八年级数学下册同步课件-2.pptx

1、栏目索引栏目索引1等腰三角形栏目索引栏目索引1等腰三角形知识点一知识点一全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定判定方法1.定义法:能够完全重合的两个三角形全等2.SAS:两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等3.ASA:两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等4.AAS:两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等5.SSS:三条边对应相等的两个三角形全等性质1.全等三角形的对应边相等2.全等三角形的对应角相等不能判定三角形全等的两种情况1.SSA:有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等2.AAA:有三个角对应相等的两个三角形不一定全等栏目索引栏目索引1等腰三角形栏目索引

2、栏目索引1等腰三角形例例1(2017四川泸州中考)如图1-1-1,点A、F、C、D在同一条直线上,已知AF=DC,A=D,BCEF,求证:AB=DE.图1-1-1分析分析欲证明AB=DE,只要证明ABC DEF即可.栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明AF=DC,AF+FC=DC+FC,AC=DF.BCEF,ACB=DFE.在ABC和DEF中,ABC DEF(ASA),AB=DE.,ADACDFACBDFE 栏目索引栏目索引1等腰三角形知识点二知识点二等腰三角形的性质及推论等腰三角形的性质及推论内容几何语言等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等.简述为:等边对等角在ABC中,若AB=AC

3、,则B=C推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.简述为:三线合一在ABC中,因为AB=AC,AD平分BAC,所以ADBC,BD=CD,或因为AB=AC,ADBC,所以AD平分BAC,BD=CD,或因为AB=AC,BD=CD,所以AD平分BAC,ADBC拓展等腰三角形两底角的平分线相等;等腰三角形两腰上的高相等,两腰上的中线相等;底边的中点到两腰的距离相等栏目索引栏目索引1等腰三角形例例2如图1-1-2所示,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC.(1)求ADB的度数;(2)若BAC=100,求B,C的度数;(3)若BC=3cm,求BD的长.图1-1-2栏目索引栏目索引

4、1等腰三角形解析解析(1)因为AB=AC,AD平分BAC,所以ADBC,所以ADB=90.(2)因为BAC=100,所以B+C=80.因为AB=AC,所以C=B=40.(3)因为AB=AC,AD平分BAC,所以BD=BC=3=1.5(cm).1212栏目索引栏目索引1等腰三角形知识点三知识点三等边三角形的性质等边三角形的性质定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60.用符号语言表示:如图1-1-3所示,在ABC中,AB=BC=AC,A=B=C=60.图1-1-3温馨提示温馨提示(1)等边三角形具有等腰三角形的一切性质;(2)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.栏目索引栏目索引1

5、等腰三角形例例3如图1-1-4,ABC为等边三角形,P为BC上一点,APQ为等边三角形.求证:ABCQ.图1-1-4栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明ABC和APQ都是等边三角形,AB=AC,AP=AQ,BAC=PAQ=60,BAC-PAC=PAQ-PAC,BAP=CAQ.在ABP和ACQ中,ABP ACQ(SAS),B=ACQ,又B=BAC=60,BAC=ACQ,ABCQ.,ABACBAPCAQAPAQ 栏目索引栏目索引1等腰三角形1.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边).用符号语言表示:如图1-1-5所示,在ABC中,图1-1-5B=C,AB=AC.

6、知识点四知识点四等腰三角形的判定等腰三角形的判定2.等腰三角形的判定方法:(1)定义法.(2)判定定理.栏目索引栏目索引1等腰三角形例例4如图1-1-6所示,D为ABC的边AB的延长线上一点,过D作DFAC,垂足为F,交BC于E,且BD=BE.求证:ABC是等腰三角形.图1-1-6分析分析首先依据等腰三角形的性质得到BDE=BED,然后结合对顶角的性质可得到BDE=CEF,依据直角三角形两锐角互余、等角的余角相等可得到A=C,最后,再依据等角对等边进行判断即可.栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明BD=BE,BDE=BED,又BED=CEF,BDE=CEF,又DFAC,A+BDF=90,C+C

