的联系。样条函数的研究始于样条函数的研究始于20世纪中叶，到了世纪中叶，到了60年代年代它与计算机辅助设计相结合，在外形设

9、计方面它与计算机辅助设计相结合，在外形设计方面得到成功的应用得到成功的应用。一、样条函数（一、样条函数（spline function）5.3 样条插值样条插值 在数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多在数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词项式分段定义。样条的英语单词spline来源于来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做陆，早期曾经被称做“齿函数齿函数”。后来因为工。后来因为工程学术语中程学术语中“放样放样”一词而得名。一词而

10、得名。一、样条函数（一、样条函数（spline function）在插值问题中，样条插值通常比多项式在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸保凸”的重要性质。的重要性质。在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图形学中，样条通常是指分段定义的多项式参形学中，样条通常是指分段定义的多项式参数曲线。由于样

11、条构造简单，使用方便，拟数曲线。由于样条构造简单，使用方便，拟合准确，并能近似曲线拟合和交互式曲线设合准确，并能近似曲线拟合和交互式曲线设计中复杂的形状，样条是这些领域中曲线的计中复杂的形状，样条是这些领域中曲线的常用表示方法。常用表示方法。一、样条函数（一、样条函数（spline function）一、样条函数一、样条函数 1、k次半截单项式次半截单项式 2 2、k k次样条函数次样条函数3、线性无关函数系、线性无关函数系5、k次样条函数与次样条函数与k次多项式的区别次多项式的区别4、K次样条函数的表示次样条函数的表示:5.3 样条插值样条插值 一、样条函数一、样条函数 1、k次半截单项式次

12、半截单项式 定义：定义：,2,1,0,0,0kxxxxkk称称 为为k k次半截单项式次半截单项式，),2,1(kxk并规定并规定 0,00,210,10 xxxx0,0,0 xxxx0,20,02xxxx半截单项式半截单项式 的性质的性质1kkxxx1)()()(kkaxaxax一、样条函数一、样条函数 1、k次半截单项式次半截单项式 定义：定义：,2,1,0,0,0kxxxxkk称称 为为k k次半截单项式次半截单项式，),2,1(kxk并规定并规定 0,00,210,10 xxxx0,0,0 xxxx0,20,02xxxx2 2、k k次样条函数次样条函数定义中的定义中的a,b可以看作是

13、可以看作是),(分段多项式的光滑连接分段多项式的光滑连接)2 2、k k次样条函数次样条函数(分段多项式的光滑连接分段多项式的光滑连接)思考：思考：2、k次半截单项式次半截单项式,2,1,0,0,0kxxxxkk是否为样条函数？是否为样条函数？1、k次多项式次多项式是否为样条函数？是否为样条函数？是否为样条函数？是否为样条函数？3、思考：思考：2、k次半截单项式次半截单项式,2,1,0,0,0kxxxxkk是否为样条函数？是否为样条函数？1、k次多项式次多项式是否为样条函数？是否为样条函数？kjxx)(约束条件有哪些约束条件有哪些?1,1,0;1,2,1),()()()(krnixsxsiri

14、r,kD的自由度的自由度为多少?)1()1(nkknknkjDxkj,2,1,0,1,2,1,)(,njDxxkkj是否为是否为 中的基中的基?,kD待定参数待定参数:n(k+1)个个确定一个确定一个k次样条函数有几个待定参数次样条函数有几个待定参数?待定参数待定参数:n(k+1)个个约束条件约束条件:1,1,0;1,2,1),()()()(krnixsxsirir,kD的自由度的自由度:)1()1(nkknknkjDxkj,2,1,0,1,2,1,)(,njDxxkkj是否为是否为 中的基中的基?,kD3、线性无关函数系、线性无关函数系bxaxaxaxaxann,0)()()()(22110

15、03、线性无关函数系、线性无关函数系bxaxaxaxaxann,0)()()()(221100,kD的一组基的一组基:1,2,1,)(,2,1,0,njxxkjxkjj)(,)(,1112,knkkkxxxxxxxspanD5、k次样条函数与次样条函数与k次多项式的区别次多项式的区别4、K次样条函数的表示次样条函数的表示:kjnnjkjjjjkjiiijkjjjjkjjjxxxxckxanixxxxxckxaxxxaxs011101101),(,)(!12,2,1),(,)(!1),(,)(课堂练习：写出课堂练习：写出4个节点的个节点的3次样条函数。次样条函数。二、三次样条插值问题二、三次样条

