《应用数学基础》课件第十二章排列、组合与二项式定理.ppt

1、第十二章 排列、组合与二项式定理(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)乘法原理和加法原理。(2)排列、组合的定义与种数计算公式。二、本章的重点、难点二、本章的重点、难点(3)二项式定理及二项展开式的性质。(1)两个基本原理；排列和组合的概念及其种数计算公式。(2)正确分析和计算排列、组合的综合应用问题。三、本章的主要公式三、本章的主要公式1、排列数公式2、组合数公式3、组合数性质(1)(2)(1)()，mnAn nnnmmn!()()!，mnnAmnnm()，mmnnmACm

2、nA!()!()!，mnnCmnm nmmn mnnCC11mmmnnnCCC4、二项式定理011()()，nnnnnnnnabC aC abC bn Z1其中第 项r 1(0)，rn rrrnTC abrn四、对学习的建议四、对学习的建议 (1)乘法原理与加法原理是学习排列和组合的基础知识.它们的本质区别在于完成一件事所采取的方式，如果是分步骤完成的，则应该运用乘法原理；如果是分类完成的，则应该运用加法原理.(2)排列分为重复排列和不重复排列，在判断所讨论问题为排列问题后，要注意所选取的元素是否能重复选择，从而选用恰当的公式或基本原理进行计算.(3)排列、组合的本质区别在于从 个不同元素中取

3、出 个不同元素时，对元素所选取的顺序有无要求.若必须考虑元素选取的先后顺序，则是排列问题；否则，就是组合问题.nm (4)公式 指出了计算排列种数 的另一种方法，即“先组后排”,此公式也揭示了排列与组合之间的联系，学习时应该有所理解.mmmnnmnAC AA1 (5)二项展开式的四个性质，可以帮助我们正确、迅速地写出二项展开式的各项,注意通项是展开式中的第 项，而不是第 项，应用时要注意，以免发生错误.rr(二二)常见问题分类与解法常见问题分类与解法一、必须搞清两个原理的本质差异一、必须搞清两个原理的本质差异 如果完成一件事有 类方法，这 类方法彼此之间是相互独立的，不论用哪一类方法中的哪一种

4、，都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就应用加法原理；如果完成一件事要分成几个步骤，各步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，并且完成每一个步骤，各有若干种方法，求完成这件事的方法种数，就应该用乘法原理.nn1230 由、四个数字可组成多少个没有重复数字的三位数.例例1 1解解 组成一个三位数要经过三个步骤：确定百位数字；确定十位数字；确定个位数字.要组成一个三位数必须经过以上三个连续步骤，所以用乘法原理 332=18(个).二、注意排列与组合的区别和联二、注意排列与组合的区别和联系系 排列与组合的相同点是：“从 个不同元素中，任取 个元素”(不考虑重复选取).不同点

5、是：排列要“按照一定的顺序排成一列”，组合是“不管顺序，并成一组”.也就是说，排列与组合的本质区别是“顺序”.nm例例2 2 判定下列问题中哪些是排列问题，哪些是组合问题.(1)10人相互写一封信，要写多少封信；(2)10人相互握手，一共要握多少次；(3)从10人里选一个组长，一个副组长和一个干事，一 共有多少种选法；(4)从10人里选出 3 个代表，一共有多少种选法；(5)从10本不同的书中任选两本，一共有多少种选法.解解(1)排列，与顺序有关；(2)组合，与顺序无关；(3)排列，与顺序有关；(4)组合，与顺序无关；(5)组合，与顺序无关；三、重复排列三、重复排列 元素可以重复选取的排列叫做

6、重复排列，具有必要性和实用性.其排列种数，其中 为可以重复选取的元素个数，为每一个元素最多可重复的次数.重复排列种数除了应用公式 来计算外，还可直接运用乘法原理来分析.mmNnnmNn例例3 3 (1)把 5 封信投入 3 个邮筒，有多少种投法；(2)有 4 个学生报名参加两个兴趣小组，共有多少种报名 方法.解解 (1)因为邮筒可容纳很多封信，所以可重复投入.邮筒的个数为 3，所以可供选择的元素个数为 3，一个邮筒可重复投入 5封信，所以最多可重复的次数为 5，因此 35=243 种投法.(2)直接分析法：第一个同学的报名方法有 2 种，第二个同学的报名方法有 2 种4 个学生都报完了名，这件

