湖南省长沙市2018届高三数学上学期7月摸底考试试题 [理科]（含答案解析，word版）.doc

1、 1 湖南省长沙市 2018届高三数学上学期 7月摸底考试试题 理（含解析） 时量： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每个小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 (1)已知集合 A x|00 ， 则 A ( )?RB (B) (A)x|0 x1 ( B)x|1 x 2 (C)x| 1 x0 ( D)x|0 x 1 (2)在复平面内 ， 复数 z 所对应的点为 ( )1， 1 ， 则 ? ?z1 2i (D) (A)1 (B)25 5 (C)25 (D) 105 (3)记等差数列 an 的前 n 项

2、和为 Sn， 若 S5 20， a8 19， 则 S10 (C) (A)23 (B)105 (C)115 (D)230 (4)如图 ， 在边长为 1 的正方形 OABC 中随机取一点 ， 则此点恰好取自阴影部分的概率为(A) (A)16 (B)14 (C)13 (D)12 (5)对于下列四个命题 P1： ? x0 (0， 1)， log12x0 log13x0； P2： ? x0 (0， ) ， ? ?12x0 ? ?13x0； P3： ? x (0， ) ， ? ?12x log12x； P4： ? x ? ?0， 13 ， ? ?12x log13x. 其中的真命题是 (B) (A)P1，

3、 P3 (B)P1， P4 (C)P2， P3 (D)P2， P4 (6)函数 f(x) sin x(0) 的图象向右平移 12个单位得到函数 y g(x)的图象 ， 并且函数 g(x)在区间 ? ? 6 ， 3 上单调递增 ， 在区间 ? ? 3 ， 2 上单调递减 ， 则实数 的值为 (C) (A)1 (B)32 (C)2 (D)10 (7)某几何体的三视图如下图 ， 其正视图中的曲线部分为半圆 ， 则该几何体的表面积为 (D) 2 (A)(19 ) cm2 (B)(22 4 ) cm2 (C)(13 6 2 4 ) cm2 (D)(10 6 2 4 ) cm2 (8)秦九韶是我国南宋时期

4、的数学家 ， 普州 (现四川省安岳县 )人 ， 他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法 ， 至今仍是比较先进的算法 ， 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例 ， 若输入 x 的值为 2， 则输出 v 的值为 (D) (A)210 1 (B)210 (C)310 210 (D)310 (9)已知抛物线 C： y2 8x 的焦点为 F， 准线为 l， P 是 l 上一点 ， 直线 PF 与曲线相交于M， N 两点 ， 若 PF 3MF ， 则 |MN| (A) (A)323 (B)212 (C)11 (D)10 (10)设等比数列 an 的公比为 q， 其 前 n

5、 项的积为 Tn， 并且满足条件 a11， a9a10 10，a9 1a10 11 成立的最大自然数 n 的值为 (C) (A)9 (B)10 (C)18 (D)19 (11)已知函数 f(x) x3 2x ex 1ex， 其中 e 为自然对数的底数 ， 若不等式 f(3a2) f(2a 1)f(0) 恒成立 ， 则实数 a 的取值范围为 (B) (A)? ? 12， 1 (B)? ? 13， 1 (C)? ? 1， 13 (D)? ?13， 1 【解析】易知函数 f(x)为奇函数 ， 又因为 f(x) 3x2 2 ex e x 3x2 0， 所以函数f(x)为增函数 ， 原不等式转化为： f

6、(3a2)f(2a 1)?3a2 2a 10 ， 解得： 13a1 ，所以答案选 B. (12)如图 ， 在正 方形 ABCD 中 ， E 为 AB 的中点 ， P 为以 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧 DB 上3 的任意一点 ， 设向量 AC DE AP ， 则 的取值范围为 (C) (A) 1， 5 (B)? ?12， 2 (C)? ?12， 5 (D)? ? 1， 12 【解析】以 A 为原点 ， AB 为 x 轴正方向 ， AD 为 y 轴正方向 ， 建立直角坐标系 设 AB 1， P(cos ， sin )， ? ?0， 2 ， 则 AC (1， 1)， DE ? ?12， 1 ，

7、 AP (cos ， sin )， 由题意得?1 12 cos ，1 sin ，解得 32cos sin . 又 sin 1， 所以 ( sin 1) 1 3（ 1 sin ）2cos sin 1， ?0， 2 . 设 y 1 sin 2cos sin ， 则 y 2 2sin cos （ 2cos sin ） 20. 所以 y 1 sin 2cos sin 在 ? ?0， 2 上递增所以： ? ?12， 5 ， 选 C. 第 卷 二、填空题：本题共 4 小题 ， 每小题 5 分 (13)若 (ax x)5的展开式中 x4项的系数为 80， 则实数 a _2_ (14)已知实数 x， y 满足

8、约束条件?x 3y 30 ，x y 30 ，x 0，则 2x y 的取值范 围为 _ 1， 6_ (15)已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点 分别为 F1， F2， O 为坐标原点 ， 点P 是双曲线在第一象限内的点 ， 直线 PO， PF2分别交双曲线 C 的左、右支于另一点 M， N， 若|PF1| 2|PF2|， 且 MF 2N 120， 则双曲线的离心率为 _ 7_ 【解析】由题意 ， |PF1| 2|PF2|， 由双曲线的定义可得 ， |PF1| |PF2| 2a， 所以 |PF1| 4a， |PF2| 2a， 由四边形 PF1MF2为平行四边形 ，

