高等代数考研复习[线性变换]描述课件.ppt
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- 线性变换 高等 代数 考研 复习 描述 课件
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1、高等代数考研复习高等代数考研复习 第七章第七章 线性变换线性变换 201 2013 3年年 8 8月月 第七章第七章 线性变换线性变换线性变换是线性空间上的线性映射,反映线性变换是线性空间上的线性映射,反映了线性空间中元素之间的一种最基本的联了线性空间中元素之间的一种最基本的联系,它是线性系,它是线性函数函数的推广的推广.本章主要内容分三部分:本章主要内容分三部分:1)1)线性变换的概念、运算与线性变换的线性变换的概念、运算与线性变换的矩阵矩阵 2)2)特征值特征向量与矩阵的相似对角化特征值特征向量与矩阵的相似对角化 3)3)值域、核与不变子空间值域、核与不变子空间1 1、线性变换概念、运算与
2、线性变换矩阵、线性变换概念、运算与线性变换矩阵1.1 1.1 线性变换定义:设线性变换定义:设V V是数域是数域P P上的线性空间,上的线性空间,A A是是V V上的一个变换上的一个变换.如果对于任意的如果对于任意的,V,V,kkP P 都有都有 A A(+)=A A()+A+A(),A A(k)=kA A(),则称则称A A为空间为空间V V上上的一个线性变换的一个线性变换.说明说明:(1):(1)如果对任意的如果对任意的 V V,A A()=0 0,则称则称A A为为零变换零变换.(2 2)如果对任意的)如果对任意的 V V,A A()=,则称则称A A为为V V的的恒等变换(也叫单位变换
3、)恒等变换(也叫单位变换).(3 3)A A是是V V的线性变换的充分必要条件是:的线性变换的充分必要条件是:()()(),.klklV k lP AAAAA A1.2 1.2 线性变换性质:线性变换性质:设设V V是数域是数域P P上的线性空间,上的线性空间,AA是是V V的线性变的线性变换,则有换,则有 (1)(1)(0)0,()();AAAAAA1122111122()()()()();sssskkkkkkkA AAAAAAAAA(2)2)(3)(3)线性变换将线性相关的向量组变成线性相线性变换将线性相关的向量组变成线性相关的向量组关的向量组.1.3 1.3 线性变换的运算线性变换的运算
4、 设设V V是数域是数域P P上的线性空间,上的线性空间,是是V V上的线上的线性变换性变换.1)1)线性运算线性运算A ,BA ,B把线性变换的加法与数乘运算统称为线性变换的把线性变换的加法与数乘运算统称为线性变换的线性运算线性运算.a)a)加法运算加法运算定义定义 ()()()(),VA +BAB A +BAB 则称则称 仍是仍是V V的线性变换,并称它为的线性变换,并称它为与与 的和的和.b)b)数乘运算数乘运算A +BA +BA A B B定义定义则称则称 仍是仍是V V的线性变换,并称它为数乘线性的线性变换,并称它为数乘线性变换变换.说明:线性空间说明:线性空间V V上的所有线性变换
5、对于线性上的所有线性变换对于线性变换的加法与数乘变换构成变换的加法与数乘变换构成P P上的线性空间上的线性空间,记记为为L(V).L(V).即对即对 ()()(),.kkV kPAAAAkA A,()(),().L VL VkL VABA+BAABA+BA令令 是是n n维空间维空间V V的基,对任意的的基,对任意的12,n(),n nL VAP A A 使得使得1212,(),()nn A A并且并且12,nAB A +BA +B12,.nkkA A A 故L(V)与 同构.因此,n nP2dim().L Vn2 2)线性变换的乘法运算线性变换的乘法运算乘法运算的定义乘法运算的定义:设为:设
6、为 线性空间线性空间V V的线的线性变换,定义性变换,定义A ,BA ,B()()(),VA BAB A BAB 则称则称 是是V的线性变换,并称它为的线性变换,并称它为 与与的乘积的乘积.说明:变换乘积满足结合律,乘法对加法的分说明:变换乘积满足结合律,乘法对加法的分配率,数乘结合律配率,数乘结合律.但是不满足交换律但是不满足交换律.A B A B A A B B线性变换的方幂与多项式变换:线性变换的方幂与多项式变换:n个线性变换个线性变换 的乘积称为的乘积称为 的的n次幂,记为次幂,记为 即即规定:规定:当当 可逆时,规定可逆时,规定一般地,一般地,但是但是A A A A nA A nA