16、插值问题3、三次样条插值问题的解存在且唯一三次样条插值问题的解存在且唯一1、定义定义2、三种边界条件、三种边界条件4、误差估计、误差估计5、如何构造三次样条插值函数、如何构造三次样条插值函数二、三次样条插值问题二、三次样条插值问题(5.30)bxaxxcxaxsinjjjii,)(!31)(30113二、三次样条插值问题二、三次样条插值问题当当k=1时为分段线性插值时为分段线性插值.确定一个三次样条插值函数确定一个三次样条插值函数s(x)需要几个条件需要几个条件?n+3个个现在有几个条件现在有几个条件?还需几个条件还需几个条件?n+1个个2个个(5.30)被插函数被插函数f(x)是以是以 为周

17、期的周期函数为周期的周期函数.0 xxnS(x)称为周期样条函数称为周期样条函数.第一种和第二种还可以互相搭配产生新的边界条件第一种和第二种还可以互相搭配产生新的边界条件.压紧样条压紧样条自然样条自然样条)()(0nxfxf由已知由已知 确定确定0)()(0 nxsxs周期端点样条周期端点样条任玉杰任玉杰436页页例例1已知已知f(x)的三个点处的值为的三个点处的值为1)1(,0)0(,1)1(fff在区间在区间-1,1上上,求求f(x)在自然边界条件下的三次样条插值在自然边界条件下的三次样条插值多项式多项式.利用待定系数法求解利用待定系数法求解3301()(0),3!iiis xa xcxa

18、xb令令 1)1(,0)0(,1)1(sss解方程求系数解方程求系数.,cai0)1(,0)1(ss30113)(!31)(injjjiixxcxaxs3、三次样条插值问题的解存在且唯一三次样条插值问题的解存在且唯一(定理定理5.4)。设设f(x)在区间在区间a，b上连续上连续,记记)(maxxffbxa称称f为函数为函数f(x)的的 -范数范数.定义：定义：f(x)的的 -范数范数.5、如何构造三次样条插值函数、如何构造三次样条插值函数(1)待定系数法待定系数法:解方程组求解方程组求;,jica(2)三弯矩法三弯矩法:(3)B样条法样条法:(任意分划任意分划)(等间距分划等间距分划)解法一：

19、解法一：设设 bxaxxcxaxsjnjjjjj,)(!31)(30113令令 niyxsii,2,1,0,)(nnyxsyxs )(,)(00解方程求系数解方程求系数.,jjca待定系数法待定系数法解法二：解法二：三弯矩法三弯矩法令令 nixsMii,2,1,0),(（1）以）以 为结点作线性插值：为结点作线性插值：),(),(11iiiiMxMxiiiiiiMhxxMhxxxs11)(（5.45）.1iiixxh其中其中（2）连续积分两次：）连续积分两次：213131)(6)(6)(cxcxxhMxxhMxsiiiiii（5.46）解法二：解法二：三弯矩法三弯矩法令令 nixsMii,2,

20、1,0),(iiiiiiMhxxMhxxxs11)(（5.45）213131)(6)(6)(cxcxxhMxxhMxsiiiiii（5.46）(3)利用插值条件利用插值条件 11)(,)(iiiiyxsyxs确定确定;,21cc)()6()()6()(6)(6)(1113131iiiiiiiiiiiiiiiixxhMhyxxhMhyxxhMxxhMxsnixxxii,2,1,1（5.47）nixxxii,2,1,1（5.47）(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiM)6()6()(2)(2)(112121iiiiiiiiiiiiiihMhyhMhyxxhMxxh

21、MxsiiiiiiiiiiiihyyMMhxxhMxxhM112121)(6)(2)(2iixxx1)()6()()6()(6)(6)(1113131iiiiiiiiiiiiiiiixxhMhyxxhMhyxxhMxxhMxs)0()0(iixsxs(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiMiiiiiiiiiiiihyyMMhxxhMxxhMxs112121)(6)(2)(2)(iixxx1iiiiiiiihyyMhMhxs1163)0(1111163)0(iiiiiiiihyyMhMhxs1111211211)(6)(2)(2)(iiiiiiiiiiiihyyM

