2022年数学九上《用待定系数法求二次函数的解析式》课件(新人教版).ppt

1、22.1.4 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的图象和性质第第2课时课时 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式R九年级上册九年级上册导入课题导入课题问题：如果一个二次函数的图象经过问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？三点，能求出这个二次函数的解析式吗？会用待定系数法求二次函数的解析式会用待定系数法求二次函数的解析式.学习目标学习目标思考思考 回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤求二次函数一般步骤求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的

2、关键是的解析式的关键是什么？什么？知识点1 我们知道，由两点两点的连线不与坐标轴平行我们知道，由两点两点的连线不与坐标轴平行的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？二次函数？探究探究 一个二次函数的图象过点一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函，求这个函数的解析式数的解析式.第一步第一步:设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步:代入点的坐标；代入点的坐标；第三步：解方程组。第三步：解方程组。解：解：设所求的二次函

3、数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由得：由得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个三个未知数，两个等量关系，这个方等量关系，这个方程组能解吗？程组能解吗？一个二次函数的图象过点一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式求这个函数的解析式.第一步第一步:设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步:代入点的坐标；代入点的坐标；第三步：解方程组。第三步：解方程组。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由得：由得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个三个未知数，三个等量关系，这个方等

4、量关系，这个方程组能解吗？程组能解吗？a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7?由由-可得：可得：2b=-6b=-3由由-可得：可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2将将a=2，b=-3代入代入可得：可得：2+3+c=10c=5解方程组得：解方程组得：a=2,b=-3,c=5 一个二次函数的图象过点一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式求这个函数的解析式.第一步第一步:设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步:代入点的坐标；代入点的坐标；第三步：解方程组。第三步：解方程组。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+

5、c.由得：由得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程组得：解方程组得：因此，所求二次函数是：因此，所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5.求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定的解析式，关键是求出待定系数系数a，b，c的值。的值。由条件如二次函数图像上三个点的坐标列出由条件如二次函数图像上三个点的坐标列出关于关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就可以写出，就可以写出二次函数的解析式。二次函数的解析式。归纳归纳任意两点的连任意两点的连线不与线不与y轴平行轴平行 一个二次函数的图象过点一个二次函数的图象过点A(

6、-1,0),B(4,5),C(0,-3).三点，三点，求这个函数的解析式求这个函数的解析式.第一步第一步:设出解析式的形式；设出解析式的形式；第二步第二步:代入点的坐标；代入点的坐标；第三步第三步:解方程组。解方程组。解：设所求抛物线的解析式为解：设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c.抛物线经过点抛物线经过点A(-1，0),B(4，5),C(0，-3).解得解得a1，b-2，c-3.抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx2-2x-3.01645 3.ab cab cc ，练习练习 图象顶点为图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标，那么

7、求解析式的关，如果顶点坐标，那么求解析式的关键是什么？键是什么？知识点2 抛物线顶点为抛物线顶点为(1,-4)，且又过点，且又过点(2,-3)，求其解析式，求其解析式.解：解：抛物线顶点为抛物线顶点为(1,-4)设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)2-4，又抛物线过点又抛物线过点(2,-3)，那么那么-3=a(2-1)2-4，那么，那么a=1.其解析式为其解析式为y=(x-1)2-4x2-2x-3.顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:第一步：设解析式为第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k.第二步：将点坐标代入求第二步：将点坐标代入求a值

8、得出解析式值得出解析式.归纳归纳知识点3 一个二次函数，当自变量一个二次函数，当自变量x0时，函数值时，函数值y-1，当，当x-2与与 时，时，y0，求这个二次函数的解析式，求这个二次函数的解析式.1212,0()1)(21ya xxxya，方方法法：的值.设设再再把把代代入入其其中中,求求出出yaxbxcxyxyabc 21012202，方方法法：，由“”，列方程组求出设设时时，与与 时时，的的值值.两种方法的结果一两种方法的结果一样吗？两种方法哪样吗？两种方法哪一个更简捷？一个更简捷？二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴交于轴交于A(1,0)，B(3,0)两点两点(两点

