3线性变换及其矩阵表示课件.ppt

1、整理版ppt13 3 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示整理版ppt2一、线性变换的引入 在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将转换。当我们欲将一幅图像一幅图像变换为变

2、换为另一幅图像另一幅图像时，通时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小还是小于于1，图像就能够被放大或者缩小图像就能够被放大或者缩小。整理版ppt3线性变换的定义线性变换的定义1212()()()T kkkTk T整理版ppt4整理版ppt5整理版ppt6例例1TxxxxxxxT3212221211 ,)(xxTxxxxxxxT32132212 ,)(xx判断下面两个从判断下面两个从R3到到R2变换的类型（线性或非线性）变换的类型（线性或非线性）整理版p

3、pt7 定义在闭区间上的全体连续函数组成定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间实数域上的一个线性空间V，在这个空间中变换，在这个空间中变换是一个线性变换是一个线性变换.dttfxfTxa 设设 .,VxgVxf 则有则有 dttgtfxgxfTxa dttgdttfxaxa xgTxfT .xfkTtdtfkdttkfxkfTxaxa 整理版ppt8 线性空间线性空间V中的恒等变换（或称单位中的恒等变换（或称单位变换）变换）I，是线性变换。是线性变换。,.IV则有则有I IIV ,设设.I kkkI所以恒等变换是线性变换。所以恒等变换是线性变换。整理版ppt9 线性空间线性空间

4、V中的零变换中的零变换是线性变换。是线性变换。0o 000ooo设设,V 则有则有 00.o kkko所以零变换是线性变换。所以零变换是线性变换。整理版ppt10 变换变换到实数域到实数域 R上的线性变换。上的线性变换。VyxyxyxyxniiiT,),(1,:),(VyxyxVV是一种将笛卡儿积是一种将笛卡儿积整理版ppt11A称为线性变换称为线性变换T的的标准矩阵标准矩阵(Standard matrix)。AxxT)(线性变换线性变换也称为也称为矩阵变换矩阵变换。)()(2121xxAxxT1212()()AxAxT xT x()()()T kxA kxkAxkT x。易证易证T是线性变换

5、是线性变换.,nmm nxFyAxFA整理版ppt12 ;,001 TTT .,22121亦亦线线性性相相关关则则线线性性相相关关若若mmTTT 3 若若,2211mmkkk 则则.2211mmTkTkTkT nVT4 线性变换线性变换T的象集的象集 是一个线性空间，是一个线性空间，称为线性变换称为线性变换T的象空间。的象空间。整理版ppt13由于由于 ,nnVVT 由此知它对由此知它对 中的线性运算中的线性运算封闭，封闭，故它是故它是 的子空间。的子空间。nV ,21nVT 设设,21nV 则则有有,2211 TT使使从而从而2121 TT ,21nVTT ;21nV 因因11 kTk ,1

6、nVTkT ,1nVk 因因nV4 线性变换线性变换T的象集的象集 T（Vn）是一个线性空间，称为）是一个线性空间，称为线性变换线性变换T的象空间。的象空间。整理版ppt14,21TS 若若,0,021 TT则则 2121 TTT 0;21TS ,1RkST 若若则则 0011 kkTkT .1TSk ,对对线线性性运运算算封封闭闭因因此此TS,nTVS 又又.的的子子空空间间是是故故nTVS .,0,05的的核核称称为为线线性性变变换换的的子子空空间间是是的的全全体体的的使使TSVTVSTTnnT 整理版ppt15 设设T是线性空间是线性空间 中的线性变换，中的线性变换，在在 中取定一个基中

7、取定一个基 ，如果这个基，如果这个基在变换在变换T下的象为下的象为nVnVn ,21 ,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 整理版ppt16其中其中.212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA那末，那末，A就称为线性变换就称为线性变换T在基在基 下的下的矩阵。矩阵。n,21上式可表示为上式可表示为 ATnn ,2121 ,2121nnTTTT 记记整理版ppt17.,TAATVn换换唯一地确定一个线性变唯一地确定一个线性变也可也可由一个矩阵由一个矩阵唯一地确定一个矩阵唯一地确定一个矩阵可可由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定

8、一个基后在在.,阵阵是是一一一一对对应应的的线线性性变变换换与与矩矩在在给给定定一一个个基基的的条条件件下下.)(,),(,1一确定一确定唯唯由基的象由基的象矩阵矩阵显然显然 nTTA整理版ppt18.,0)(,32132133213投影变换投影变换为为因此也称这个线性变换因此也称这个线性变换平面上平面上投影到投影到其几何意义是将向量其几何意义是将向量的一个线性变换的一个线性变换这是这是定义定义对任意对任意的一个变换的一个变换是是设设XOYRaaaaaRaaaR 整理版ppt19,100,010,001 3213 的的标标准准基基若若取取R,000100)(,010010)(,001001)(