7、EF=90,A=C,AB=BC(等角对等边),ABC是等腰三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角形知识点五知识点五反证法反证法先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法叫做反证法.反证法是证明命题成立的一种重要方法.用反证法证明的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立;(2)从假设出发,推导矛盾;(3)否定假设,从而肯定命题的结论成立.栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明假设等腰三角形的底角不是锐角,则底角大于或等于90.根据等腰三角形的两个底角相等,得两个底角的和大于或等于180,则该三角形的内角和一定大于180,这

8、与三角形的内角和定理矛盾,故假设不成立,所以等腰三角形的底角是锐角.例例5用反证法证明等腰三角形的底角是锐角.栏目索引栏目索引1等腰三角形知识点六知识点六等边三角形的判定等边三角形的判定判定定理:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.拓展延伸等边三角形的判定方法:(1)利用一般三角形进行判定:的三角形是等边三角形.(2)利用等腰三角形进行判定:的等腰三角形是等边三角形.60三个角相等三条边相等两个角等于60一个角是顶角和底角相等栏目索引栏目索引1等腰三角形例例6如图1-1-7,在ABC中,AB=BC,ABC

9、=120,BEAC于点D,且DE=BD,试判断CBE的形状,并说明理由.图1-1-7栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析CBE是等边三角形.理由如下:证法一:因为AB=BC,BEAC,ABC=120,所以CBD=ABC=60.因为BD=DE,BEAC,所以CD垂直平分BE.所以BC=EC.所以CBE是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形).证法二:因为AB=BC,ABC=120,所以ACB=A=30.因为BEAC,BD=DE,所以CD垂直平分BE,CBE=60.12所以BCD=ECD=30.所以BCE=60.所以CBE是等边三角形(有两个角是60的三角形是等边三角形).点拨点拨当

10、判定一个三角形是等边三角形时,若已知两边相等,一般通过已知条件再求一个角为60即可;若只知道角,一般证明有两个角为60即可.栏目索引栏目索引1等腰三角形知识点七知识点七含含30 角的直角三角形的性质定理角的直角三角形的性质定理注意注意(1)此定理只适用于含有30角的直角三角形,而非一般的直角三角形或非直角三角形.(2)应用定理时,要找准30角所对的直角边,明确斜边.(3)此定理通常用于证明线段的倍分问题.内容应用格式含30角的直角三角形的性质定理在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半在RtABC中,C=90,若A=30,则BC=AB12栏目索引栏目索引1等腰三角

11、形例例7如图1-1-8,ABC中,BAC=90,AD是ABC的高,C=30,BC=4,求BD的长.图图1-1-8解析解析在ABC中,BAC=90,C=30,AD是ABC的高,ADB=90,B=60,BAD=C=30,在直角ABC中,AB=BC=2,在直角ABD中,BD=AB=1.BD的长为1.1212栏目索引栏目索引1等腰三角形题型一题型一等腰三角形的判定与性质的综合应用等腰三角形的判定与性质的综合应用例例1如图1-1-9所示,已知ABC中,AB=AC,BD和CE分别是ABC和ACB的平分线,且相交于O点.图1-1-9(1)试说明OBC是等腰三角形;(2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关

12、系,并说明理由.栏目索引栏目索引1等腰三角形分析分析(1)根据“等边对等角”得到ABC=ACB,再结合角平分线的定义得到OBC=BCO,从而证明OB=OC;(2)首先根据全等三角形的判定和性质得到AO平分BAC,再根据等腰三角形的“三线合一”的性质得到直线OA垂直平分线段BC.栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析(1)证明:在ABC中,AB=AC,ABC=BCA.BD,CE分别平分ABC,BCA,ABD=OBC,ACE=BCO,OBC=BCO,OB=OC,OBC为等腰三角形.(2)直线OA垂直平分线段BC.理由:在AOB和AOC中,AOB AOC(SSS),BAO=CAO,ABACAOAOBO