22、MhxxhMxxhMxs1iixxx(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiM1,2,1),0()0(nixsxsii令令得得iiiiiiiihyyMhMhxs1163)0(1111163)0(iiiiiiiihyyMhMhxsiiiiiiihyyMhMh11631111163iiiiiiihyyMhMh(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiMiiiiiiihyyMhMh11631111163iiiiiiihyyMhMhiiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh11111116)33(6)(62111111111iiiii

23、iiiiiiiiiiiihyyhyyhhMhhhMMhhh(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiM)(62111111111iiiiiiiiiiiiiiiiihyyhyyhhMhhhMMhhh1,2,1,211niMMMiiiiii(5.49)iiii1解法二：解法二：三弯矩法三弯矩法nixsMii,2,1,0),(iiiiiiMhxxMhxxxs11)(（5.45）213131)(6)(6)(cxcxxhMxxhMxsiiiiii（5.46）(3)利用插值条件利用插值条件 11)(,)(iiiiyxsyxs确定确定;,21cc)()6()()6()(6)(6)

24、(1113131iiiiiiiiiiiiiiiixxhMhyxxhMhyxxhMxxhMxsnixxxii,2,1,1（5.47）（1）（2）(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xs1,2,1,211niMMMiiiiii(5.49)iM1,2,1,211niMMMiiiiii1211012MMM2322122MMM3433232MMM.2122322nnnnnnMMM121212nnnnnnMMM(5)由边界条件再找两个方程：由边界条件再找两个方程：nnyMyM ,00第一种边界条件第一种边界条件 01002MM00yM 02000 ynnnnMM2102 nnn

25、y1211012MMM2322122MMM3433232MMM.2122322nnnnnnMMM121212nnnnnnMMM01002MMnnnnMM21nnnnnnnnMMMM1101101123321102222第一种边界条件：第一种边界条件：nnyMyM ,00(5)由边界条件再找两个方程：由边界条件再找两个方程：nnnnnnnnMMMM1101101123321102222（5.52）系数矩阵是主对角线严格占优阵系数矩阵是主对角线严格占优阵,故有唯一解故有唯一解.1211012MMM2322122MMM3433232MMM.2122322nnnnnnMMM121212nnnnnnMM

26、M01002MMnnnnMM21第二种边界条件第二种边界条件:nnyxsyxs)(,)(001111163)0(iiiiiiiihyyMhMhxsiiiiiiiihyyMhMhxs1163)0(第二种边界条件第二种边界条件:nnyxsyxs)(,)(001111163)0(iiiiiiiihyyMhMhxs1011101063)0(hyyMhMhxsiiiiiiiihyyMhMhxs1163)0(nnnnnnnnhyyMhMhxs1163)0(0yny01002MMnnnnMM21第二种边界条件第二种边界条件:nnyxsyxs)(,)(001011101063)0(hyyMhMhxsnnnnn

27、nnnhyyMhMhxs1163)0(0yny01002MMnnnnMM21方程组仍为方程组仍为(5.52)式的形式式的形式 1)(60010110yhyyh1)(61nnnnnnnhyyyh第三种边界条件：第三种边界条件：)()(),()(00nnxsxsxsxs nMM 01011101063)0(hyyMhMhxsnnnnnnnnhyyMhMhxs1163)0(-第三种边界条件：第三种边界条件：)()(),()(00nnxsxsxsxs nnnnnnnnMMMM1211211122112222（5.54）7、三弯矩法的计算步骤：、三弯矩法的计算步骤：P176 例例5 用三弯矩法解例用三弯

28、矩法解例4。P177三三、B样条（基本样条函数）样条（基本样条函数）（1）定义）定义（2）B样条的性质样条的性质（3）步长为）步长为h，结点等距的，结点等距的B样条样条在节点等间距的情况下，根据在节点等间距的情况下，根据B样条函数构造另一种样条函数构造另一种基函数，用待定系数法求插值函数基函数，用待定系数法求插值函数S（x）本段目的：本段目的：三三、B样条（基本样条函数）样条（基本样条函数）(1)定义定义由式由式xjkxCkxkkjjkjk,21)1(!1)(101表示的函数表示的函数 称为步长为称为步长为1，内结点等距的，内结点等距的B样条。样条。)(xk内结点：内结点：1,2,1,0,21

