第五讲三角形及其应用.ppt （初升高衔接教材•高一预科班数学精品课程）.ppt

1、 (1)三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于_,三个外角三个外角 和为和为_；一个外角等于和它不相邻的两；一个外角等于和它不相邻的两 个内角的个内角的_；一个外角大于任何一个和它；一个外角大于任何一个和它 不相邻的不相邻的_； (2)三角形的任意两边之和三角形的任意两边之和_第三边第三边,任意任意 两边之差两边之差_第三边第三边. 1.三角形的边角关系三角形的边角关系 180 360 和和 内角内角 大于大于 小于小于 一、基础知识回顾一、基础知识回顾 (1)按角分类：按角分类：_三角形、三角形、_三角三角 形、形、_三角形；三角形； (2)按边分类：按边分类：_三角形三角形,_三角形

2、、三角形、 _三角形三角形. 2.三角形的分类三角形的分类 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 不等边不等边 等腰等腰 等边等边 3.三角形全等的性质三角形全等的性质 全等三角形的全等三角形的_相等，相等，_相等相等 对应边对应边 对应角对应角 (1)两边及其两边及其_对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等 (2)两角及其两角及其_对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等 (3)两角及其两角及其_对应相等的两个三对应相等的两个三 角形全等角形全等 (4)_边对应相等的两个三角形全等边对应相等的两个三角形全等 (5)斜边和一条斜边和一条_对应相等的两个直角三角对应相等的两个直角三角

3、形全等形全等 4.三角形全等的判定：三角形全等的判定： 夹角夹角 夹边夹边 一角所对的边一角所对的边 三三 直角边直角边 www.1230.org 初中数学资源网 一、一、 外心外心 A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心外心。 证明外心定理证明外心定理 证明证明: 设设AB、BC的中垂线交于点的中垂线交于点O， 则有则有OA=OB=OC， 故故O也在也在AC的中垂线上，的中垂线上， 因为因为O到三顶点的距离相等，到三顶点的距离相

4、等， 故点故点O是是ABC外接圆的圆心外接圆的圆心 因而称为外心因而称为外心 O O 三角形的四心三角形的四心 www.1230.org 初中数学资源网 二、垂心二、垂心 A B C A B C A B C 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心垂心。 D E F 证明证明: AD、BE、CF为为ABC三条高，三条高， 过点过点A、B、C分别作对边的平行线分别作对边的平行线 相交成相交成ABC，AD为为BC 的中垂线；同理的中垂线；同理BE、CF也分别为也分别为 AC、AB的中垂线，的中垂线， 由外心定理，它们交于一点，由外心定理，它们交于一点

5、， 命题得证命题得证 证明垂心定理证明垂心定理 A B C www.1230.org 初中数学资源网 设中线BE,CF交于点G,连结EF, 则EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同理中线AD,BE交于G ,连结DE,则: DE/AB,且EG :G B=DG :G A=DE:AB=1:2, 故G ( , 证明同一法:) G 重合. 三、重心三、重心 A B C A B C A B C 三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心重心。 证明重心定理证明重心定理 E F D G www.1230.org 初中数学资源网 例例2证明：三

6、角形证明：三角形重心重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍 另证另证: 连结EF,则EF为 ABC的中位线,EF/BC, 且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例 得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A B C E F D G 重心重心 想想看？想想看？ www.1230.org 初中数学资源网 四、内心四、内心 A B C A B C A B C A B C A B C 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心内心。 证明内心定

7、理证明内心定理 证明证明 : : 设设A A、C C的平分线相交于的平分线相交于I,I, 过过I I作作IDBCIDBC，IEACIEAC， IFABIFAB，则有，则有IE=IF=IDIE=IF=ID 因此因此I I也在也在C C的平分线上，的平分线上， 即三角形三内角平分线即三角形三内角平分线 交于一点交于一点 I I I I E F D 二、命题趋向分析二、命题趋向分析 三角形三边的关系三角形三边的关系（选择选择、填空为主填空为主） 三角形内角和定理三角形内角和定理、外角与内角的关系外角与内角的关系、外角和定理外角和定理 （选择选择、填空及简单的计算题为主填空及简单的计算题为主） 三角形

8、分类三角形分类（选择为主选择为主） 三角形的中线三角形的中线、高线高线、角平分线角平分线（选择及简单的计算选择及简单的计算） 直角三角形角的关系直角三角形角的关系、边的关系边的关系（计算计算、填空填空、证明题为主证明题为主） 等腰三角形等腰三角形、等边三角形的性质等边三角形的性质（填空填空、计算计算、证明题为主证明题为主） 全等三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质（简答题简答题，证明题为主证明题为主） 例例1解答下列各题解答下列各题 (1)长度分别为长度分别为10cm，12cm，22cm的三条线段是否能构的三条线段是否能构 成三角形。成三角形。 (2)已知三角形两边长分别为已知三角形两边长