9、的纵坐标都为两点的纵坐标都为0)，与，与y轴交于点轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式求这个二次函数的解析式.解解:图象与图象与x轴交于轴交于A(1,0)，B(3,0)设函数解析式为设函数解析式为ya(x-1)(x-3)图象过点图象过点C(0,3)3=a(0-1)(0-3)，解得，解得a=1.二次函数解析式为二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：设出适宜的函数解析式；设出适宜的函数解析式；把条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或把条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组

10、；方程组；解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.知识点4 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴交于轴交于A(1，1)，B(3，1)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，求这个二次函数，求这个二次函数的解析式的解析式.方法方法1：设设y=a(x-1)(x-3)+1,把把C(0，3)代入其中求出代入其中求出a的值的值.方法方法2：设设y=ax2+bx+c，把把A(1，1)，B(3，1)，C(0，3)代入其中列方程组求代入其中列方程组求a，b，c的值的值.两种方法的结果两种方法的结果一样吗？哪种方一样吗？哪种方法更

11、简捷？法更简捷？二次函数的图象经过点二次函数的图象经过点(-1,3),(1,3),(2,6),求这个二次求这个二次函数的解析式函数的解析式.解：设其解析式为解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3,又又图象经过点图象经过点(2,6),6=a(2-1)(2+1)+3,解得解得a=1.二次函数解析式为二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2.根底稳固根底稳固1.如下图如下图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象顶的图象顶点为点为A(-2,-2),且过点且过点B(0,2),那么那么y与与x的函数关系式为的函数关系式为()A.y=x2+2

12、 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-22.抛物线抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过经过(1,2)和和(-1,-6)两点，那么两点，那么a+c=3.二次函数的图象经过点二次函数的图象经过点(4,-3),并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4,那么其那么其解析式为解析式为 .D-2y=-7(x-3)2+4.4.11,10,2()(),()1,1,(21,03,01,);()(),(),().5 已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式：222yxx 25154yx解：解：1选用一般式求解析式：选用一般式求解析式：2选用交点式求解析式：选用交点式求解析式

13、：根据条件选设函数解析式：根据条件选设函数解析式：用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：一般来说，有如下几种情况：抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；抛物线顶点坐标或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；抛物线顶点坐标或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；抛物线与抛物线与x x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式可求出对称抛物线上纵坐标相同

14、的两点，常选用顶点式可求出对称轴轴.综合应用综合应用5.如下图如下图,抛物线的对称轴是直线抛物线的对称轴是直线x=3,它与它与x轴交于轴交于A、B两点两点,与与y轴交于轴交于C点点,点点A、C的坐标分别是的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式求这个抛物线的解析式.解：由抛物线过解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为及对称轴为x=3,知抛物线一定过点知抛物线一定过点(-2,0).设这个抛物线的解析式为设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),抛物线过点抛物线过点(0,4),21(2)(8)4134.42yxxyxx 这个抛物线的解析式为即4=a(0+2)(0-8),1.4

15、a解解得得拓展延伸拓展延伸6.抛物线顶点抛物线顶点(1,16)，且抛物线与，且抛物线与x轴的两交点间的距离轴的两交点间的距离为为8，求其解析式，求其解析式.解解:由题意可知抛物线与由题意可知抛物线与x轴交点坐标为轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),设解析式为设解析式为y=a(x-5)(x+3),抛物线过点抛物线过点(1,16)16=a(1-5)(1+3),解得解得a=-1.抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.导入课题导入课题 如图，如图，O是六个正三角形的是六个正三角形的公共顶点，正六边形公共顶点，正六边形ABCDEF能能否看做是由某条线段绕否看做