29、kjkjxj)(xk也称为也称为k+1阶标准阶标准B样条函数样条函数三三、B样条样条xjkxCkxkkjjkjk,21)1(!1)(101例例 当当k=0,1,2,3时的时的B样条样条 )(xk000)21()21()(xxx0,00,210,10 xxxx21,021,2121,1xxx21,021,2121,1xxx三三、B样条样条000)21()21()(xxx21,21,2121,21,21,xxxxx0,00,210,10 xxxx21,021,2121,1xxx21,021,2121,1xxx01/211/2021,021,2121,1xxx三三、B样条样条xjkxCkxkkjjk

30、jk,21)1(!1)(101例例 当当k=0,1,2,3时的时的B样条样条 )(xk000)21()21()(xxx21,021,2121,1xxx.。0,00,210,10 xxxx)1(2)1()(1xxxx1,11,0 xxx22222)23(21)21(23)21(23)23(21)(xxxxx2321,89232121,4323,022xxxxxxxjkxCkxkkjjkjk,21)1(!1)(10100.511.52111/200023/41/21/80032/323/481/61/480kx的数值表的数值表)(xk)2(0)(,61)1(,32)0(333xx00.511.52

31、1002000300kx的数值表的数值表)(xk112/18/52/18/13331(0)0,(1),()0(2)2xx 00.511.5210002-2103-2-1/211/20kx的数值表的数值表)(xk)2(0)(,1)1(,2)0(333 xx（2）B样条的性质样条的性质a.递推关系递推关系)21()21(1)21()21(1)(11xkxkxkxkxkkk,3,2k)()(xxkkb.奇偶性奇偶性:c、正性与局部支撑性、正性与局部支撑性1)()()(kkaxaxaxd、求导与求积公式、求导与求积公式dttxxxkk21211)()(1111()()()22kkkxxx e、归一性、

32、归一性1)()(2/12/)1(dxxdxxkkkk（2）B样条的性质样条的性质a、递推关系、递推关系)()(xxkkb、奇偶性、奇偶性:c、正性与局部支撑性、正性与局部支撑性(3)步长为步长为h，结点等距的，结点等距的B样条样条设设a,b的分划为的分划为nabhniihaxi,1,0,四、以四、以B样条为基底的三次样条插值函数样条为基底的三次样条插值函数（均匀分划的三次样条插值函数）（均匀分划的三次样条插值函数）1、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(2、第二种边界条件的三次样条插值问题、第二种边界

33、条件的三次样条插值问题niyxsii,2,1,0,)(nnyxsyxs)(,)(003、第三种边界条件的三次样条插值问题、第三种边界条件的三次样条插值问题)()(),()(),()(000nnnxsxsxsxsxsxs 四、以四、以B样条为基底的三次样条插值函数样条为基底的三次样条插值函数（均匀分划的三次样条插值函数）（均匀分划的三次样条插值函数）设设a,b的分划的分划 为为nabhniihaxi,1,0,则对应分划则对应分划 的三次样条插值函数可表示为的三次样条插值函数可表示为:bxahxxcxsjnjj),()(13201、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题

34、nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(2013)(1)(njjjhxxchxs1、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(bxahxxcxsjnjj),()(1320nabhihaxi,20132)(1)(njjjhxxchxs1、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(bxahxxcxsjnjj),()(1320nabhihaxi,203,2,1,0,)1()(njijiniyjicxs2

35、013,2,1,0,)()(njijijiniyhxxcxs1、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(nabhihaxi,203,2,1,0,)1()(njijiniyjicxs 200320)1(1)(njjyjchxs 20010320)(1)(njjjyhxxchxs 20132)(1)(njjjhxxchxs1、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(nabhihaxi,203,2,1,0,)1()(nji

36、jiniyjicxs 200320)1(1)(njjyjchxs?)(nxs 20132)(1)(njjjhxxchxs1、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(nabhihaxi,203,2,1,0,)1()(njijiniyjicxs 200320)1(1)(njjyjchxs 2032)1(1)(njnjnyjnchxs 20132)(1)(njjjhxxchxs 2032203200320)1(1)(,2,1,0,)1()()1(1)(njnjnnjijinjjyjnchxsniyjicxsyj