13、COAO平分BAC,直线OA垂直平分线段BC(等腰三角形顶角的平分线,底边上的高,底边上的中线互相重合).栏目索引栏目索引1等腰三角形题型二题型二等边三角形的性质与判定的应用等边三角形的性质与判定的应用例例2如图1-1-10所示,点C为线段AB上一点,ACM与CBN都是等边三角形.图1-1-10(1)如图1-1-10(1)所示,线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论;(2)如图1-1-10(2)所示,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,连接EF,试探究CEF的形状,并证明你的结论.栏目索引栏目索引1等腰三角形分析分析(1)由等边三角形的性质可以得出ACN,MCB的两边及其夹角分别对应相等

14、,两个三角形全等,得出线段AN与线段BM相等.(2)由平角的定义得出MCN=60,通过证明ACE MCF得出CE=CF,根据等边三角形的判定定理得出CEF的形状.栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析(1)相等.证明如下:ACM与CBN都是等边三角形,AC=MC,CN=CB,ACM=BCN=60,ACN=MCB,在ACN和MCB中,ACN MCB(SAS),AN=BM.(2)CEF是等边三角形.证明如下:由(1)知ACN MCB,CAE=CMF.,ACMCACNMCBNCBC 栏目索引栏目索引1等腰三角形ACM=BCN=60,MCN=60,在ACE和MCF中,ACE MCF(ASA),CE=CF

15、,又ECF=60,CEF是等边三角形.,CAECMFACMCACEMCF 栏目索引栏目索引1等腰三角形例例3如图1-1-11,在等边ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQAD于点Q.求证:BP=2PQ.图1-1-11题型三题型三利用含利用含30 角的直角三角形的性质和等边三角形的性质证明角的直角三角形的性质和等边三角形的性质证明线段之间的数量关系线段之间的数量关系分析分析要证BP=2PQ,由于PQ,BP分别是RtPBQ的直角边和斜边,则只需证出PBQ=30.由已知条件可证ACD与BAE全等,进而得出BPQ=60,也就得到PBQ=30,结论可证.栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明AB

16、C为等边三角形,AC=BC=AB,C=BAC=60.在ACD和BAE中,ACD BAE,CAD=ABE.CAD+BAP=BAC=60,ABE+BAP=60,BPQ=60.BQAD,BQP=90.PBQ=90-60=30.,ACABCBAECDAE BP=2PQ.点拨点拨证明一条线段是另一条线段的一半或2倍,常用含30角的直角三角形的性质定理.栏目索引栏目索引1等腰三角形易错点易错点解与等腰三角形有关的问题时考虑不全面解与等腰三角形有关的问题时考虑不全面例例等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,求顶角的度数.错解如图1-1-12,AB=AC,BDAC,1=40,则A=90-40=50.图1-

17、1-12栏目索引栏目索引1等腰三角形图1-1-13正解正解如图1-1-13(1),当A为锐角时,解法如上,A=50.如图1-1-13(2),当BAC为钝角时,1=40,则2=90-40=50,BAC=180-50=130.综上得顶角的度数为50或130.错因辨析错因辨析涉及等腰三角形腰上的高的问题时,要注意分类讨论.栏目索引栏目索引1等腰三角形知识点一知识点一全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定1.(2018福建龙岩上杭期中)如图1-1-1,ABC DEF,BE=2,AE=1,则DE的长是.图1-1-1解析解析BE=2,AE=1,AB=BE+AE=2+1=3,ABC DEF,DE=AB

18、=3.故答案为3.答案答案3栏目索引栏目索引1等腰三角形2.如图1-1-2,E、A、C三点共线,ABCD,B=E,AC=CD,求证:BC=ED.图1-1-2证明证明ABCD,BAC=ECD.在ABC和CED中,ABC CED(AAS),BC=ED.,BEBACECDACCD 栏目索引栏目索引1等腰三角形3.(2015江苏苏州中考)如图1-1-3,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BAD=35,则C的度数为()图1-1-3A.35B.45 C.55D.60知识点二知识点二等腰三角形的性质及推论等腰三角形的性质及推论答案答案CAB=AC,D为BC的中点,CAD=BAD=35,ADDC,在AD

