湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题（一）[理科]（含答案解析，word版）.doc

1、 1 湖南省师大附中 2019 届高三数学上学期月考试题（一）理（含解析） 时量： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每小题的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 1 设复数 z x yi， 其中 x， y 是实数 ， i 是虚数单位 ， 若 y1 i x i， 则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 (D) A 第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限 【解析】由已知 ， y (1 i)(x i) x 1 (1 x)i， 则 y x 1， 且 1 x 0， 即 x1， y 2. 所以 z x yi

2、1 2i， 所对应的点 (1， 2)位于第四象限 ， 选 D. 2 已知向量 a 与 b 的夹角是 3 ， 且 |a| 1， |b| 4， 若 (3a b)a ， 则实数 的值为 (B) A.32 B 32 C.23 D 23 【解析】由已知 ， (3a b) a 0， 即 3a2 b a 0， 所以 3 2 0， 即 32，选 B. 3 下列说法中正确的是 (C) A 若样本数据 x1， x2，?， xn 的平均数为 5， 则样本数据 2x1 1， 2x2 1，?， 2xn 1的平均数为 10 B 用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加某项活动 ， 若抽取的学号为 5， 16， 27，

3、38， 49， 则该班学生人数可能为 60 C 某种圆环形零件的外径服从正态分布 N(4， 0.25)(单位： cm)， 质检员从某批零件中随机抽取一个 ， 测得其外径为 5.6 cm， 则这批零件不合格 D 对某样本通 过独立性检验，得知有 95%的把握 认为吸烟与患肺病有关系 ， 则在该样本吸烟的人群中有 95%的人可能患肺病 【解析】对于 A， 若 x1， x2， ? ， xn的平均数为 5， 则 2x1 1， 2x2 1， ? ， 2xn 1 的平均数为 25 1 11， 所以说法错误； 对于 B， 由抽取的号码可知样本间隔为 11， 则对应的人数为 115 55 人若该班学生人数为

4、60， 则样本间隔为 605 12， 所以说法错误 对于 C， 因为 4， ? 0.5， 则 (u 3? ， u 3? ) (2.5， 5.5)， 因为 5.6 (2.5，5.5)， 则这批零件不合格 ， 所以说法正确 对于 D， 有 95%的把握认 为吸烟与患肺病有关系 ， 是指对该样本所得结论： “ 吸烟与患肺病有关系 ” 有 95%的正确性 ， 所以说法错误选 C. 4 已知 ? ?2x2 1xn(n N*)的展开式中各项的二项 式系数之和为 128， 则其展开式中含 1x项的系数是 (A) A 84 B 84 C 24 D 24 【解析】由已知 ， 2n 128， 得 n 7， 所以

5、Tr 1 Cr7(2x2)7 r? ? 1xr ( 1)r 27 rCr7x14 3r. 2 令 14 3r 1， 得 r 5， 所以展开式中含 1x项的系数为 ( 1)527 5C57 84， 选 A. 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ， 且 f(x)在 R 上单调递增 ，若 a， b， c 成等差数列 ， 且 b 0， 则下列结论正确的是 (A) A f(b) 0， 且 f(a) f(c) 0 B f(b) 0， 且 f(a) f(c) 0 C f(b) 0， 且 f(a) f(c) 0 D f(b) 0， 且 f(a) f(c) 0 【解析】由已知 ， f(b) f(0)

6、 0.因为 a c 2b 0， 则 a c， 从而 f(a) f( c) f(c)， 即 f(a) f(c) 0， 选 A. 6 设 x 为区间 2， 2内的均匀随机数 ， 则计算机执行下列程序后 ， 输出 的 y 值落在区间 ? ?12， 3 内的概率为 (C) A.34 B.58 C.12 D.38 【解析】因为当 x 2， 0时 ， y 2x ? ?14， 1 ； 当 x(0 ， 2时 ， y 2x 1(1 ， 5 所以当 y ? ?12， 3 时 ， x 1， 1， 其区间长度为 2， 所求的概率 P 24 12， 选 C. 7 已知函数 f(x) sin 2x 2sin2x 1， 给

7、出下列四个结论： (B) 函数 f(x)的最小正周期是 2 ； 函数 f(x)在区间 ? ? 8 ， 58 上是减函数； 函数 f(x)的图象关于直线 x 8 对称； 函数 f(x)的图象可由函数 y 2sin 2x 的图象向左平移 4 个单位得到其中正确结论的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 【解析】 f(x) sin 2x cos 2x 2sin? ?2x 4 . 因为 2， 则 f(x)的最小正周期 T ， 结论错误 当 x ? ? 8 ， 58 时 ， 2x 4 ? ? 2 ， 32 ， 则 f(x)在区间 ? ? 8 ， 58 上是减函数 ， 结论正确 因为 f? ? 8 2为

8、 f(x)的最大值 ， 则 f(x)的图象关于直线 x 8 对称 ， 结论正确 3 设 g(x) 2sin 2x， 则 g? ?x 4 2sin 2? ?x 4 2sin? ?2x 2 2cos 2xf(x)， 结论错误 ， 选 B. 8.已知命题 p：若 a 2 且 b 2， 则 a b ab；命题 q： x0， 使 (x 1)2 x 1， 则下列命题中为真命题的是 (A) A p q B (綈 p) q C p (綈 q) D (綈 p)( 綈 q) 【解析】若 a 2 且 b 2， 则 1a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为坐标原点 ， 若双曲线上存在点 M 满足 |