37、chxs(5.35)1、第一种边界条件的三次样条插值问题、第一种边界条件的三次样条插值问题nnyxsyxs )(,)(00niyxsii,2,1,0,)(bxahxxcxsjnjj),()(1320nabhihaxi,2032203200320)1(1)(,2,1,0,)1()()1(1)(njnjnnjijinjjyjnchxsniyjicxsyjchxs(5.35)2(0)(,61)1(,32)0(333xx)2(0)(,1)1(,2)0(333 xxP164 2032203200320)1(1)(,2,1,0,)1()()1(1)(njnjnnjijinjjyjnchxsniyjicxs

38、yjchxs(5.35)nnnniiiiyhcccniycccyhccc22121022102,1,0,6132612(5.36)(5.36)nnnnnnnniiiiyhcccycccniycccycccyhccc221212102100221026132611,1,6132616132612写出方程组的系数矩阵写出方程组的系数矩阵不是三对角阵，使其不是三对角阵，使其系数矩阵变为三对角阵系数矩阵变为三对角阵(5.36)nnnnnnnniiiiyhcccycccniycccycccyhccc221212102100221026132611,1,6132616132612 02010221062y

39、hycyhccc nnnnnnnyhcccyhyc2122126 nnnnnnnnnyhyyccycccycccycccyhyycc66464646466421121235432432020132dAc 矩阵形式矩阵形式:4114114114A nnnnyhyyyyyyhyyd6666666212320201Tncccc),(32dAc 矩阵形式矩阵形式:2、第二种边界条件的三次样条插值问题、第二种边界条件的三次样条插值问题niyxsii,2,1,0,)(nnyxsyxs)(,)(00vBc（5.41）4214114124Bnnnyhyyyyyhyv266662612100Tncccc),(1

40、213、第三种边界条件的三次样条插值问题、第三种边界条件的三次样条插值问题)()(),()(),()(000nnnxsxsxsxsxsxs 01122,ccccccnnnuPc(5.43)(5.42)411141141114P0132166666yyyyyun132nccccP1714214124B2210026626yhyyyhyv9096.36247726.143214214124ccc9096.36247726.143214214124ccc9096.36247726.1438081.7,69317.3,84657.1321cccbxahxxcxsjnjj),()(13202240202

41、2yhccyhcc=0.920570=14.7836)4(7836.14)3(38081.7)2(69317.3)1(84657.1)(920570.0)(33333xxxxxxs3214214124ccc9096.36247726.1438081.7,69317.3,84657.1321ccc22402022yhccyhcc=0.920570=14.7836)4(7836.14)3(38081.7)2(69317.3)1(84657.1)(920570.0)(33333xxxxxxs2330.9205940.9259150.0000770010.1534060.158945(2)xxxx31

42、 x例例.给定函数给定函数11,2511)(2xxxf将区间将区间N等分等分,针对第二种边界条件针对第二种边界条件,试用三次样条函数试用三次样条函数作插值作插值.N=10,20,40解解:1,2,00 xNhjhxxj)()(1320hxxcxsjNjjNixfxsii,2,1,0),()(插值条件插值条件:)()()()(00NNxfxsxfxs的比较与)()(1010 xpxs小小 结结5.3 样条插值样条插值 一、样条函数一、样条函数 二、三次样条插值问题二、三次样条插值问题三三、B样条样条四、以四、以B样条为基底的三次样条插值函数样条为基底的三次样条插值函数理解样条函数的概念，了解样条

43、函数的优点；理解样条函数的概念，了解样条函数的优点；重点掌握三弯矩法、等距节点的重点掌握三弯矩法、等距节点的B样条法的思想样条法的思想 及其运用及其运用；课本作业课本作业:P21917,18,19,20思考：思考：设设a,b的分划的分划 为为nabhniihaxi,1,0,niyxfii,2,1,0,)(找二次插值函数找二次插值函数,2)(Dxs使：使：niyxsii,2,1,0,)(边界条件：边界条件：00()s xy证明问题的解存在唯一证明问题的解存在唯一三三、B样条样条.。)(0 xy)(1xy)(2xy复习复习:1、k次半截单项式次半截单项式,2,1,0,0,0kxxxxkk0,00,

44、210,10 xxxx2 2、k k次样条函数次样条函数(分段分段k次多项式的光滑连接次多项式的光滑连接)第三节第三节 样条插值样条插值 kjDxkj,2,1,0,1,2,1,)(,njDxxkkj并且线性无关，因此构成了并且线性无关，因此构成了 的一组基。的一组基。,kD3、样条函数的表示、样条函数的表示4、样条插值问题、样条插值问题固支条件固支条件5、如何构造三次样条插值函数、如何构造三次样条插值函数(1)待定系数法待定系数法:解方程组求解方程组求;,jica(2)三弯矩法。三弯矩法。(3)B样条法样条法.(任意分划任意分划)(等间距分划等间距分划)解法一：解法一：设设 bxaxxcxax

