湖北省部分重点中学2019届高三数学上学期起点考试试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 - 1 - 湖北省部分重点中学 2018 2019学年度上学期新高三起点考试 数学（理科）试卷 一、选择题（本题共 12小题，毎小题 5分，共 60分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。） 1.已知集合 M= 023| 2 ? xxx ， N = 1)2(log| 3 ?xx ， 则 ?BA? A. 12| xx ? B. 21| ? xxx 或 C. 1|xx D. ? 2.已知复数 z 满足 iiiz ? 2)1()( ，则 ?zz A.1 B. 21 C. 22 D. 2 3. 设等差数列 na 前 n 项的和为 nS ，若 10,20 54 ? aS ， 则

2、?16a A. -32 B. 12 C. 16 D. 32 4. 已知命题 P： 3x3, xRx? ，那么命题 p? 为 A. 3x3, xRx? B. 3x3, xRx? C. 3x3, ? xRx D. 3x3, ? xRx 5.已知函数 xxeexf xx ? ? 11ln)()( ，若 1)( ?af ，则 ?)( af A. 1 B.-1 C. 3 D.-3 6.执行程序框图，假如输入两个数是 S=1、 k=2,那么输出的 S= A. 151? B. 15 C.4 D. 17 7.有四位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙 、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的

3、概率为 A. 43 B. 169 C. 98 D. 94 8.已知函数 ? )(s in ()( ? xxf 0， 20),若圆 1)1()3( 22 ? yx 上存在点 P，使得090?APB ，则正实数 a 的取值范围为 A. (0,3 B. 1， 3 C. 2,3 D. 1,2 11.已知 A， B， C是双曲线 12222 ?byax （ ab0)上的三个 点， AB经过原点 0， AC经过右焦点 F，若 BF丄 AC且 2|AF|=|CF|, 则该双曲线的离心率是 A. 35 B. 317 C. 217 D. 49 12. 已知函数xexxf ?)(,若关于 x 的方程 01)()(

4、 2 ? mxmfxf 恰有 3 个不同的 实数解，则实数 m的取值范围是 A. (-, 2)U(2, +) B. ( e11? ， +) C.( e11? ， 1) D. (1， e) 二、填空题：本题共 4 小题，毎小题 5分，共 20分。 13. 52 )2( xx ? 的展开式中 4x 项的系数为 . 14.函数 xxxxf 2s i n3)4c o s ()4s i n (2)( ? ? 的最小正周期为 . 15.如图所示，圆 O及其内接 正八边形 。 已知21, eOBeOA ? ,点 P为正八边形边上任意一点，ReeOP ? ? 、,21 ， 则 ? 的最大值为 . - 3 -

5、16. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积 为 . 三、 解答题（共 70分 。 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤， 第 17? 21题为必考题，每个试题考生都必须作答 。 第 22、 23 题为选考题 ， 考生根据要求作答 。 ） (一 )必考题：共 60分 。 己知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 11?a ,且满足 1? nn aS . （ 1）求数列 na 的通项 na ： （ 2）求数列 nna 的前 n 项和为 nT . 18.(本小题满分 12分） 如图，四棱锥 P一 ABCD的底面 ABCD为平行四边形， DA = DP， (1)求证： PABD ； (

6、2)若 DA丄 DP， ABP = 60 ， BA=BP=2, 求二面角 D PC一 B的正弦值 19.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力 (指标 x)、推理能力 (指标 y)、建模能力 (指标 z的相关性，将它们各自量化为 1、 2、 3三个等级，再用综合指标 w=x+y+x的值评定学生的数学核心素养，若 43 ?w ,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若 65 ?w ,则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10名学生，得到如下数据： (1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率； (2)在这 1

7、0名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为 X,求随机变量X 的分布列及其数学期望 。 - 4 - 20.已知 A， B， C为椭 圆 E: 12 22 ?yx 上三个不同的点， 0为 坐标原点，若 O为 ABC 的重心。 (1)如果直线 AB、 0C的 斜率都存在，求证 OCABkk 为定值； (2)试判断 ABC 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由 。 21.设函数12 11)(,ln)( ? xexxgxaaxxf,其中 Ra? , e=2.718? 为自然对数的底数 . (I)讨论 )(xf 的单调性； (II)证明：当 xl时， )(xg 0；

8、( )如果 )(xf )(xg 在区间（ 1， +) 内恒成立，求实数 a的取值范围 . (二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、 23题中任选一题作答 ， 如果多做，则按所做的第一题计分 。 22.选修 4一 4:坐标系与参数方程 (10分） 已知在平面直角坐标系 : xOy 中，直线 l 的参数方程是 tty tx (62? ?是参数），以原点 0为极点， x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 ? cos22? . (I)求直线 l 的普通方程与曲线 C的直角坐标方程； ( )设 M (x,y)为曲线 C上任意一点，求 x+y的取值范围 。 23.选

9、修 4-5:不等式选讲 (10分 己知函数 |1|)( ? xaxxf . (I)若 a=2,求不等式 2)( ?xxf x+2的解集 ： (II)如果关于 x 的不等式 2)(xf 的解集不 是空集，求实数 a的取值范围。 - 5 - 湖北省部分重点中学 2018-2019学年度上学期新高三起点考试 理科数学 参考答案 ABDCDCDB BBBC 13.4014.? 15 16 1003? 17 解：（ 1） ； 当 时， ，当 时， ， 不满足上式，所以数列 是从第二项起的等比数列，其公比为 2； 所以 .? 6分 （ 2）当 时， ， 当 时， ， ， 时也满足，综上 ? 12 分 18

10、 解：（ 1）证明：取 AP 中点 M ，连 ,DMBM ， DA DP? ， BA BP? PA DM? ， PA BM? ， DM BM M? PA? 面 DMB ，又 BD? 面 DMB ， PA BD? ? 4分 （ 2） DA DP? ， BA BP? ， DA DP? ， 060ABP? DAP? 是等腰三角形， ABP? 是等边三角形， 2AB PB BD? ? ?， 1DM? ，3BM? . 222BD MB MD?， MD MB? 以 ,MP MB MD 所在直线分别为 ,xyz 轴建立空间直角坐标 系， ? 6分 则 ? ?1,0,0A ? ， ? ?0, 3,0B ， ?