9、又 MF 2N 120 ， 可得 F 1PF2 120 ， 在三角形 PF1F2中 ， 由余弦定理可得 4c2 16a2 4a2 24 a2a cos 120 ， 即有 4c2 20a2 8a2， 即 c2 7a2， 可得 c 7a， 即 e 7. (16)已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上 ， 且 AB AC 5， BC 8， AD 底面ABC， 若 G为 ABC 的重心 ， 直线 DG与底面 ABC所成角的正切值为 12， 则球 O的表面积为 _63494 _ 【解析】由题意可知 ， AG 2， AD 1， cos BAC 25 25 64255 725， sin BAC

10、 2425， ABC 外接圆的直径为 2r 82425 253 ， 设球 O 的半径为 R， R 62536 14 63436 . 球 O 的表面积为 6349 ， 故答案为 6349 . 三、解答题：本题共 6 个小题 ， 满分 70 分 (17)(本小题满分 10 分 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 满足 2cos B2a bc . () 求角 C 的大小； () 若 ABC 的面积为 S 38 c， 求 ab 的最小值 【解析】 () 由 2cos B 2a bc 得 ， 2 a2 c2 b22ac 2a bc ， 即 a2 b2 c2 ab，

11、则 cos C a2 b2 c22ab 12， 故 C23 . () 由 ABC 的面积为 S 38 c 12absin C 34 ab， 得 c 2ab， 将其代入 a2 b2 c2 ab 得 ， a2 b2 4a2b2 ab， 则 4a2b2 ab a2 b2 2ab， 所以 ab 34， 当且仅当 a b 32 ， c 32时 ， ab 取最小值 34. (18)(本小题满分 12 分 ) 如图 ， 几何体 P ABCD 中 ， 底面 ABCD 为直角梯形 ， 侧面 PAD 为等边三角形 ， 且 CDAB ， DAB 90， CD DA 13AB 1， PB 10. () 求证：面 PA

12、D 面 ABCD； () 求二面角 A PB C 的平面角的余弦值 【解析】 () 由于 PA 1， AB 3， PB 10， 则 PB2 PA2 AB2， 则 BAPA ， 又 DAB 90 ， 则 BADA ， 故 BA 面 PAD， 又 BA? 面 ABCD， 则面 PAD 面 ABCD. () 取 O 为 AD 中点 ， 建立如图所示空间直角坐标系 O xyz.取 E 为 PA 中 点 ， 5 易知 ED ? ? 34， 0， 34 为面 PAB 的法向量； 再令 n (x， y， 1)为面 PBC 的法向量 ， 由于 CB (1， 2， 0)， BP ? ? 12， 3， 32 ，

13、由?n CB 0，n BP 0，得?x 2y 0， 12x 3y 32 0， 解得 x32 ， y34 ， 则 n ? ? 32 ， 34 ， 1 ， 而显然二面角 A PB C 为 锐二面角 (直接由 CH 与 DE 平行且相等知点 H 在 PAB 的内部 )， 故所求余弦值为 | |cos n， ED ?n ED| |n | |ED 3131 . (19)(本 小题满分 12 分 )近几年来我国电子商务行业发展迅猛 ， 2016 年元旦期间 ， 某购物平台的销售业绩高达 918 亿人民币 ， 与此同时 ， 相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系 ， 现从评价系统中选出 200 次

14、成功交易 ， 并对其评价进行统计 ， 对商品的好评率为 0.6， 对服务的好评率为 0.75， 其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 () 完成商品和服务评价的 22 列联表 ， 并说明是否可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下 ， 认为商品好评与服务好评有关？ () 若将频率视为概率 ， 某人在该购物平台上进行的 5 次购物中 ， 设对商品和 服务全好评的次数为随机变量 X. (i)求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列 (概率用组合数算式表示 )； (ii)求 X 的数学期望和方差 参考数据及公式如下： P(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0

15、.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (K2 n（ ad bc）2（ a b）（ c d）（ a c）（ b d） ， 其中 n a b c d) 【解析】 () 由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 得 K2 200（ 8010 4070 ）2150 50 120 80 11.111 10.828， 可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下 ， 认为商品好评与服务好评有关 ()( i)

16、每次购物时 ， 对商品和服务全好评的概率为 0.4， 且 X 的取值可以是 0， 1， 2， 3，4， 5， X B(5， 0.4) P(X 0) 0.65； P(X 1) C15 0.4 0.64； P(X 2) C25 0.42 0.63； P(X 3) C35 0.43 0.62； P(X 4) C45 0.44 0.6； P(X 5) 0.45， X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.65 C15 0.4 0.64 C25 0.42 0.63 C35 0.43 0.62 C45 0.44 0.6 0.45 (ii)由于 X B? ?5， 25 ， 则 EX 50.4 2， DX 50.40.6 1.2. (20)(本小题满分 12 分 )已知等差数列 an 满足： a2 4， a5 2a3 2 0. () 求 a