最新-线性空间及线性变换-课件.ppt
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1、第六章第六章 线性空间及线性变换线性空间及线性变换一、基本概念和重要结果一、基本概念和重要结果 1.空间的直和空间的直和 我们用我们用W=V1+V2记子空间记子空间V1与与V2的和的和,用用W=V1V2记记W是是V1与与V2的直和的直和.(1)W=V1V2当且仅当当且仅当W=V1+V2,对任意的对任意的 有有 ,其中其中 ,i=1,2,且表示法是唯一的且表示法是唯一的.W21iiV (2)W=V1V2当且仅当当且仅当W=V1+V2且零向量的表示且零向量的表示法是唯一的法是唯一的.(3)W=V1V2当且仅当当且仅当W=V1+V2且且V1V2=0.(4)W=V1V2当且仅当当且仅当W=V1+V2且
2、且W的维数的维数=V1的的维数维数+V2的维数的维数.(5)若若 是线性空间是线性空间V的一组基的一组基,则则其中其中 表示由表示由 生成生成的子空间的子空间.n,21),(),(2121nrrrLLV),(21rLr,21 (6)若若W=V1+V2且且V1与与V2正交正交,则则W=V1V2.上面的结论可推广到多个子空间的情况上面的结论可推广到多个子空间的情况.(7)设线性变换设线性变换/A的特征多项式为的特征多项式为:则则V可分解为可分解为A的不变子空间的直和的不变子空间的直和V=V1 V2Vs,其中其中:是是A属于属于 的根子空间的根子空间.srsrrf)()()()(2121,0)(|V
3、XXAIXViriii 2.子空间的性质子空间的性质 我们用我们用dimV表示线性空间表示线性空间V的维数的维数.(1)设设V1和和V2是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,则则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2).(2)设设V1,V2,Vm是线性空间是线性空间V的真子空间的真子空间,则必存则必存在在 ,使使 ,VmiVi1,(3)设设V1=L(u1,u2,um),v1,v2,vr是是V1中的中的r个线性个线性无关的向量无关的向量,且且r0,且且 的首项系数为的首项系数为1.).)(f)()(hfk)(h 若若 =1,那么那么 ,于是于是f(A)=An=0,知知
4、A必为必为幂零矩阵幂零矩阵,导致矛盾导致矛盾.可见可见 ,于是将于是将 分解分解为一次因式的乘积为一次因式的乘积,可得可得A的所有的初等因子的所有的初等因子,将将A的的所有的对应于特征值零的所有的对应于特征值零的Jordan块组成块对角矩阵块组成块对角矩阵B,显然显然B是个幂零矩阵是个幂零矩阵,而将而将A的所有的对应于非零特的所有的对应于非零特征值的征值的Jordan块组成对角矩阵块组成对角矩阵C,由于上三角阵由于上三角阵C)(hnf)(1)(h)(h 显然显然J为为A的的Jordan标准形那么存在可逆矩阵标准形那么存在可逆矩阵P,使使得得:的主对角线上没有零元的主对角线上没有零元,显然显然C
5、可逆可逆,令令CBJ00CBJAPP001 例例6.3.3(浙江大学浙江大学,2019年年)设设V=Pnn是是P上的线性上的线性空间空间.取定取定A,B,C,DPnn,对任意对任意XPnn,令令 (X)=AXB+CX+XD.求证求证:(1)是是V的线性变换的线性变换.(2)当当C=D=0,可逆的充要条件是可逆的充要条件是|AB|0.(2)充分性充分性 证明证明:(1)显然有显然有 (X)V,知知 是是V上的线性变换上的线性变换,下面证明它必是线性的下面证明它必是线性的.有PkVYX,)()()()()()()()(YXYDCYAYBXDCXAXBDYXYXCBYXAYX)()()()()()(
6、XkXDCXAXBkDkXkXCBkXAkX 即即 为为V上的线性变换上的线性变换.若若|AB|0,那么有那么有|A|0且且|B|0,则矩阵则矩阵A,B都可逆都可逆.若若令令Y=AXB,那么有那么有X=A-1YB-1,于是可令于是可令 -1(X)=A-1XB-1,易验证易验证 ,即有即有 可可逆逆.I11 特别地特别地,取取Y=In代入代入(I)式并在两边取行列式有式并在两边取行列式有|AXB|=10,显然可得显然可得|AB|0.证明证明:必要性必要性.必要性必要性:若若 可逆可逆,那么显然有那么显然有 为为V上的双射上的双射,且且是满射是满射,那么任取那么任取YV,存在存在XV使得使得AXB