45、sjnjjjjj,)(!31)(30113令令 niyxsii,2,1,0,)(nnyxsyxs )(,)(00解方程求系数解方程求系数.,jjca待定系数法待定系数法解法二：解法二：三弯矩法三弯矩法令令 nixsMii,2,1,0),(（1）以）以 为结点作线性插值：为结点作线性插值：),(),(11iiiiMxMxiiiiiiMhxxMhxxxs11)(（5.45）.1iiixxh其中其中（2）连续积分两次：）连续积分两次：213131)(6)(6)(cxcxxhMxxhMxsiiiiii（5.46）解法二：解法二：三弯矩法三弯矩法令令 nixsMii,2,1,0),(iiiiiiMhxx

46、Mhxxxs11)(（5.45）213131)(6)(6)(cxcxxhMxxhMxsiiiiii（5.46）(3)利用插值条件利用插值条件 11)(,)(iiiiyxsyxs确定确定;,21cc)()6()()6()(6)(6)(1113131iiiiiiiiiiiiiiiixxhMhyxxhMhyxxhMxxhMxsnixxxii,2,1,1（5.47）（1）（2）(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiMiiiiiiiiiiiihyyMMhxxhMxxhMxs112121)(6)(2)(2)(iixxx1iiiiiiiihyyMhMhxs1163)0(111

47、1163)0(iiiiiiiihyyMhMhxs1111211211)(6)(2)(2)(iiiiiiiiiiiihyyMMhxxhMxxhMxs1iixxx(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiM1,2,1),0()0(nixsxsii令令得得iiiiiiiihyyMhMhxs1163)0(1111163)0(iiiiiiiihyyMhMhxsiiiiiiihyyMhMh11631111163iiiiiiihyyMhMh(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求 .)(xsiM)(62111111111iiiiiiiiiiiiiiiiihyyhy

48、yhhMhhhMMhhh1,2,1,211niMMMiiiiii(5.49)iiii1解法二：解法二：三弯矩法三弯矩法nixsMii,2,1,0),(iiiiiiMhxxMhxxxs11)(（5.45）213131)(6)(6)(cxcxxhMxxhMxsiiiiii（5.46）(3)利用插值条件利用插值条件 11)(,)(iiiiyxsyxs确定确定;,21cc)()6()()6()(6)(6)(1113131iiiiiiiiiiiiiiiixxhMhyxxhMhyxxhMxxhMxsnixxxii,2,1,1（5.47）（1）（2）(4)利用利用 在内结点连续的条件求在内结点连续的条件求

49、.)(xs1,2,1,211niMMMiiiiii(5.49)iM(5)由边界条件再找两个方程由边界条件再找两个方程第一种边界条件：第一种边界条件：nnyMyM ,00(5)由边界条件再找两个方程：由边界条件再找两个方程：nnnnnnnMMMM110110111102222（5.52）系数矩阵是主对角线严格占优阵系数矩阵是主对角线严格占优阵,故有唯一解故有唯一解.第二种边界条件第二种边界条件:nnyxsyxs)(,)(00方程组仍为方程组仍为(5.52)式的形式式的形式 nnnnnnnMMMM110110111102222（5.52）系数矩阵是主对角线严格占优阵系数矩阵是主对角线严格占优阵,故

50、有唯一解故有唯一解.第三种边界条件：第三种边界条件：)()(),()(00nnxsxsxsxs nnnnnnnnMMMM1211211122112222（5.54）7、三弯矩法的计算步骤：、三弯矩法的计算步骤：P176 三三、B样条（基本样条函数）样条（基本样条函数）（1）定义）定义（2）B样条的性质样条的性质（3）步长为）步长为h，结点等距的，结点等距的B样条样条三三、B样条（基本样条函数）样条（基本样条函数）(1)B样条的定义样条的定义xjkxCkxkkjjkjk,21)1(!1)(101 称为步长为称为步长为1，内结点等距的，内结点等距的B样条。样条。内结点：内结点：1,2,1,0,21