9、分别为7和和5，求第三边，求第三边x的取值范围。的取值范围。 解：解： (2)由于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 故三角形中任意两边之差故三角形中任意两边之差x两边之和，两边之和， 因此第三边因此第三边2x12， 三、典型问题分析三、典型问题分析 (3)已知等腰三角形两边长分别为已知等腰三角形两边长分别为8cm，13cm。 求这个三角形的周长。求这个三角形的周长。 解：当8cm长的一边为底边时，腰长就为13， 这时三角形三边分别为8，13， 13， 而8132113即两较小边之和大于第三边故一 定能组成三角 形， 此时周长为81

10、31334cm。 当13cm长的边为底边时，腰长8cm， 这时三边分别为：8、8、13， 而两较小边之和大于第三边，即8813， 此时也能组成三角形，周长为 881329cm。 所以，这个三角形的周长为29cm或34cm。 (4)三角形三内角度数之比为三角形三内角度数之比为A:B:C3:4:5， 求各内角度数。求各内角度数。 解：(4)设A3x，B4x，C5x ABC180 3x4x5x180 x15 A45 B60 C75 （5）如果如果a,b,c表示表示ABC的三边长，那么的三边长，那么 2 )(cba =_。 （6）等腰三角形有一个角等腰三角形有一个角 50， 求另外两个角的度数分别为求

11、另外两个角的度数分别为 _. 50, 80或或 65, 65 （7）等腰三角形有一个角是等腰三角形有一个角是100， 求另外两个角的度数分别为求另外两个角的度数分别为_. 40, 40 acb （9）如图如图,AD与与BC相交于点相交于点O, B=40,D=70, C=30， 则则 A= _. A C D B O 40 70 30 ? 60 （8）如图）如图, ACDC ， ABD=130, 则则 A = _. 130 A B C D ？ 40 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，BFBF与与CECE交于点交于点D. D. (3)(3)请用几何道理说明为何请用几何道理说明为何 2 2 一定

12、大于一定大于A.A. (1)(1)图中共有图中共有_个三角形个三角形. . B A C B D E F 1 (2)BDC(2)BDC是是_的内角的内角, ,是是_的外角的外角. . 8 BDCBDC BDE,BDE,CDF CDF 三角形的一个外角大于任三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角。何一个和它不相邻的内角。 解：解： 2 2 是是DCFDCF的外角的外角 2 1 1是是AFB的外角的外角 1 A 2 A 2 2 若若BFBF和和CECE分别平分分别平分ABC ABC 和和ACB.ACB. A C B D E F 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，BFBF与与CECE交于

13、点交于点D, D, 1 2 (1)(1)则则1= _ ,2= _ 1 2 1 2 ABC ACB (2)(2)已知已知A = A = 40, ,求求BDCBDC的度数的度数. . 已知已知BDC=BDC=130130, ,求求AA的度数的度数. . 三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180. 如图如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端，两点分别位于一个池塘的两端， 小明想用绳子测量小明想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不间的距离，但绳子不 够长，他叔叔想了一个方法：先在地上取一够长，他叔叔想了一个方法：先在地上取一 个可以直接到达个可以直接到达A点和点和B点的点点的点C，连接，连接A

14、C 并延长到并延长到D,使使CD=AC；连接；连接BC并延长到并延长到E， 使使CE=CB；连接；连接DE并测量出它的长度；并测量出它的长度； (1)DE=AB吗？请说明理由；吗？请说明理由； (2)如果如果DE的长度是的长度是8m, 则则AB的长度是多少？的长度是多少？ A C D B E 四、解题方法与技巧四、解题方法与技巧 例一：如图所示，例一：如图所示，AD为三角形为三角形ABC的中线，的中线，E为为 AC上一点，连结上一点，连结BE交交AD于于F，且，且AE=FE. 求证：求证：BF=AC A B D C E F M 倍长中倍长中 线法线法 例二：已知，如图，在三角形例二：已知，如图

15、，在三角形ABC中，中，ABAC， AD是是BACBAC的平分线，的平分线，B=2CB=2C， 求证：求证：AC=AB+BD E C A B D 截长截长 补短补短 例三：已知，如图，例三：已知，如图，AB=14，AC=10，AD平分平分 BACBAC，CEADCEAD于点于点E E，M M为为BCBC边中点边中点 求：线段求：线段ME的长的长 F M E D C B A 如果有与角平分线如果有与角平分线 垂直的线段时，常垂直的线段时，常 把它延长与角的边把它延长与角的边 相交构造等腰三角相交构造等腰三角 形形 五、巩固练习五、巩固练习 （1）如图）如图ABC中，中，ABAC，A108， BD平分平分ABC交交AC于于D， 求证：求证：BCABCD。 （2）如图，）如图，D为等边为等边ABC外一点，且外一点，且BDCD， BDC120，M、N分别分别 在在AB、AC上，上， 若若BMCNMN， 求证：求证： MDN60。 结束寄语 数学之所以诱人，就在数学之所以诱人，就在 于它的奥妙无穷于它的奥妙无穷. . 下课了!