19、C中,C=90-DAC=55,故选C.栏目索引栏目索引1等腰三角形4.(2017广东深圳龙岗平湖中学期中)如图1-1-4,在等边三角形ABC中,D是AC边上的中点,延长BC到点E,使CE=CD,则E的度数为()图1-1-4A.15B.20C.30D.40知识点三知识点三等边三角形的性质等边三角形的性质栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案CABC是等边三角形,D是AC的中点,ACB=60,ACE=180-ACB=120,CD=CE,E=CDE,DCE+E+CDE=180,2E=180-DCE=60,E=30.栏目索引栏目索引1等腰三角形5.如图1-1-5,已知AD是等边三角形ABC的高,且BD=

20、1cm,那么BC的长是cm.图1-1-5答案答案2解析解析在等边ABC中,ADBC,BD=BC=1cm,BC=2cm.12栏目索引栏目索引1等腰三角形6.如图1-1-6所示,一条船8时从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北方向航行,10时到达海岛B处.分别从海岛A,B望灯塔C,测得NAC=38,NBC=76,则海岛B到灯塔C的距离为.图1-1-6知识点四知识点四等腰三角形的判定等腰三角形的判定答案答案30海里解析解析由已知得AB=(10-8)15=30海里,NBC=A+C=76,A=38,C=76-38=38,C=A,BC=AB=30海里.栏目索引栏目索引1等腰三角形7.(2018云南期中)

21、如图1-1-7,已知RtABC中,ACB=90,CDAB于D,BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明CEF是等腰三角形.图1-1-7栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明ACB=90,B+BAC=90.CDAB,CAD+ACD=90.ACD=B.AE是BAC的平分线,CAE=EAB.EAB+B=CEA,CAE+ACD=CFE,CFE=CEF,CF=CE,CEF是等腰三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角形8.已知:ABC的三个内角分别是A,B,C.求证:A,B,C中至少有一个角大于或等于60.知识点五知识点五反证法反证法证明证明假设A,B,C中没有一个角大于或等于60,即A60,B60,C6

22、0,A+B+C603=180,根据三角形内角和定理可知A+B+C=180,A+B+C180与A+B+C=180相矛盾,假设不成立,即原命题正确.栏目索引栏目索引1等腰三角形9.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定是等边三角形的是()A.有一个内角是60B.有一个外角是120C.有两个角相等D.腰与底边相等知识点六知识点六等边三角形的判定等边三角形的判定答案答案CA选项是判定定理,故能判定;B选项可得有一个内角为60,故B选项也能判定;等腰三角形有两个底角相等,故C选项不能判定为等边三角形;D选项中腰与底边相等,得出三角形的三边相等,故此三角形为等边三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角形10.将一副

23、三角尺按如图1-1-8所示叠放在一起,若AB=14cm,则阴影部分的面积是cm2.图1-1-8知识点七知识点七含含30 角的直角三角形的性质定理角的直角三角形的性质定理答案答案492栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析在RtABC中,B=30,AB=14cm,AC=AB=7cm,又E=ACB=90,BCED,如图,设AD与BC交于点F,则AFC=D=45,AC=FC=7cm,S阴影=77=cm2.1212492栏目索引栏目索引1等腰三角形11.如图1-1-9,在ABC中,AB=AC,AEAB交BC于点E,BAC=120,AE=3cm,求BC的长.图1-1-9栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析

24、AB=AC,B=C.BAC=120,B=C=(180-BAC)=30.AEAB,BAE=90,EAC=BAC-BAE=120-90=30,C=EAC,EC=AE=3cm.在RtABE中,B=30,BE=2AE=6cm.BC=BE+EC=6+3=9(cm).12栏目索引栏目索引1等腰三角形1.下列三角形:有两个角等于60的三角形;有一个角等于60的等腰三角形;三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,其中是等边三角形的为()A.B.C.D.栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案D三角形的两个角等于60,则第三个角也等于60,这个三角形是等边三角形;