9、MF1| 2|MO| 2|MF2|， 则双曲线的离心率为 (C) A 6 B 3 C. 6 D. 3 【解析】过点 M 作 x 轴的垂线 ， 垂足为 A， 因为 |MO| |MF2|， 则 A 为 OF2的中点 ， 所以|AF2| c2， |AF1| 3c2.设 |MF2| m， 则 |MF1| 2m.在 Rt MAF1中 ， |MA|2 4m2 94c2. 在 Rt MAF2中 ， |MA|2 m2 c24， 则 4m2 94c2 m2 c24， 即 3m2 2c2. 因为 |MF1| |MF2| 2a， 则 m 2a， 所以 3(2 a)2 2c2， 即 c2 6a2， 所以 e ca 6

10、， 选C. 12 对于给定的正整数 n， 设集合 Xn 1， 2， 3，?， n， A Xn， 且 A 记 I(A)为集合 A 中的最大元素 ， 当 A 取遍 Xn的所有非空子集时 ， 对应的所有 I(A)的和记为 S(n)，则 S(2 018) (D) A 2 018 22 018 1 B 2 018 22 017 1 C 2 017 22 017 1 D 2 017 22 018 1 【解析】对于集合 Xn， 满足 I(A) 1 的集合 A 只有 1 个 ， 即 1；满足 I(A) 2 的集合 A有 2 个 ， 即 2， 1， 2；满足 I(A) 3 的集合 A 有 4 个 ， 即 3，

11、1， 3， 2， 3， 1， 2，3； ? ； 满足 I(A) n 的集合 A 有 2n 1个 ， 所以 S(n) 1 22 32 2 ? n2 n 1. 由错位相减法 ， 得 S(n) (n 1)2n 1， 所以 S(2 018) 2 0172 2 018 1， 选 D. 二、填空题 ， 本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 13 已知 cos? ? 3 13， 则 sin? ?2 6 _ 79_ 【解析】 sin? ?2 6 sin? ?2? ? 3 2 cos 2? ? 3 2cos2? ? 3 1 79. 14如图 ， 在 ABC 中 ， AD 13DC ， P 是

12、线段 BD 上一点 ， 若 AP mAB 16AC ， 则实数 m 的值为 _13_ 【解析】因为 AD 13DC ， 则 AC 4AD ， 所以 AP mAB 23AD . 因为 B， P， D 三点共线 ， 则 m 23 1， 所以 m 13. 15 已知函数 f(x) |2x 1| a， 若存在实数 x1， x2(x1 x2)， 使得 f(x1) f(x2) 1，则 a 的取值范围是 _(1， 2)_ 【解析】令 f(x) 1， 则 |2x 1| a 1.据题意 ， 直线 y a 1 与函数 y |2x 1|的图象两个不同的交点 ， 由图可知 ， 0 a 1 1， 即 1 a 2. 16

13、 设数列 an的前 n 项和为 Sn， 已知 a1 1， 且 Sn 4 ? ?1 2n an(n N*)， 则数列 an的通项公式是 an _ n2n 1_ 【解析】当 n2 时 ， an Sn Sn 1 ? ?1 2n 1 an 1 ? ?1 2n an， 则 ? ?2 2n an ? ?1 2n 1 an 1， 5 即 ann an 12（ n 1） ， 所以数列 ann是 首项为 1， 公比为 12的等比数列 ， 则 ann ? ?12n 1， 即an n2n 1. 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题 ， 每个试题考生都必须作答第 2

14、2， 23 题为选考题 ， 考生根据要求作答 (一 )必考题： 60 分 17 (本小题满分 12 分 ) 如图 ， 在平面四边形 ABCD 中 ， AB 4， AD 2， BAD 60， BCD 120 . (1)若 BC 2 2， 求 CBD 的大小； (2)设 BCD 的面积为 S， 求 S 的取值范围 【解析】 (1)在 ABD 中 ， 因为 AB 4， AD 2， BAD 60 ， 则 BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD 16 4 242 12 12， 所以 BD 2 3.(3 分 ) 在 BCD 中 ， 因为 BCD 120 ， BC 2 2， BD 2 3， 由

15、 BCsin CDB BDsin BCD， 得 sin CDB BCsin BCDBD 2 2sin 1202 3 22 ， 则 CDB 45 .(5 分 ) 所以 CBD 60 CDB 15 .(6 分 ) (2)设 CBD ， 则 CDB 60 . 在 BCD 中 ， 因为 BCsin（ 60 ） BDsin 120 4， 则 BC 4sin(60 ) (8 分 ) 所以 S 12BD BC sin CBD 4 3sin(60 )sin 4 3? ?32 cos 12sin sin 3sin 2 2 3sin2 3sin 2 3(1 cos 2 ) 3sin 2 3cos 2 3 2 3sin(2 30 ) 3.(11 分 ) 因为 0 60 ， 则 30 2 30 150 ， 12b0)的一个焦点与抛物线 y2 4 3x 的焦点重合 ， 且直线 y bax 与圆 x2 y2 10x 20 0 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设斜率为 k 且不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点 ， O 为坐标原点 ， 直线 OA，OB 的斜率分别为 k1， k2， 若 k1， k， k2成等比数列 ， 推断 |OA|2 |OB|2是否为定值？若是 ， 求出此定值；若不是 ， 说明理由