7、=Y (I)例例6.3.4(华中科技大学华中科技大学,2019年年)设设 是数域是数域P上的上的n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换,W1,W2是是V的子空间的子空间,并且并且V=W1W2,证明证明:有逆变换的充分必要条件是有逆变换的充分必要条件是:)()(21WWV 若若 有逆变换有逆变换,那么那么 是个是个V上的双射上的双射,显然也是显然也是V上的同构变换上的同构变换,注意到同构变换不改变向量组的线注意到同构变换不改变向量组的线性相关性那么显然有性相关性那么显然有:2211dim)(dim,dim)(dimWWWW .即有即有 ,由由 是个单射是个单射知知 ,即有即有 ,由由V是是
8、W1与与W2的的直和知直和知 .即有即有 ,知知 ,于是比较维数有于是比较维数有:而若而若 ,那么存在那么存在 使得使得:)()(21WW2211,WW)()(210)(210212121WW 02100)()(21WW).()(21WWV 也即有也即有:).()(21WWV 充分性充分性:若若 且且V=W1W2,下面证下面证明明 必可逆必可逆.)()(21WWV 由由V=W1W2,不妨设不妨设dimW1=r,取取W1的一组基的一组基 和和W2的一组基的一组基 合合起来构成起来构成V的一组基的一组基.若一个空间中的一组向量线性若一个空间中的一组向量线性相关相关,那么这组向量在那么这组向量在 下
9、的象也必线性相关下的象也必线性相关,那么那么显然有显然有 .若若 或或 ,将导致将导致 的的矛盾矛盾,于是必有于是必有 .r,21nrr,212211dim)(dim,dim)(dimWWWW11dim)(dimWW22dim)(dimWW)(dim)(dimdim21WWV2211dim)(dim,dim)(dimWWWW 例例6.3.5(武汉大学武汉大学,2019年年)设设V1和和V2是向量空间是向量空间V的子空间的子空间,且且V=V1V2(即即V是是V1与与V2的直和的直和),若定义若定义映射:映射:注意到注意到 张成了空间张成了空间 ,由由 知知 必线必线性无关性无关,那么就构成了那么
10、就构成了 的一个基的一个基.同理同理 构成了构成了 的一个基的一个基,由由V=W1W2 知这两组基合起来就构成了知这两组基合起来就构成了V的一组基的一组基,于是取于是取V上的变换上的变换 如下如下:将将V上的基上的基 依次映射到基依次映射到基)(,),(),(21r)(1WrWW11dim)(dim)(,),(),(21r)(1W)(2W)(,),(),(21nrr11)(,),(),(21n.,21n 显然易验证显然易验证 .VI11 即有即有 是是 的逆变换的逆变换.1,:221122121211VVVff其中 证明证明:(1)f1,f2是是V的线性变换的线性变换.(2)f12=f1,f2
11、2=f2.(3)f1f2=f2f1=0(零变换零变换),f1+f2=idV(V的恒等变换的恒等变换).知知f1,f2都是都是V的线性变换的线性变换.证明证明:(1)对对 V和常数和常数k有有:,)()()()()()()()()()(2221112222211111kfkkfkfkkfffffff即知即知f12=f1,f22=f2.即有即有:f1f2=f2f1=0,f1+f2=idV.(2),有:有:21,V22222221112111)()(,)()()(,)(ffffff (3),有:有:21,V0)()(,0)()(12122121ffffff且有:且有:212121)()()(ffff