9、321 则则有有整理版ppt20 000010001 ,3AR在在标标准准基基下下的的矩矩阵阵为为的的投投影影变变换换因因此此 有有的的另另一一组组基基而而对对于于 ,001,011,111 3213 R整理版ppt21,001)(,011)(,011)(321 000011111 ,321A下下的的矩矩阵阵为为在在基基故故 整理版ppt22.,)(),()(,换换这个变换也称为微分变这个变换也称为微分变换换的一个线性变的一个线性变是是则由导数性质可以证明则由导数性质可以证明定义变换定义变换中中在线性空间在线性空间xRxRxfxfdxdxfxRnnn 则有则有的基的基取取,112xxxxRnn

10、 212(1)0,()1,()2,()(1)nnxxnxxx下下的的矩矩阵阵为为在在基基因因此此xxxn 12,1,0000100002000010nA整理版ppt23.,987654321 ,3 132321下下的的矩矩阵阵在在基基求求下下的的矩矩阵阵为为基基在在的的线线性性变变换换维维线线性性空空间间已已知知 AV由条件知由条件知 987654321),(),(321321 整理版ppt24 321332123211963)(852)(74 )(即即 174396285 ,132B下的矩阵为下的矩阵为在基在基因此因此 74)(396)(285)(132113231322从而有从而有整理版p

11、pt251122 nnyxyxAyx 设线性变换设线性变换T 在基在基e1,e2,en下的矩阵是下的矩阵是A，向，向量量在基在基e1,e2,en下下的坐标是的坐标是(x1,x2,xn)，则，则T()在基在基e1,e2,en下下的坐标的坐标(y1,y2,yn)可以按下可以按下式计算式计算整理版ppt26其其中中表表示示都都可可用用关关系系式式中中任任何何线线性性变变换换,)()(,RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn,212222111211 aaaaaaaaannnnnn.,21为为单单位位坐坐标标向向量量eeen整理版ppt27整理版ppt28,;,2121nn 设线

12、性空间设线性空间 中取定两个基中取定两个基nV由基由基 到基到基 的过渡矩的过渡矩阵为阵为P，中的线性变换中的线性变换 T在这两个基下的在这两个基下的矩阵依次为矩阵依次为A和和B，那么，那么 n ,21n ,21nVAPPB1 整理版ppt29于是于是 nnTB ,2121 ,21PTn PTn ,21 Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 APn ,21 APPn121,因为因为 线性无关，线性无关，n,21所以所以.APPB1 整理版ppt30.,1222211211212下的矩阵下的矩阵在基在基求求的矩阵为的矩阵为下下在基在基中的线性变换中的线性变换设设 Taaa

13、aATV ,0110),(),(2112 ,0110 ,0110 1 PP求求得得即即整理版ppt31下的矩阵为下的矩阵为在基在基于是于是),(12 T 0110011022211211aaaaB.11122122 aaaa 011012112221aaaa整理版ppt32).(,ARTTA的的秩秩就就是是则则的的矩矩阵阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若.,)(的秩的秩称为线性变换称为线性变换的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换TVTTn整理版ppt33的两个线性变换的两个线性变换已知已知22 R 22,RXMXXSXNXT 1111,0201N

14、M.,22211211下下的的矩矩阵阵在在基基试试求求EEEETSST 整理版ppt34正交变换的定义正交变换的定义 欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换T 称为称为正交变换正交变换，如，如果它保持中果它保持中V任何两个向量的内积不变，即对任何两个向量的内积不变，即对V中中的任意向量的任意向量,，恒有，恒有 (T,T)=(,)整理版ppt35定理定理设设T是欧氏空间是欧氏空间V的的 线性变换，则线性变换，则T是正交变换的是正交变换的充分必要条件是下列条件之一成立：充分必要条件是下列条件之一成立：(1)T保持向量的长度不变，即对保持向量的长度不变，即对V中的任意向量中的任意向量，都有都有|T()|=|；(2)T把一个标准正交基映射为一个标准正交基；把一个标准正交基映射为一个标准正交基；(3)T在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。注：正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可注：正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可逆的，且其逆变换也是正交变换。逆的，且其逆变换也是正交变换。正交变换正交变换(Gives旋转变换、旋转变换、Householder镜像镜像变换变换)；正交投影变换；对称变换等；正交投影变换；对称变换等。