人教A版高中数学等差数列上课1教学课件.pptx

1、5.2.2等差数列的前n项和12激趣诱思知识点拨泰姫陵坐落于印度古都阿格拉,是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙贾汗为纪念其爱妃所建,被评为世界新七大奇迹之一.它的主体建筑由纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗?3激趣诱思知识点拨一、等差数列的前n项和公式设等差数列an的前n项和为Sn,4激趣诱思知识点拨名师点析 对前n项和公式的几点说明(1)等差数列的两个求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,方法就是解方程组,这也是等差数列的基本

2、问题形式.5激趣诱思知识点拨微练习(1)在等差数列an中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于()A.30B.40C.50 D.60(2)已知等差数列an中,a1=-5,d=3,则S8=()A.44B.40C.15 D.5答案:(1)C(2)A6激趣诱思知识点拨微拓展等差数列前n项和的性质性质1:等差数列的依次k项之和仍然是等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,成等差数列,且公差为k2d.性质3:等差数列an中,若an=m,am=n,则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).7激趣诱思知识点拨性质1表示等差数列的前k项、第(k+1)

3、项至第2k项、第(2k+1)项至第3k项仍成等差数列,而不是Sk,S2k,S3k成等差数列.8激趣诱思知识点拨二、等差数列的前n项和公式与函数的关系 9激趣诱思知识点拨微思考从函数的角度认识等差数列的前n项和,你有何新发现?10(2)设等差数列an共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.故n=13时,Sn有最大值169.已知a10=30,a20=50.(3)已知a16=3,求S31.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则()(方法四)先求出d=-2(同方法一),则Sn的图像如图所示,等差数列前n项和的最值

4、问题答案:(1)C(2)A设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则()性质3:等差数列an中,若an=m,am=n,则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an0时,SnSn-1;当an0时,SnSn-1,因此当a10,且d0时,使an0的最大的n的值,使Sn最大;当a10时,满足an0的最大的n的值,使Sn最小.思路分析在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关

5、等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.由二次函数的性质得当n=13时,Sn有最大值169.性质1表示等差数列的前k项、第(k+1)项至第2k项、第(2k+1)项至第3k项仍成等差数列,而不是Sk,S2k,S3k成等差数列.(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()所以a5=0,从而有S4=S5.d=-20,a130,a140.它的主体建筑由纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.探究一探究二素养形成当堂检测等差数列的前n项和公式的直接应用例1在等差数列an中,(1)已知S8=24,S12=84,求a1和d;(2)已知a6=2

6、0,S5=10,求a8和S8;(3)已知a16=3,求S31.思路分析在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.11探究一探究二素养形成当堂检测12探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 等差数列的求解策略在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:选择适当的公式;合理利用等差数列的有关性质.13探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=.答案:54 14探究一探究二素养形成当

7、堂检测等差数列前n项和性质的应用例2(1)等差数列an中共有3m项,前2m项的和为100,后2m项的和为200,求中间m项的和.(2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.思路分析(1)本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的应用.(2)已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.15探究一探究二素养形成当堂检测(方法二)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).又S2m=100,S3m-Sm=200,16探究一探究二素养形成当堂检测(2

8、)设等差数列an共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.2n+1=7.又S奇=(n+1)an+1=44,an+1=11.故这个数列的中间项为11,共有7项.17探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 等差数列前n项和的性质主要有以下两类:(1)在等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列.18探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2(1)已知某等差数列an共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2(2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.1

9、30B.170 C.210D.26019探究一探究二素养形成当堂检测(2)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,且Sm=30,S2m=20,得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即2(100-30)=30+S3m-100,解得S3m=210.答案:(1)C(2)C 20探究一探究二素养形成当堂检测等差数列前n项和的最值问题典例在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an0,an+10,22探究一探究二素养形成当堂检测(方法三)先求出d=-2(同方法一).由S17=S9,得a10+a11+a17=0,又a10+

10、a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.d=-20,a130,a140,且d0时,使an0的最大的n的值,使Sn最大;当a10时,满足an0的最大的n的值,使Sn最小.24探究一探究二素养形成当堂检测变式训练等差数列an中,|a3|=|a9|,公差d0,a90,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0,S5=S6,故使an的前n项和Sn最大,n的值为5或6.答案:C25探究一探究二素养形成当堂检测解析:由题意可得4a1+6d=a1+5d-3a1=d,答案:C 26探究一探究二素养形成当堂检测2.(2020四川宜宾第四中学校高三月考)设等差数列

11、an的前n项和为Sn,已知13a3+S13=52,则S9=()A.9B.18C.27 D.36答案:B 27探究一探究二素养形成当堂检测3.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则()A.S4S5B.S4=S5C.S6S5D.S6=S5解析:(方法一)设该等差数列的首项为a1,公差为d,从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.从而有S4=S5.(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,从而有S4=S5.答案:B 28探究一探究二素养形成当堂检测4.已知等差数列an的前n项和为Sn,a4+a7+a10=9,S14-S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为.答案:529探究一探究二素养形成当堂检测5.等差数列an的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.30