12、 下面证这个线性变换是唯一的下面证这个线性变换是唯一的.可见有可见有S=T,即得唯一性即得唯一性.例例6.3.6(重庆大学重庆大学,2019年年)设设e1,e2,en是是n维线性维线性空间空间Vn的一组基的一组基,对任意对任意n个向量个向量 ,证明证明:存在唯一的线性变换存在唯一的线性变换T使得使得 .nnV,21nieTii,2,1,)(证明证明:显然显然 ,由于由于e1,e2,en是它的一组基是它的一组基,那么那么 可写为可写为 =l1e1+l2e2+lnen (I)nV 作作Vn上的线性变换上的线性变换T为为 ,那么那么显然有显然有T()=l1T(e1)+l2T(e2)+lnT(en)n
13、ieTii,2,1,)(:2211nnlll 若还有一个线性变换若还有一个线性变换S满足满足 ,那那么对于么对于(I)中任取的中任取的 有有S()=l1S(e1)+l2S(e2)+lnS(en)nieSii,2,1,)()(2211Tlllnn 例例6.3.7(重庆大学重庆大学,2019年年)已知全体实的已知全体实的2维向量维向量关于下列运算构成关于下列运算构成R上的线性空间上的线性空间V:(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2);k(a,b)=(ka,kb+k(k-1)/2a2)(1)求求V的一组基的一组基.(2)定义变换定义变换/A(a,b)=(a,a+b),证
14、明证明:/A是一个线性变换是一个线性变换,并求并求/A在在V的一组基下的矩阵表示的一组基下的矩阵表示.解解:(1)显然显然dimV=2,那么只要找到那么只要找到V中的两个线性中的两个线性无关的向量即可组成无关的向量即可组成V的一组基的一组基,考查考查V中的两个向中的两个向量量:e1=(1,0),e2=(0,1).下面证明它们是线性无关的下面证明它们是线性无关的,令它们的线性组合为令它们的线性组合为零零,有有:k1(1,0)+k2(0,1)=(0,0).于是有于是有:(k1,k1(k1-1)/2+k2)=(0,0).即有即有e1,e2线性无关线性无关,并并组成组成V的一组基的一组基.(2)任取任
15、取(a,b),(c,d)V,kR,有有/A(a,b)+(c,d)=/A(a+c,b+d+ac)=(a+c,a+b+c+d+ac),/A(a,b)+/A(c,d)=(a,a+b)+(c,c+d)=(a+c,a+b+c+d+ac)即知即知/A(a,b)+(c,d)=/A(a,b)+/A(c,d).那么有那么有:02)1(02111kkkk 易推得易推得:0021kk 而而)2)1(,(),(),(/)2)1(,()2)1(,(/),(/222akkkbkakabaakbaAkakkkbkakaakkkbkaAbakA 显然有显然有:/A(k(a,b)=k/A(a,b).即知即知/A是个线性变换是个
16、线性变换.由由(1)知知e1,e2是是V的一组基的一组基,下面求线性变换下面求线性变换/A在这在这组基下的矩阵表示组基下的矩阵表示.由由/A(e1)=/A(1,0)=(1,1),不妨设不妨设(1,1)=l1e1+l2e2 解得解得:l1=l2=1.而显然而显然:/A(e2)=/A(0,1)=(0,1)=1(0,1),那么可得那么可得)2)1(,()1,1(2111llll 于是有于是有:1101),(),(/2121eeeeA 即即为为/A在基在基e1,e2下的矩阵表示下的矩阵表示.1101 例例6.3.8(北京科技大学北京科技大学,2019年年)如果如果 都是幂都是幂等等 的线性变换的线性变
17、换.证明证明:(1)如果如果 ,则则 也是幂等变换也是幂等变换.(2)如果如果 是幂等变换是幂等变换,则则 .,),(220 证明证明:(1)若若 ,那么那么43222)()(2222222 即即 也是幂等变换也是幂等变换.(2)(大连理工大学大连理工大学,2019年考过年考过)如果如果 是幂等变换,则是幂等变换,则 .2)(设全空间为设全空间为V,且不妨设且不妨设 为为 的某个特征值的某个特征值,且且对应于这个特征值的一个特征向量对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量是非零向量)为为 ,那么由那么由 ,有有 .2)()(2 也即有也即有 ,于是于是 ,那么那么 或或 .0)(20201
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