“六法”比较指数幂大小.pdf

1、1 “六法”比较指数幂大小“六法”比较指数幂大小 对于指数幂的大小的比较， 我们通常都是运用指数函数的单调性， 但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性 进行比较这就必须掌握一些特殊方法 1转化法 例 1比较与的大小 1 2 (32 2) 2 3 ( 21) 解：， 22 32 2( 21)( 21) 11 2 22 (32 2)( 21) 21 又， 021 1 函数在定义域上是减函数 ( 21)xy R ，即 2 3 21( 21) 21 32 (32 2)( 21) 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将 其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进

2、行判断 图象法 例 2比较与的大小 0.7a0.8a 解：设函数与，则这两个函数的图象关系如图 0.7xy 0.8xy 2 当，且时，；当，且时，；当xa0a 0.80.7 aa xa0a 0.80.7 aa 时， 0 xa0.80.7 aa 评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法 求解，既快捷，又准确 3媒介法 例 3比较，的大小 1 2 4.1 3 4 5.6 1 3 1 3 解：， 1 31 3 00 42 1 5.65.614.14.10 3 1 31 3 42 1 5.64.1 3 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常 以“0”或“1”为媒介）

3、，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较 出要比较的数的大小 作商法 例比较与（）的大小 ab a b ba a b0ab 解：， ababa b ab ba a babaaa a bbabbb 又， 0ab1 a b 0ab ，即 1 a b a b 1 ab ba a b a b abba a ba b 3 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比 较法，即对两值作商，根据其值与 1 的大小关系，从而确定所比值的 大小当然一般情况下，这两个值最好都是正数 5作差法 例 5设，且，试比较与的大小 0mn0a 1a mm aa nn aa 解： ()() mmnnmmnn aa

4、aaaaaa ()() mnmn aaaa (1)(1)(1)() nm nmm nm nnm aaaaaaa （1）当时， 1a 0mn10 m n a 又，从而 1 n a 1 m a0 nm aa (1)()0 m nnm aaa mmnn aaaa （2）当时，即 01a1 m n a 10 m n a 又，故 0mn1 n a 1 m a0 nm aa (1)()0 m nnm aaa mmnn aaaa 综上所述， mmnn aaaa 评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两 值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小 6分类讨论法 例 6比较与（，且）的大小

5、2 21x a 2 2x a 0a 1a 分析：解答此题既要讨论幂指数与的大小关系，又要讨 2 21x 2 2x 4 论底数 与的大小关系 a 解：（）令，得，或 22 212xx 1x 1x 当时，由， 1a 22 212xx 从而有； 22 212xx aa 当时， 01a 22 212xx aa （2）令，得， 22 212xx 1x 22 212xx aa （3）令，得 22 212xx 11x 当时，由， 1a 22 212xx 从而有； 22 212xx aa 当时， 01a 22 212xx aa 评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首 先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与 1 的大 小关系作为分类标准