11、 ?1,0,0P ， ? ?0,0,1D - 6 - 从而得 ? ?1,0, 1DP?， ? ?1, 3 , 0DC AB? ? ， ? ?1, 3,0BP ? ， ? ?1, 0,1BC AD? 设平面 DPC 的法向量 ? ?1 1 1 1,n x y z? 则 11? 0 ? 0n DPn DC? ，即 110 30xzxy?， ? ?1 3,1, 3n ? ? ? ， 设平面 PCB 的法向量 ? ?2 2 1 2,n x y z? ， 由 22? 0 ? 0n BCn BP? ，得 220 30xzxy?， ? ?2 3,1, 3n ? 1212 12? 1c o s , 7nnnn

12、 nn?设二面角 D PC B?为 ? ， 212 43s in 1 c o s , 7nn? ? ? ? 12 分 19 解： x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2 z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2 w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6 （ 1） 由题可知 :建模能力一级的学生是 ； 建模能力二级的学生是 ； 建模能力三级的学生是 . 记 “ 所取的两人的建模能力指标相同 ” 为事件 ，记 “ 所取的两人的 综合 指标 值 相同 ” 为事件. 则 22322245( ) 4 1( | ) ( ) 1 6 4CCP A BP B

13、 A P A C C? ? ? ? 6分 (2)由题可知，数学核心素养一级 的学生为 : ，非一级的学生为余下 4人 的 所有 可能取值为 0,1， 2， 3. 0 3 1 26 4 6 4331 0 1 02 1 3 16 4 6 41 0 1 013( 0 ) , ( 1 )3 0 1 011( 2 ) , ( 3 )26C C C CP X P XCCC C C CP X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 - 7 - ? 10 分 ? 12 分 20 解：（ 1）设直线 ，代入 得： 设 ， 则 ； 由 得： 线段 AB 中点222(

14、 , )2 1 2 1km mD kk? ?,因为 为 的重心， 所以 11()22A B O C A B O Dk k k k k k? ? ? ? ? ?为定值 .? 6分 点差法求证相应给分 . （ 2）设 ，则 代入 得 ， 又 ， 原点 到 的距离 于是 所以 （定值） .? 12分 21解：（ ） ? ? 21 2 12 ( 0 ) .axf x a x xxx ? ? ? ? ? 1分 0a?当 时 ， ?fx? 0， ?fx在 0+?（ ， ） 内单调递减 .? 2分 0a?当 时 ， 由 ?fx? =0有 12x a? . 当 x? 10, )2a（时， ?fx? 0， ?f

15、x单调递减； - 8 - 当 x? 1 +)2a ?（ ，时， ?fx? 0， ?fx单调递增 .? 4分 （ ） 11()xxexgx xe?令 ?sx= 1ex x? ，则 ?sx? = 1e1x? . 当 1x? 时， ?sx? 0，所以 ?sx单调递增，又 ?10s ? ， ? ? 0sx?， 从而 1x? 时 ， ?gx=111exx ? 0.? 7 分 （ ）由（ ），当 1x? 时， ?gx 0. 当 0a? ， 1x? 时， ?fx= ? ?2 1 ln 0a x x? ? ?. 故当 ?fx ?gx在区间 1+)?（ ， 内恒成立时，必有 0a? .? 8分 当 10 2a?

16、 时， 12a 1. 由（ ）有 ? ?1 102ffa?,而 1 02g a?， 所以此时 ?fx ?gx在区间 1+)?（ ， 内不恒成立 .? 10 分 当 12a? 时，令 ?hx= ?fx? ?gx（ 1x? ） . 当 1x? 时， ?hx? = 1221 1 1 1 12e xa x xx x x x x? ? ? ? ? ? ? ?32222 1 2 1 0x x x xxx? ? ? ?. 因此， ?hx在区间 1+)?（ ， 单调递增 . 又因为 ?1h =0，所以当 1x? 时， ?hx= ?fx? ?gx 0，即 ?fx ?gx恒成立 . 综上， a? 1+2?，.?

17、12分 22 解： （ ）由 ，得 ， 故直线 的普通方程为 ， 由 ，得 ， - 9 - 所以 ，即 ， 故曲线 的普通方程为 .? 5分 （ ）据题意设点 ， 则 ， 所以 的取值范围是 .? 10分 23 解： （ ）当 时，知 2 1 ( 1 )( ) 3 ( 1 2 )2 1 ( 2 )xxf x xxx? ? ? ? ? ? ?，不等式 等价于 12 1 2x xx? ? ? ? 或 1232xx? ? ? ? 或 22 1 2xxx? ? ? ? 解得： 13xx?或 故原不等式的解集为 | 1 3x x x?或 .? 5分 （ ） ，当 时取等号 . 若关于 的不等式 的解集不是空集，只需 解得 ，即实数 的取值范围是 ? 10分