25、有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形,这是等边三角形的判定定理;三角形的三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等时,三个内角相等,都为60,这个三角形是等边三角形;由“一腰上的中线也是这条腰上的高”知这个等腰三角形的腰长与底边长相等,所以这个三角形是等边三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角形2.若等腰三角形的顶角为40,则它的底角的度数为()A.40B.50C.60D.70答案答案D因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40,所以其底角为=70.故选D.180402栏目索引栏目索引1等腰三角形3.(2016河南平顶山宝丰五校联考)下列能判断ABC为等腰三角形的是()A.A=30,B=60B.A

26、=50,B=80C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周长为13答案答案BA选项中,若A=30,B=60,则C=90,ABC是直角三角形.B选项中,若A=50,B=80,则C=50=A,ABC为等腰三角形.C选项中,若AB=AC=2,BC=4,则不能构成三角形.D选项中三条线段也不能构成三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角形4.如图,已知3=4,要说明ABC DCB.(1)若以“SAS”为依据,则需添加一个条件是;(2)若以“AAS”为依据,则需添加一个条件是;(3)若以“ASA”为依据,则需添加一个条件是.答案答案(1)AC=DB(2)5=6(3)ABC=DCB(或1=2)栏目索

27、引栏目索引1等腰三角形解析解析ABC和DCB有一条公共边BC,又已知一组角相等,则以“SAS”为依据,需要再加一组边相等,观察题图中边角关系知要添加的一个条件是AC=DB;以“AAS”为依据,需添加一组角相等,观察题图中边角关系知要添加的一个条件是5=6;以“ASA”为依据,需添加一组角相等,观察题图中边角关系知要添加的一个条件是ABC=DCB.又3=4,添加1=2也可.栏目索引栏目索引1等腰三角形5.用反证法证明“三角形中至多有1个钝角”时,第一步的假设是.答案答案三角形中至少有2个钝角解析解析第一步的假设是提出与结论相反的假设.栏目索引栏目索引1等腰三角形6.如图,在RtABC中,C=90

28、,A=30,AB+BC=12cm,则AB等于cm.答案答案8解析解析设BC=xcm,C=90,A=30,AB=2BC=2xcm,AB+BC=12cm,2x+x=12,x=4,AB=8cm.栏目索引栏目索引1等腰三角形7.(2017四川内江中考,18)如图,AD平分BAC,ADBD,垂足为点D,DEAC.求证:BDE是等腰三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明如图,DEAC,1=3.AD平分BAC,1=2,2=3.ADBD,2+B=90,3+BDE=90,B=BDE,BE=DE,BDE是等腰三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角形1.(2018北京期末)已知,如图1-1-10,ABC中,AB=

29、AC,BE=CD,BD=CF,则EDF=()图1-1-10A.2AB.90-2AC.90-AD.90-A12栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案DAB=AC,B=C,BD=CF,BE=CD,BDE CFD,BDE=CFD,EDF=180-(BDE+CDF)=180-(CFD+CDF)=180-(180-C)=C,A+B+C=180,B=C,A+2EDF=180,EDF=90-A.故选D.12栏目索引栏目索引1等腰三角形2.等腰ABC的顶角A为120,过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E,交BA的延长线于F,则AEF是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰但非等边三角形栏

30、目索引栏目索引1等腰三角形答案答案A如图,AB=AC,B=C.AEF=DEC=90-C,F=90-B,AEF=F,即AE=AF.又BAC=120,FAE=60.AEF是等边三角形.故选A.栏目索引栏目索引1等腰三角形3.如图1-1-11所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C共有()图1-1-11A.6个B.7个C.8个D.9个栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案C要使ABC为等腰三角形,可以使AC=BC或AC=AB或BC=AB.当AC=BC时,点C在线段AB的垂直平分线上,可以找到4个符合题意的点C;当AC=AB时,