7、事才完成，所以这 4 个步骤必须连续进行，缺一不可，于是用乘法原理得出：42 2 2 22 (种)N 四、排列、组合的综合应用四、排列、组合的综合应用 对于排列、组合的题目，解题时要注意以下几点：审清题意，区别是排列问题还是组合问题；并考察取出的元素，是否允许重复；根据约束条件，列出可能出现的各种情形，要避免计算种数的重复或遗漏；区别是使用加法原理还是乘法原理.例例4 4 在区间 300,600 中有多少个能被 5 整除的 (1)数字可重复的整数；(2)数字不重复的整数.解解 (1)分三步完成.个位有“0、5”，2 种选择；百位有“3、4、5”，3 种选择；十位有 10 种选择，另外再加上“6

8、00”，共有 2310+1=61(个)；(2)将能被 5 整除的整数分为两类：第一类，个位是 0，百位可取“3、4、5”，3 种选择，十位在其余的 8 个数中选择，这类共有 38=24(个)；第二类，个位是 5，百位可取“3、4”两种选择，十位在其余的 8 个数中选择，这类共有 28=16(个)根据分类计数原理，共有满足条件的数有 24+16=40(个).例例5 5 4 种不同颜色的球放入两个盒子，不同的放法有多少种；如果每个盒子至少要放一球，不同的放法有多少种.解解(1)4 个不同颜色的球放入两个盒子，一个一个地放，分 4 步完成，每一个球有 2 种放法，所以共有 24=16(种)不同的放法

9、；12443123444414(2)以第一个盒子的放球数来分类，第一个盒子放1个球，有 种放法；第一个盒子放2个球，有 种放法，第一个盒子放3个球，有 种放法,共有(种)不同的放法.CCCCCC五、二项式定理五、二项式定理5(1 2)已知 展开式中的第 2 项小于第 1 项，且不小于第 3 项，求实数.xx例例6 6解解321因为，TTT105522155(2)(2)(2)所以 CxCCxCx11010解之得 x12 已知 展开式的前 3 项系数成等差数列，求：(1)展开式中不含 的项；(2)展开式各项系数之和.naaa例例7 7解解(1)前 3 项系数成等差数列，20121122即，成等差数

10、列.nnnCCC210211222所以，nnnCCC(1)14 2即.n nn 81解之得 或 (舍去).nn18 2822218811()22所以通项 kkkkkkkrTCaaCa8204令 得，kk44813528所以展开式中不含 的项为；aC88131122(2)令 得各项系数之和为.a(三三)思考题思考题1、两个原理的本质差异是什么？2、排列、组合的本质区别是什么？它们之间联系是什么？3、对于排列、组合题目解题时应注意什么？4、二项展开式具有哪些特性？答 案答 案答 案答 案(四四)课堂练习题课堂练习题1、一个同学从 2 本不同数学书、3 本不同英语书、2 本不 同文艺书中：(1)从中

11、任取一本，有多少种不同取法？(2)从中各取一本，有多少种不同取法？2、计算.31648(1)4!?2；AA98100(2)；C95969797(3).CC3、回答：(1)10名同学约定每两人会面一次,共有多少种不同约会?(2)10名同学互相通信共通信多少封?答 案答 案答 案151.34、已知aa(1)展开式共几项；(2)13 第项；(3).第几项系数的绝对值最大答 案1、加乘原理(分类、分步基本原理)是学习排列、组合的基 础知识，它们本质区别在于完成一件事所采取的方式，如果是分步骤完成，则运用乘法原理，如果分类完成的,则是加法原理.返返 回回2 .、排列，组合本质区别在于从个不同元素中取出个

12、不同元素时,若必须考虑先后顺序则是排列问题,否则是组合问题；它们之间可用公式反映，即先组后排mmmnnmnmAC A返返 回回 3、解题时应注意：(2)区别使用加乘原理；(3)充分注意约束条件.(1)审题；返返 回回4 、二项展开式有四个特性：na+b012(1)1 (2)(3)(4).它有项；各项次数等于二项式次数；，分别是降幂，升幂排列；各项系数依次为：，rnnnnnnnabCCCCC返返 回回1 (1)2327()、分类计数是加法原理共：种；(2)().分步计数是乘法原理共：2 3 2=12 种 返返 回回2 (1)24、；982100100(2)4950；CC959696297979898(3)4753.CCCC返返 回回2103 (1)45()、是组合问题所以：种C 210(2)10 990().有先后顺序是排列问题，所以共种A 返返 回回4 (1)16 .、展开式共项1215 1212331315156511455(2).TCaC aaaa(3)15 因为，所以第 8 项，第 9 项系数绝对值最大且相等.n 返返 回回