7、A=A A A A A A.0A=E.A=E.A A 1()nnA A=A A.A BB A,A BB A,()()()().fggfABBAABBA3)3)逆变换逆变换 逆变换的定义:设逆变换的定义:设 是线性空间是线性空间V V上的线性上的线性变换,如果存在变换,如果存在V V上的线性变换上的线性变换 ,使得,使得 A A B BA A B B=B B A A=E E,其中其中 是恒等变换,则称是恒等变换,则称 是可逆的,并称是可逆的,并称是是 的逆变换,记为的逆变换,记为 .逆变换的性质:逆变换的性质:()逆变换也是可逆的线性变逆变换也是可逆的线性变换,且换,且E EA A B BA A
8、 1A A 11().A AA A()线性变换线性变换 可逆可逆 是是 是双射是双射.4)线性变换的矩阵线性变换的矩阵()两个线性变换相等两个线性变换相等 如果线性空间如果线性空间V的线性变换的线性变换 与与 在在V的基的基 上的作用相同,即上的作用相同,即则则()V上线性变换确定定理:上线性变换确定定理:A A A A A A B B12,n()()(1,2,),iiinA BA BA =B.A =B.设设 是线性空间是线性空间V的一组基,的一组基,是是V中任一一组向量,则在中任一一组向量,则在V上一定存在一个线上一定存在一个线性变换性变换 使得使得确定线性变换确定线性变换 的方法:任取的方
9、法:任取 则则 定义定义那么那么 就是就是V上满足条件的线性变换上满足条件的线性变换.12,n 12,n A A ()(1,2,).iiinA A A A ,V1122nnkkk1122()nnxxxA+A+A A ()线性变换的矩阵线性变换的矩阵 设设 是是n维空间维空间V的一组基,的一组基,是是V的线性变换,如果基的像可以被基线性表出,的线性变换,如果基的像可以被基线性表出,即即 用矩阵表示就是用矩阵表示就是12,n A A 11112121212122221122()()()nnnnnnnnnnaaaaaaaaaA+A+A+A+A+A+121212()(),(),()().nnnA AA
10、 A A AA A A 称为线性变换称为线性变换 在基在基 下的矩阵下的矩阵.()线性变换的运算与矩阵运算的关系:线性变换的运算与矩阵运算的关系:在线性空间在线性空间V中取定一组基后,中取定一组基后,V上的线性上的线性变换与它在这组基下的矩阵之间是变换与它在这组基下的矩阵之间是1-1对应的对应的.因此线性变换的运算对应矩阵的运算,反之,因此线性变换的运算对应矩阵的运算,反之,矩阵的运算对应线性变换的运算矩阵的运算对应线性变换的运算.即即A A 12,n 设线性变换设线性变换 与与 在基在基 下的矩阵分下的矩阵分别为别为A和和B,则则 a)b)c)d)可逆可逆 A可逆,且可逆,且A A B B1
11、2,n 1212()()(,)();,nnAB A A B1212()(,;,)nnkkA A A 1212()(,;,),nnAB A B A B A A 111212()().,nnA A=A=()()同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系:同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系:设设 与与 是线性空间是线性空间V V的两的两组基,且组基,且如果如果则则反之,相似矩阵可看作同一线性变换在两组不反之,相似矩阵可看作同一线性变换在两组不同基下的矩阵同基下的矩阵.12,n 12,n 1212(,)(,).nnX 1212()(,)nnA A A1212()(),.nnB B1.BXAX题型分析题型分
12、析:(1)(1)判别线性变换的可逆性;判别线性变换的可逆性;(2)(2)确定线性空间上的线性变换;确定线性空间上的线性变换;(3)(3)求线性变换及其运算在基下的矩阵;求线性变换及其运算在基下的矩阵;例例1 1 在在 上定义线性变换上定义线性变换 分别为分别为 确定线性变换确定线性变换 问问 是否可逆,若是否可逆,若可逆求出逆可逆求出逆.3R,AB AB 123123121(,)(,),x x xxxx xx xA A 123321(,)(,).x x xx x xA A,.AA BAA BBA A 例例2 设设 是是V的基,的基,是是V的一个线性变的一个线性变换,证明:换,证明:可逆可逆 是
13、是 线性无线性无关关.例例3 设设 是是n维线性空间维线性空间V的线性变换,且的线性变换,且证明:证明:都是可逆的线性变换都是可逆的线性变换.例例4 在在 中求一个线性变换中求一个线性变换 ,使得,使得并求并求12,n A A A A 12,nA A AA A AA A 322,22AAAEAAAEE B=,AB AB 2RA A (1,2)(2,3),(0,1)(1,4).A AA A (3,4).A A例例5 设设P是数域,是数域,定义变换定义变换 :(1)证明证明:是线性空间是线性空间 的线性变换的线性变换;(2)求求 在基在基 下的矩阵下的矩阵.例例6 设设 中线性变换中线性变换 在基