31、可以找到2个符合题意的点C;当BC=AB时,也可找到2个符合题意的点C.故符合题意的点C共有8个.栏目索引栏目索引1等腰三角形4.(2016陕西西安七十中月考)如图1-1-12,已知:MON=30,点A1、A2、A3、在射线ON上,点B1、B2、B3、在射线OM上,A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4、均为等边三角形,若OA1=1,则A6B6A7的边长为()图1-1-12A.6B.12C.32D.64栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案CA1B1A2是等边三角形,A1B1A2=B1A1A2=60,A1B1=A1A2=B1A2.又O=30,OB1A1=B1A1A2-O=30,A1B1=OA1

32、=1,OB1A2=90.B1A2=OA2=1.同理,B2A3=OA3=2,B3A4=OA4=4.B6A7=25=32.121212栏目索引栏目索引1等腰三角形5.如图1-1-13,E在ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:ABC是等腰三角形.图1-1-13栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明过点D作DGAC交BC于点G,如图所示.DGAC,GDF=E,DGB=ACB.在GDF和CEF中,GDF CEF(ASA),GDFEDFEFDFGEFC GD=CE.BD=CE,BD=GD,B=DGB=ACB,ABC是等腰三角形.栏目索引栏目索引1等腰三角

33、形1.如图,过边长为1的等边ABC的边AB上一点P作PEAC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于D,则DE的长为()A.B.C.D.12132325栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案A过P作PFBC交AC于F,如图所示.PFBC,ABC是等边三角形,PFD=QCD,APF是等边三角形,AP=PF=AF.PEAC,AE=EF,AP=PF,AP=CQ,PF=CQ.栏目索引栏目索引1等腰三角形在PFD和QCD中,PFD QCD(AAS),FD=CD.AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=AC,AC=1,DE=.故选A.,PFDQCDPDFQDCPFCQ 12

34、12栏目索引栏目索引1等腰三角形2.(2017黑龙江哈尔滨中考模拟)等腰三角形的一个内角为70,它一腰上的高与底边所夹的角的度数为.答案答案35或20解析解析在ABC中,AB=AC,BDAC.当A=70时,ABC=C=55,BDAC,DBC=90-55=35;当C=70时,BDAC,DBC=90-70=20.故答案为35或20.栏目索引栏目索引1等腰三角形3.(2018广西玉林北流扶新月考)如图所示是两块完全一样的含30角的三角板,分别记作ABC和A1B1C1,现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动三角板ABC,使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上,

35、当A=30,AC=10时,两直角顶点C,C1间的距离是.栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案5解析解析如图,连接CC1,两块三角板重叠在一起,较长直角边的中点为M,M是AC、A1C1的中点,AC=A1C1,CM=A1M=C1M=AC=5,A1=A1CM=30,12CMC1=60,CMC1为等边三角形,CC1=CM=5,即两直角顶点C,C1间距离是5.栏目索引栏目索引1等腰三角形4.(2018江苏徐州沛县期中)如图,在ABC中,ACB=90,BAC=40,在直线AC上找点P,使ABP是等腰三角形,则APB的度数为.答案答案20或40或70或100栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析如图,在RtA

36、BC中,ACB=90,BAC=40,当AB=BP1时,BAP1=BP1A=40;当AB=AP3时,ABP3=AP3B=BAC=40=20;当AB=AP4时,ABP4=AP4B=(180-40)=70;当AP2=BP2时,BAP2=ABP2,AP2B=180-402=100.APB的度数为20或40或70或100.121212栏目索引栏目索引1等腰三角形5.如图,已知等边ABC中,点D是AB的中点,过点D作DFAC,垂足为点F.过点F作FHBC,垂足为点H,若等边ABC的边长为4,求BH的长.栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析ABC是等边三角形,AC=AB=4,C=A=60.DFAC,ADF=

37、90-60=30,D是AB的中点,AD=AB=2,在RtADF中,AF=AD=1,FC=AC-AF=3.FHBC,CFH=90-C=30,HC=FC=,BH=BC-HC=4-=.121212323252栏目索引栏目索引1等腰三角形一、选择题一、选择题1.(2018河南郑州实验学校期中,10,)如图1-1-14,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分DAB,且AB=AC,AC=AD,有如下四个结论:ACBD;BC=DC;DBC=DAC;ABD是等边三角形.则正确的结论是()图1-1-14A.B.C.D.栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案CAB=AC,AC=AD,AB=AD,