16、是由某条线段绕O点旋转点旋转假设干次所形成的图形？假设干次所形成的图形？ABCDEFO学习目标学习目标1能按要求作出简单平面图形旋转后的图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2能通过图形的旋转设计图案能通过图形的旋转设计图案.知识点1 例例 如图，如图，E是正方形是正方形ABCD中中CD边上任意一点，以点边上任意一点，以点A为中为中心，把心，把ADE顺时针旋转顺时针旋转90，画出旋转后的图形画出旋转后的图形.A DB CEA DB CE因为因为A是旋转中心，所以是旋转中心，所以A点的对应点是点的对应点是 .根据正方形的性质：根据正方形的性质：ADAB，ABD90，所，所 以点以点D的对应点

17、是点的对应点是点 .因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三 角形全等的判定方法角形全等的判定方法 ，作出，作出ADE的对应图的对应图 形为形为 .A DB CEEABESASBAE点的对应点点的对应点E，还有别的方法作出来吗？，还有别的方法作出来吗？以以AB为一边向正方形外为一边向正方形外部作部作BAM，使，使BAM=DAE，在，在AM上截取上截取AE=AE即可即可.答案不唯答案不唯一一A DB CEEM 观察课本上图案的变换过程，它们分别是观察课本上图案的变换过程，它们分别是改变旋转中的哪些要素旋转而成的？改变旋转中的哪些要素旋转而成的？O1

18、O2OOa.旋转中心不变，旋转角改变，产生不同的旋转效果旋转中心不变，旋转角改变，产生不同的旋转效果.b.旋转角不变，旋转中心改变，产生不同的旋转效果旋转角不变，旋转中心改变，产生不同的旋转效果.任意画一个任意画一个ABC，以，以A为中心，把这为中心，把这个三角形逆时针旋转个三角形逆时针旋转40；任意画一个任意画一个ABC，以，以AC中点为中心，中点为中心，把这个三角形旋转把这个三角形旋转180.1分析图形，找出构成图形的关键点；分析图形，找出构成图形的关键点；2确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向；确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向；3将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关将关键

19、点分别与旋转中心连接后旋转，找到关 键点的对应点；键点的对应点；4顺次连接各对应点顺次连接各对应点.知识点2 运用旋转作图应满足三要素：运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转中心、旋转方向、旋转角旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来因定下来，对应点就自然而然地固定下来因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会作出不同效果的图案作出不同效果的图案.B.C.D.1.将将AOB绕点绕点O旋转旋转180得到得到DOE，那么以下作，那么以下作图正确的选项是图正确的选项是 C2.数学课上，老师让同学们观察如下图

20、的图形，数学课上，老师让同学们观察如下图的图形，问：它绕着圆心问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：甲同学说：45；乙同学说：；乙同学说：60；丙同学说：丙同学说：90；丁同学说：；丁同学说：135以上四位同学的答复中，错误的选项是以上四位同学的答复中，错误的选项是 B3.如图，在如图，在RtABC中，中，ACB=90，A=40，以直角顶点，以直角顶点C为旋转中心，将为旋转中心，将ABC旋旋 转到转到ABC的位置，其中的位置，其中A、B分别是分别是A、B的对应点，且点的对应点，且点B在斜边在斜边AB上，直角边上，直角边C A交交AB于点于点D，那么旋转角

21、等于，那么旋转角等于 A.70 B.80 C.60 D.50B4.如图，如图，ABC中，中，C=90，B=40，点，点D在边在边BC上，上，BD=2CDABC绕着点绕着点D顺时针旋顺时针旋转一定角度后，点转一定角度后，点B恰好落在初恰好落在初始始ABC的边上，求旋转角的边上，求旋转角0180的度数的度数.解：有两种情况：解：有两种情况：点点B落在落在AB上，如上，如B，DB=DB，BDB=180-B-BBD =180-40-40=100，即即=100.点点B落在落在AC上，如上，如B，在，在RtDCB中，中，BD=BD=2CD，DBC=30，BDC=60，BDB=120，即即=120.综上所述：综上所述：的度数为的度数为100或或120.