《应用数学基础》课件第十一章数列与数学归纳法.ppt

1、第十一章 数列与数学归纳法(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)数列的定义及分类。(2)等比数列、等差数列的定义，通项公式，前 n 项和以及 中项公式。二、本章的重点、难点二、本章的重点、难点(3)数学归纳法及其应用举例。(1)数列的定义。(2)综合运用各种公式解决有关问题。(3)运用数学归纳法证明简单的命题。三、本章的主要公式三、本章的主要公式1、等差数列2、等比数列1(1)通项公式：.naand2等差中项：如果、三个数成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项.abcbaca

2、cb11等差数列中任意一项(首项、末项除外)都是 与 的等差中项.nnnaaa11()(1)22前 项和公式，.nnnn aan ndnSSna11通项公式：.nnaa qabcbacbac 等比中项：如果、三个数成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项,.一个等比数列从第 2 项起，每一项(末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项.11(1)111，前 项和公式.，nnaqqnSqnaq四、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤四、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤0(1)证明当 取第一个值 时结论正确.nn0()1(2)假设当，且 时结论正确，证明当 时结论也正确.nkkkn

3、nkZ(二二)常见问题分类与解法常见问题分类与解法一、求数列的一个通项公式一、求数列的一个通项公式 不是所有的数列都有通项公式的，如果数列的第 项 与项数 之间的函数关系能用一个解析式表示，那么这个解析式就叫做数列的通项公式.如果数列的第 项 与项数 之间的函数关系不能用一个解析式表示，那么这个数列便没有通项公式，数列的通式公式不是惟一的.nnnannan2468102481632315356399 求数列，的一个通项公式.例例1 1分析分析11)(1)此数列每项的符号为正负相间，因此通项中应有因子(.n248 163222468 1023 153563991 3 3 55 77 99 11(

4、21)(21)(2)此数列的每一项的绝对值由两部分组成，其整数部分为、，其通项为；其分数部分的分子、，组成偶数列，(其通项为)；其分母组成、，这个数列可变形为，其通项为 .nnnn所以，原数列的通项公式为：12(1)2(21)(21).nnnnann 242 已知数列的前 项和，求其一个通项公式.nnnSnna例例2 2注意通项 与前 项和 的关系：nnanS111，.nnnaSaSS2114 1125因为.aS 解解22142 4(1)(1)2nnnaSSnnnn85(2),.nn51852，所以 ，nnann1112 由 求 时，利用 只能求出 时的通项公式，若能包含，则为通项公式，若不能

5、包含，则通项公式要用分段函数表示之.nnnnnSaaSSnaa二、求前二、求前 n n 项和项和 S Sn n1 12 123 1234 求数列，,的前 项和.nnS 例例3 3解解2(1)12322因为，nn nnnan 所以21112，a22222，a23332，a24442，a所以 nS222221122334422222nn222211223322222222nn2221(1122)2nn 22221(123123)2nn 1(1)(21)(1)262n nnn n(1)(2)6nnn三、公式的综合应用三、公式的综合应用例例4 4 在 3 与 9 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列

6、，后三个数成等差数列.解解设插入的两个数依次为，.xxd23()92则 xxdxxd9924解之得，.xd36或，(舍去).xd 92724所以所求两个正数依次为，.64311216840 在等比数列中，求，.naaaaSaqn例例5 5解解53112112168因为 a qa qa qa32121(1)216(1)8所以 a q qa q得327，q 3所以.q 代入得11.a 1(1 3)403因为，nnS4所以.n 1134所以，.aqn1 一等差数列前 50 项之和为 200，自第 51 项到 100 项之和为 2700，求首项.a例例6 6解解50150(50 1)502002因为.

7、Sad15025 49200即 ad5111(51 1)50aadad150(50 1)270050(50)2后 50 项之和.add150250025 492700即 add由，得代入得1d 120.5a 解此类型题目，除公式应用的正确性外，还应该注意解题过程中的技巧性.四、数学归纳法的应用四、数学归纳法的应用1212(1)1 用数学归纳法证明：能被 整除.nnaaaa例例7 7证明证明1当 时，命题成立.n 2211即 能被 整除.aaaa假设当 时，命题成立，nk1212(1)1即 能被 整除,kkaaaa1则当 时，nk1 12(1)1(1)kkaa 221(1)kkaa1212121

8、(1)(1)(1)kkkka aaa aa121212(1)(1)(1)kkka aaaaa121212(1)(1)(1)，kkka aaaaa1所以当 时，命题亦成立.nk命题对任何 都成立.nZ根据 可知，(三三)思考题思考题1、在什么条件下数列才有通项公式.2、什么是数列，我们只研究哪些数列?3、数学归纳法的步骤是什么？答 案答 案答 案(四四)课堂练习题课堂练习题1,1111111、写出数列 1-通项2233445na.24,9,14,254.、求等差数列的第几项是3 ,1,7 .、求等比数列 2,-2的第项4 73 5 5 73 5.、求，的等比中项答 案答 案答 案答 案1 、不是

9、所有数列都有通项公式，只有当第项与项数之间的函数关系能用一个解析式表示,这个解析式才叫数列的通项公式,数列的通项公式不是唯一的.nnan返返 回回 23 12、按照一定次序排列的一列数,，称数列,记作，我们只研究两种特殊数列,即等差数列,等比数列.nnaaaaa返返 回回 3、数学归纳法共分两步：(1)证明=1,2 命题成立；(2)在此基础上假设成立,证明+1 时命题也成立.综合(1)和(2)对于任何正整数命题都成立.nn=kn=kn返返 回回返返 回回11.11、nann返返 回回12 45254.、，nada 254415n 第51项为-254.返返 回回12 27.23、，aqn 6721 2.24a 返返 回回4 73 573 52.、第比中项 G