38、又AC平分DAB,ACBD(等腰三角形三线合一),正确;由已知条件根据“SAS”,可证得ABC ADC,BC=DC,故正确;无法判定,故选C.栏目索引栏目索引1等腰三角形2.(2018重庆十一中期中,11,)如图1-1-15,D为ABC内一点,CD平分ACB,BECD,垂足为点D,交AC于点E,A=ABE,若AC=10,BC=6,则BD的长为()图1-1-15A.5B.3C.4D.2栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案DA=ABE,AE=BE,CD平分ACB,BCD=ECD,BECD,BDC=EDC=90,又DC=DC,BDC EDC(ASA),EC=BC=6,BD=ED,BE=AE=AC-E

39、C=10-6=4,BD=BE=2,故选D.12栏目索引栏目索引1等腰三角形二、填空题二、填空题3.(2017广东深圳锦华实验学校第一次月考,14,)如图1-1-16,在等边ABC中,AD=BE,BD、CE交于点P,CFBD于F,若PF=3cm,则CP=cm.图1-1-16答案答案6栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析在等边三角形ABC中,AB=BC,A=EBC=60.又AD=BE,ADB BEC(SAS),ABD=BCE,DPC=PBC+PCB=ABP+CBP=60,又FCBD,PCF=30,PC=2PF=6cm.栏目索引栏目索引1等腰三角形三、解答题三、解答题4.(2018山东济南章丘期中,

40、28,)在ABC中,AB=AC,点D是BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作ADE,使AD=AE,DAE=BAC,连接CE.(1)如图1-1-17,若ABC是等边三角形,且AB=AC=2,点D在线段BC上.求证:BCE+BAC=180;当四边形ADCE的周长取最小值时,求BD的长;(2)若BAC60,当点D在射线BC上移动时,如图1-1-17,BCE和BAC之间有怎样的数量关系?并说明理由.图1-1-17栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析(1)证明:BAC=DAE,BAD=CAE,又AB=AC,AD=AE,ABD ACE,ABC是等边三角形,ACE=ABD=BAC=ACB=

41、60,BCE+BAC=BCA+ACE+BAC=180.ABD ACE,BD=CE,四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD+DC+BD+AE=BC+2AD.当AD最短,即ADBC时,四边形ADCE的周长最小.ABC是等边三角形,ADBC,栏目索引栏目索引1等腰三角形BD=CB=1.(2)BCE+BAC=180.理由如下:如图,BAC=DAE,BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE,ABD ACE,ADB=AEC,AFE=CFD,EAF=ECD,BAC=FAE,BAC=ECD,又BCE+ECD=180,BCE+BAC=180.12栏目索引栏目索引1等腰三角形1.(2017河北唐山玉田

42、期末,11,)如图,RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的高,ACD=30,那么下列结论正确的是()A.AD=CDB.AC=ABC.BD=BCD.CD=AB12121212栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案BADC=90,ACD=30,AD=AC,A错误;ACD+A=90,B+A=90,ACD=B=30,AC=AB,B正确;BDBC,CD=BC,C、D错误.故选B.12121212栏目索引栏目索引1等腰三角形2.(2016山西农大附中水平测试,9,)已知:在ABC中,ABAC,求证:BC.若用反证法来证明这个结论,可以假设()A.A=BB.AB=BCC.B=CD.A=C答案答案C反证

43、法的第一步是提出与结论相反的假设.栏目索引栏目索引1等腰三角形3.(2018辽宁灯塔二中期中,15,)如图,ABC为等边三角形,BDAB,BD=AB,则DCB=.答案答案15栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析BDAB,ABD=90,ABC是等边三角形,ABC=60,AB=BC,DBC=ABD+ABC=150,又BD=AB,BD=BC,DCB=CDB=15.1802DBC栏目索引栏目索引1等腰三角形4.(2018江西吉安第二次质检,15,)操作实践:在ABC中,已知A=90,B=22.5,请画出一条直线把ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数.(要求用两种不同的分割