14、在基下的矩阵为下的矩阵为 又又 在基在基下的矩阵为下的矩阵为 2 2221,()32,02APf xxxB B2 3()(),.Xf A X XPB BB B2 3PB B111213212223,EEEEEE2RA A 12(1,2),(2,1)12,23AB B12(1,1),(1,2)33,24B(1)求求 在基在基 下的矩阵;下的矩阵;(2)求求 在基在基 下的矩阵;下的矩阵;(3)若若 ,求,求 在基在基 下的坐标下的坐标.例例7 已知已知3维空间维空间V的基的基 和基和基又又V上的线性变换上的线性变换 满足满足A AB12,A A B B12,(3,3)A A12,123,1132
15、2313,A A 123122(),3A A 12323(2),2A A 123133)4(A.A.(1)求求 在基在基 下的矩阵下的矩阵.(2)求求 在基在基 下的坐标下的坐标.例例8 设设 是是P上上n维空间维空间V的线性变换,的线性变换,如果如果 证明:证明:是是V的一组基,并求的一组基,并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵.123,A A 1A A 123,A A .V1()0,()0.nnA AA A 1,(),()nA AA A A A 2 2、特征值、特征向量与相似对角化、特征值、特征向量与相似对角化2.1 2.1 线性变换的特征值与特征向量的线性变换的特征值与特征向量的定义定
16、义 设设 是数域是数域P P上线性空间上线性空间V V的一个线性变的一个线性变换,如果存在换,如果存在P P中的一个数中的一个数 和和V V中的非零元中的非零元素素 ,使得,使得则称则称 为为 的一个特征值,的一个特征值,是是 的属于的属于特征值特征值 的特征向量的特征向量.A A (),A A A A A A 由由 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量再添上零的全部特征向量再添上零向量构成的集合向量构成的集合 也是也是V的一个子空间,称为的一个子空间,称为 的的特征子空间特征子空间.2.2 2.2 线性变换的特征值特征向量与矩阵的特征线性变换的特征值特征向量与矩阵的特征值特征向量之间的值
17、特征向量之间的关系关系 设设 是数域是数域P P上上n n维空间维空间V V的一组基,的一组基,线性变换线性变换 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为A A,则,则 (1)A (1)A的特征值与的特征值与 的特征值相同;的特征值相同;A A (),|VV A A A A 12,n A A A A (2)(2)如果如果 是是A的属于的属于 的特征向的特征向量量,则则 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量.反之亦然,即反之亦然,即2.32.3 特征值特征向量的特征值特征向量的求法求法:有限维线性空间上求线性变换的特征值与特有限维线性空间上求线性变换的特征值与特征向量可转化为求线性变换在某组基下
18、所对应征向量可转化为求线性变换在某组基下所对应的的矩阵矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量.(1)(1)先求出先求出 在某组基下的矩阵在某组基下的矩阵A;A;12(,)nx xx012(,)n A A 000().A A AA A (2)由由 可求得可求得A的的n个特征向量个特征向量;(3)求齐次方程组求齐次方程组 的基础解系,得的基础解系,得属于属于 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量 ,则则属于属于 的线性变换的线性变换 的特征向量为的特征向量为2.4 2.4 特征值特征向量的特征值特征向量的性质性质 (1)(1)若若 则则 的特征的特征值分别为值分别为 并且除了并且除了 外其余
19、矩外其余矩|0,EA()0iEA Xi12(,)nx xxiA A 12(,).n (),A A 1*,()kA AAAf A1|,().kAf A阵的特征向量与阵的特征向量与A A的特征向量相同,的特征向量相同,与与A A的属于的属于不同特征值的特征向量正交不同特征值的特征向量正交.当当A A不可逆时,不可逆时,的的特征值为特征值为 与零与零(0(0为为n-1n-1重特征值重特征值).).(2)(2)矩阵矩阵A A属于不同特征值的特征向量线性无属于不同特征值的特征向量线性无关关.对称矩阵对称矩阵属于不同特征值的特征向量属于不同特征值的特征向量正交正交.属于不同特征值的不同特征向量组合到一起属
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