44、方法)解析解析如图所示.栏目索引栏目索引1等腰三角形5.(2016江西崇仁二中期中,23,)已知,M是等边ABC边BC上的点.(1)如图1,过点M作MNAC,交AB于点N,求证:BM=BN;(2)如图2,连接AM,过点M作AMH=60,MH与ACB的邻补角的平分线交于点H,过H作HDBC于点D.求证:MA=MH;猜想CB,CM,CD之间的数量关系式,并加以证明;(3)如图3,(2)中其他条件不变,若点M在BC的延长线上时,(2)中两个结论还成立吗?若不成立,请直接写出新的数量关系式(不必证明).栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析(1)证明:在等边ABC中,MNAC,BMN=C=60,BNM=

45、A=60,BMN=BNM,BM=BN.(2)证明:过点M作MNAC交AB于N,则BM=BN,ANM=120,NMC=120.AB=BC,AN=MC,CH是ACB的邻补角的平分线,所以ACH=60,MCH=ACB+ACH=120,又NMC=120,AMH=60,HMC+AMN=60.又MAN+AMN=BNM=60,栏目索引栏目索引1等腰三角形HMC=MAN,在AMN和MHC中,AMN MHC(ASA),MA=MH.CB=CM+2CD.证明:过点M作MGAB于G,AMN MHC,MN=HC,ANMMCHANMCMANHMC 栏目索引栏目索引1等腰三角形MN=MB,HC=BM,在RtBMG中,B=6

46、0,GMB=30,BM=2BG,在BMG和CHD中,BMG CHD(AAS),CD=BG,BM=2CD.CB=MC+BM=MC+2CD.(3)(2)中结论成立,不成立,CB=2CD-CM.,MGBHDCBHCDMBHC 栏目索引栏目索引1等腰三角形一、选择题一、选择题1.(2018山东淄博中考,11,)如图1-1-18,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,若AN=1,则BC的长为()图1-1-18A.4B.6C.4D.83栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案BCM平分ACB,MNBC,且MN平分AMC,AMN=NMC=B,NCM=BCM=

47、NMC,ACB=2B,NM=NC,BAC=90,B=30,AMN=30,A=90,MN=2AN=2,NC=MN=2,AC=AN+NC=3,又B=30,A=90,BC=2AC=6.栏目索引栏目索引1等腰三角形二、填空题二、填空题2.(2018黑龙江哈尔滨中考,19,)在ABC中,AB=AC,BAC=100,点D在BC边上,连接AD,若ABD为直角三角形,则ADC的度数为.答案答案90或130栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析在ABC中,AB=AC,BAC=100,B=C=40,点D在BC边上,ABD为直角三角形,当BAD=90时,如图(1),则ADB=90-B=50,ADC=130;当ADB=

48、90时,如图(2),则ADC=90,故答案为90或130.栏目索引栏目索引1等腰三角形1.(2016河北中考,16,)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上栏目索引栏目索引1等腰三角形答案答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCM PDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数对,所以满足题意的三角形有无

49、数个.栏目索引栏目索引1等腰三角形2.(2015浙江义乌中考,13,)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,AOB=60,如图,则此时A,B两点之间的距离是cm.栏目索引栏目索引1等腰三角形解析解析OA=OB,衣架收拢时,AOB=60,连接AB,则AOB是等边三角形,AB=OA=OB=18cm,故答案为18.答案答案18栏目索引栏目索引1等腰三角形3.(2018陕西中考,18,5分,)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相

50、交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.栏目索引栏目索引1等腰三角形证明证明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.在ABH和DCG中,AB=CD,A=D,AHB=CGD,ABH DCG,AH=DG,AG=DH.栏目索引栏目索引1等腰三角形4.(2018辽宁沈阳中考,24,)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0ACB90,点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AGBC,延长BM交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE.(1)如图,当ACB=90时:求证:BCM ACN;求BDE的度数;(2)当ACB=,其他条件不